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標題: 極值問題 [打印本頁]

作者: tsyr 時間: 2015-1-23 19:53 標題: 極值問題

設 $x_{i}\geq 0(i=1,2,...,n)$ ，且 $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+2\sum_{1\leq k<j\leq n}^{}}\sqrt{\frac{k}{j}}x_{k}x_{j$ =1，
求 $\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ 之最大值?

作者: thepiano 時間: 2015-1-23 22:42

令$x_k=\sqrt{k}y_k$
則$\displaystyle \sum_{k=1}^n ky_k^2+2 \sum_{1 \le k<j \le n}ky_k y_j=1$
令$\cases{y_1+y_2+\ldots+y_n=a_1 \cr y_2+\ldots+y_n=a_2 \cr \ldots \cr y_n=a_n}$
則$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2=1$
令$a_{n+1}=0$
則
$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n x_k$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n \sqrt{k}y_k$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n \sqrt{k}(a_k-a_{k+1})$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n \sqrt{k}a_k-\sum_{k=1}^n \sqrt{k}a_{k+1}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n \sqrt{k}a_k-\sum_{k=1}^n \sqrt{k-1}a_k$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n (\sqrt{k}-\sqrt{k-1})a_k$
$\displaystyle \le \sqrt{\sum_{k=1}^n (\sqrt{k}-\sqrt{k-1})^2}\times \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}$
$\displaystyle =\sqrt{\sum_{k=1}^n (\sqrt{k}-\sqrt{k-1})^2}$

作者: tsyr 時間: 2015-1-25 19:37 標題: 回復 2# thepiano 的帖子

wow!
十分感謝!
在"令$a_{n+1}=0$"
難怪書上把這題歸類在"阿貝爾變換"...

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