標題: 103新化高中 [打印本頁]

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作者: cathy80609    時間: 2014-8-9 17:59     標題: 103新化高中

今天中午才剛考完，現在題目和答案就已經公布在網站上了，

新化高中給人一種古色古香的感覺，好想考上呀>"<

103.8.11補充
感謝thepiano提醒，學校修正第一大題第2小題的答案為1
http://210.60.246.31/teacher-2/text/tiku/index.asp

附件: 103新化高中(更新答案).pdf (2014-8-11 16:02, 122.82 KB) / 該附件被下載次數 8846
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作者: johncai    時間: 2014-8-9 20:22

請教一下第一大題第2題
a=-1時，點會在直線L2上
還是可以嗎？
謝謝

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作者: tsyr    時間: 2014-8-9 20:44

不行吧
因為一條線和線上一點嚴格來說不構成平面
這應該是命題者的疏忽~~

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作者: salbaer    時間: 2014-8-10 09:30     標題: 請問第二題如何解?

我用兩面式無法解出...

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作者: czk0622    時間: 2014-8-10 10:52     標題: 回復 4# salbaer 的帖子

L1上一點和A構成的向量和L1的方向向量外積得到E1的法向量
L2上一點和A構成的向量和L2的方向向量外積得到E2的法向量
如果E1和E2垂直的話兩法向量內積=0
利用此條件求出a=1 or -1
但是若a=-1則A在L2上
會得到 "L2上一點和A構成的向量和L2的方向向量外積得到E2的法向量=零向量"
所以-1應該是不合的
反例應該很好找

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作者: johncai    時間: 2014-8-10 11:36

第一大題第2題有人要提疑義嗎？

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作者: cathy80609    時間: 2014-8-10 11:38     標題: 回復 4# salbaer 的帖子

2.
空間中兩歪斜線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{-1}\)及一點\(A(a,a,a)\)，若\(E_1\)為過\(A\)點且包含\(L_1\)的平面，\(E_2\)為過\(A\)點且包含\(L_2\)的平面，則\(a=\)　　　時，平面\(E_1\)與\(E_2\)垂直。

若打成式子應該是長這樣，如果有打錯請告知，謝謝

不好意思，之前打的有錯誤，獻醜了，自己的思考還不夠周詳，

感謝blackwhite大大提醒，

感謝各位大大的指教，

至於為什麼a=-1不行，

johncai 大已經有提出看法囉！

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作者: cathy80609    時間: 2014-8-10 11:42     標題: 回復 6# johncai 的帖子

提出試題疑義的時間為103年8月11日(星期一)上午8時至中午12時止，

我明天早上會申請提出試題疑義~

感謝johncai兄提醒

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作者: blackwhite    時間: 2014-8-10 11:57     標題: 回復 8# cathy80609 的帖子

此題解答請重新思考題意邏輯

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作者: johncai    時間: 2014-8-10 12:20     標題: 回復 9# blackwhite 的帖子

若a=-1時
點在直線L2上
所以E2有無限多個
取E2為(2x-y+1)+(y+2z+3)=0
則E2法向量為(1,0,1)
而E1法向量易算出為(1,1,-3)
所以E1和E2沒有垂直

不知以上哪邊有問題
小弟資質奴鈍
請各位高手指正
謝謝

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作者: blackwhite    時間: 2014-8-10 13:38     標題: 回復 11# cathy80609 的帖子

很抱歉我計算錯了

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作者: johncai    時間: 2014-8-10 13:41     標題: 回復 11# cathy80609 的帖子

這我有想過
但我個人認為
根據題目意思
若a=-1要對
應該是滿足題意的所有E2都要可以跟E1垂直才可以
而不是只要找的到E2可以跟E1垂直即可
有錯請指正
謝謝

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作者: cathy80609    時間: 2014-8-10 13:49     標題: 回復 13# johncai 的帖子

我了解您的意思了，

所以只要按照您的做法找到一組E2與E1不垂直，

那此題a=-1就不行了!!

今天真的是大開眼界，

那我就把錯的圖砍掉囉！

感謝各位的指教！

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作者: czk0622    時間: 2014-8-10 14:10

小弟淺見，不知這樣解釋對不對

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作者: vicky614    時間: 2014-8-11 12:30

各位老師,
請教填充I的第1題,填充II的1.(2)和第二題,謝謝!

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作者: cathy80609    時間: 2014-8-11 12:56     標題: 回復 15# vicky614 的帖子

填充II 的 1. (2)

其實把 n從2,3,4..... 開始代入很快就能找到規律了!

第二題
我是寫到後來忽然發現，

當 a=b=c 時，這個條件會成立，所以只有 (a,b,c)=(1,1,1) , (2,2,2),...,(6,6,6) 這六組

所以機率為 6/216=1/36

感覺有點牽強XD....

