Math Pro 數學補給站

標題: 103雲嘉南區國中數學暨自然學科能力競試 [打印本頁]

作者: sambulon 時間: 2014-12-12 15:42 標題: 103雲嘉南區國中數學暨自然學科能力競試

如附檔

想請教
填充題 6. 13.
計算題 3. 4.

謝謝指教 ! !

附件: 103-國中數學暨自然學科能力競試.pdf (2014-12-12 15:42, 156.88 KB) / 該附件被下載次數 9645
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2626&k=d2fe196f4e5fff249ad35f54fa5d43a0&t=1732315605

作者: thepiano 時間: 2014-12-12 23:23

計算三
(1)
\(\begin{align}
  & \Delta APE=\frac{2}{5}b,\Delta CPE=\frac{3}{5}b,\Delta APF=\frac{4}{7}c,\Delta BPF=\frac{3}{7}c \\
& \frac{\frac{2}{5}b+c}{\frac{3}{5}b+a}=\frac{2}{3} \\
& \frac{\frac{4}{7}c+b}{\frac{3}{7}c+a}=\frac{4}{3} \\
& a:b:c=3:4:2 \\
& a=6,b=8,c=4 \\
\end{align}\)
(2)
\(\begin{align}
  & \frac{\Delta BDP}{\Delta CDP}=\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}=\frac{\Delta ABP}{\Delta ACP}=\frac{1}{2} \\
& \Delta BDP=2,\Delta CDP=4 \\
& \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}\times \frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}\times \frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}=\frac{\Delta ABP}{\Delta BDP}\times \frac{\Delta BCP}{\Delta CEP}\times \frac{\Delta CAP}{\Delta AFP}=\frac{4}{2}\times \frac{6}{\frac{24}{5}}\times \frac{8}{\frac{16}{7}}=\frac{35}{4} \\
\end{align}\)

計算四
(1)畫成展開圖就知道怎麼做了
(2)長方體的對角線長
(3)國中生的方法，有請高手
小弟提供一個高中生的方法，有用到餘弦定理
定坐標
A(x，y，z)、E(0，0，0)、F(6，0，0)
EH=5，∠FEH=β
易知H(3，4，0)、G(9，4，0)
\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\overline{AE}}^{2}}=16 \\
& {{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\overline{AF}}^{2}}=28 \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}={{\overline{AH}}^{2}}=9 \\
\end{align} \right. \\
& x=2,{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=8 \\
& \overline{AG}=\sqrt{{{\left( x-9 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}=\sqrt{57} \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2014-12-13 08:44

填充第 6 題
OE = 15，OA = 25，AE = 20，AC = 40
OD = 7，AD = 24
\(OC+OD=25+7=32=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{D}^{2}}}=CD\)
故 BC = AC = 40

作者: thepiano 時間: 2014-12-13 10:19

填充第 13 題

作正△ABD
令 ∠DBC = x，則 ∠ABC = ∠ACB = 60 - x，∠DAC = 2x，∠ACD = 90 - x，∠DCB = 30 度
BP = BA = BD，∠PCB = ∠DCB
故 △BDC 是 △BPC 以 BC 為對稱軸的線對稱圖形
PC = DC，∠PCD = 60 度，△PCD 是正三角形
又 AC = AD，△APC 和 △APD 全等 (SSS)
故 ∠APC = (360 - 60)/2 = 150 度

作者: sambulon 時間: 2014-12-14 12:39

謝謝thepiano大

請教一下
計算題3.
如果第(2)小題與第(1)小題無關，那又該如何下手？

作者: sambulon 時間: 2014-12-14 12:45

填充6 另解：

因OEAD四點共圓
由托勤密定理
OD * AE + OE * AD = AO * DE
可得 DE = 20 --> BC = 2*DE = 40

作者: thepiano 時間: 2014-12-14 17:50 標題: 回復 5# sambulon 的帖子

令\(\frac{AD}{PD}=x,\frac{BE}{PE}=y,\frac{CF}{PF}=z\)
易證明\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\)

\(\begin{align}
& xyz=xy+yz+zx \\
& x+y+z=\frac{AP+PD}{PD}+\frac{BP+PE}{PE}+\frac{CP+PF}{PF}=\frac{27}{4}+3=\frac{39}{4} \\
& \\
& \frac{AP}{PD}\times \frac{BP}{PE}\times \frac{CP}{PF} \\
& =\frac{AD-PD}{PD}\times \frac{BE-PE}{PE}\times \frac{CF-PF}{PF} \\
& =\left( x-1 \right)\left( y-1 \right)\left( z-1 \right) \\
& =xyz-\left( xy+yz+zx \right)+\left( x+y+z \right)-1 \\
& =\frac{35}{4} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-12-14 05:52 PM 編輯 ]

作者: WAYNE10000 時間: 2015-7-5 16:08 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

想請教第6題
有關
OC+OD=25+7=32=AC2−AD2=CD
這步驟我看不懂請解惑感恩

作者: thepiano 時間: 2015-7-5 17:52 標題: 回復 8# WAYNE10000 的帖子

OC=25，OD=7
OC+OD=32

AC=40，AD=24
而\(\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{D}^{2}}}=32\)，剛好等於OC+OD
表示C、O、D共線，OC+OD=CD

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-7-5 05:55 PM 編輯 ]

作者: WAYNE10000 時間: 2015-7-6 20:19 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

感謝不吝指教

我卡關了~

另外想再請教填充11

謝謝

圖片附件: 161675.jpg (2015-7-6 20:19, 51.51 KB) / 該附件被下載次數 6750
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3002&k=0c8a76a21bc634697ae4c2dc00ac176f&t=1732315605

作者: thepiano 時間: 2015-7-6 21:42 標題: 回復 10# WAYNE10000 的帖子

填充第 11 題
作 A(7，1) 關於 x 軸的對稱點 D(7，-1)
作 A(7，1) 關於 y = x 的對稱點 E(1，7)
所求為 DE = 10

第 13 題
上面有一解可參考

作者: niklacage 時間: 2017-10-24 15:14

第十三題用三角函數解

[ 本帖最後由 niklacage 於 2017-10-24 15:16 編輯 ]

圖片附件: 19266.jpg (2017-10-24 15:16, 70.88 KB) / 該附件被下載次數 4336
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4278&k=d7b6e7ba2287f694d94262d55bdf1aab&t=1732315605

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0