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標題: 數列遞迴關係 [打印本頁]

作者: tsyr 時間: 2015-1-27 18:30 標題: 數列遞迴關係

數列(b0,b1,...)滿足下列遞迴關係:
b0=1,
bn=bn-1+[ $\sqrt{b_{n-1}}$ ],對所有正整數n
(註:[ ]表高斯符號)
則b543=________。

答案為72068
謝謝

作者: tsusy 時間: 2015-1-27 20:47 標題: 回復 1# tsyr 的帖子

窮舉找規則
$ b_{3}=1+1\cdot3=2^{2}+0 $
$ b_{6}=4+2\cdot3=9+1 $
$ b_{8}=10+3\cdot2=4^{2}+0$
$ b_{11}=16+4\cdot3=5^{2}+3$
$ b_{13}=28+5\cdot2=6^{2}+2$
$ b_{15}=38+6\cdot2=7^{2}+1$
$ b_{17}=50+7\cdot2=8^{2}+0$
$ b_{20}=64+8\cdot3=9^{2}+7$
$ b_{22}=88+9\cdot2=10^{2}+6$
$ b_{24}=106+10\cdot2=11^{2}+5$
$ b_{26}=126+11\cdot2=12^{2}+4$
$ b_{28}=148+12\cdot2=13^{2}+3$
$ b_{30}=172+13\cdot2=14^{2}+2$
$ b_{32}=198+14\cdot2=15^{2}+1$
$ b_{34}=226+15\cdot2=16^{2}+0$
$ b_{37}=16^{2}+16\cdot3=17^{2}+15$
...
$ b_{67}=31^{2}+1+31\cdot2=32^{2}+0 $
$ b_{68} = 32^{2}+32\cdot3=33^{2}+31 $
...
$ b_{68+31\cdot 2} = 63^2 + 1 + 63 \cdot 2 = 64^2 +0$
$ b_{133} = 64^2 + 64 \cdot 2 = 65^2 +63$

...，應不難觀察及證明其規則

而透過規則，應可推得 $ b_{2^n+n-3} = \left( 2^{n-1} \right)^2 $ (花點時間)

故 $ b_{518} = 256^2 $, $ b_{543} = b_{518+3+2 \cdot 11} = (256+12)^2 + (256-12) = 72068 $

作者: tsyr 時間: 2015-2-8 21:14 標題: 回復 2# tsusy 的帖子

哇!
要發現規律真的要有點耐心
感謝!!

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