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作者: johncai    時間: 2014-8-11 12:58

填充一.1.
設多項式\(f(x)\)滿足\(f(1)=0\)，且對於任意實數\(x\)，\(2f(x)-xf'(x)-1=0\)恆成立，則\(f(x)=\)　　　。
[解答]
設f(x)為n次多項式，係數為a
則微分後再乘X, n次係數為na
依題意：2a-na=0
所以n=2
再設f(x)=ax^2+bx+c代回等式
接下來就容易了

填充二.2.
一骰子丟三次，出現的點數依次為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則\(\displaystyle \frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=6\)的機率為　　　。
[解答]
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3417

慢一步ORZ
PS. 填充二.2.
我考試當時也是先慢慢列（和等於6其實不會很多）
再加上等式有對稱性
其實很快就可以發現一定要a=b=c才可以
所以答案為6/216=1/36

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作者: hua0127    時間: 2014-8-11 14:49     標題: 回復 17# johncai 的帖子

用算幾不等式可發現 a=b=c
抱歉眼殘沒看到連結~鋼琴大早已解出XD

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作者: thepiano    時間: 2014-8-11 15:50     標題: 回復 2# johncai 的帖子

官方已修正第一大題第 2 題的答案為 1
這間學校真讚！

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作者: czk0622    時間: 2014-8-11 17:27

這樣應該也可以

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作者: cathy80609    時間: 2014-8-11 21:55     標題: 回復 20# czk0622 的帖子

czk0622老師您這招也是淺顯易懂阿!!

鋼琴老師的解法也好厲害!

我當初在寫的時候完全想不到這些呀=_=...

只想說，看了一下發現其他組合好像沒辦法，就猜下去了XD...

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作者: jyi    時間: 2014-8-11 22:10

這張考卷複試大概幾分可以進？

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作者: vicky614    時間: 2014-8-11 22:34

再請教各位老師:

填充題I的第11題.
還有對於填充I的第四題我有個小小的疑問,如何能確定
x=4不是f(x)=0的重根?這對答案有影響嗎?

感謝各位的不吝指導!謝謝!

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作者: hua0127    時間: 2014-8-11 23:06     標題: 回復 23# vicky614 的帖子

第11題：
利用根與係數，令兩正整數根\(\alpha ,\beta \), 則 \(\left( \alpha +\beta  \right)-2\alpha \beta =-7\Rightarrow \left( 2\alpha -1 \right)\left( 2\beta -1 \right)=15\)
則數對\(\left( \alpha ,\beta  \right)\)為\(\left( 2,3 \right)\)或\(\left( 1,8 \right)\)的組合
故\(a=\alpha \beta -4\) 可能值為 4 或 2

第4題覺得題目應該要加上"不相等之實根和"為576應該比較嚴謹，
不然如vicky614網友所提，重根會有點麻煩，
例如函數 \(f\left( x \right)={{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( x-3 \right)\left( x-5 \right)\)恆滿足 \(f\left( 8-x \right)=f\left( x \right)\)且實根和為16, 但是卻只有3個不相等實根
不知道其他網友有沒有其他看法討論一下

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作者: son249    時間: 2014-8-12 11:15

聽說最低要65分

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作者: Ellipse    時間: 2014-8-12 12:40

填充II-2
一骰子丟三次，出現的點數依次為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則\(\displaystyle \frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=6\)的機率為　　　。
[另解]
  (琴生不等式)
令s=a+b+c , f(x)= (s-x)/x
則(b+c)/a + (c+a)/b +(a+b)/c = (s-a )/a + (s-b)/b + (s-c)/c
易知f(x)在(0,s)為遞減函數
由琴生不等式可知
[f(a)+f(b)+f(c)] /3 >= f( (a+b+c)/3 ) =f(s/3)
[ (s-a )/a + (s-b)/b + (s-c)/c] /3 >=[ s- s/3] / (s/3) =2
所以 (s-a )/a + (s-b)/b + (s-c)/c >=6
等式成立表示a=b=c
....

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作者: linteacher    時間: 2014-8-12 22:16     標題: 第一大題第10題

\(a,b,c,x,y,z\)均為實數，若\(a^2+b^2+c^2=2\)，\(x^2+y^2+z^2=7\)，則\(\left| \matrix{b+c&c+a&a+b\cr y+z&z+x&x+y \cr 5&4&3} \right|\)的最大值為　　　。
[解答]
這一題還滿巧妙的，即使一開始就鎖定要用平行六面體體積來解，
也得要有點技巧才能轉成相關的型式:
將5改寫為2+3；將4改寫為3+1；將3改寫為1+2；
再利用行列式的分配律拆解成8個行列式，其中有6個因為有兩行相同，行列式為0，
剩下兩個行列式相同，若其值為正的話，
恰為由(a,x,1)，(b,y,2)，(c,z,3)三向量所展成的平行六面體體積，
又已知三向量的長度分別為根號2、根號7、根號14，
故體積小於等於14，乘以2之後等於28。

因為不太會用符號，所以都用文字，傷到眼睛不好意思。

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作者: tzhau    時間: 2014-8-13 03:39     標題: 回復 27# linteacher 的帖子

殺雞焉用牛刀

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作者: vicky614    時間: 2014-8-13 11:10

請教填充II,第一題(2),謝謝.

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作者: czk0622    時間: 2014-8-13 14:38

用湊的比較好算

圖片附件: 未命名.png (2014-8-13 21:18, 35.78 KB) / 該附件被下載次數 4564
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作者: thepiano    時間: 2014-8-13 15:57     標題: 回復 29# vicky614 的帖子

小弟會用長除法，除個兩三次就知道答案了

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作者: arend    時間: 2014-8-15 04:23

請教填充1 : 3
還有填充1: 8 ; 這題不就算x^2+y^2>1與(x-1)^2+(y-1)^2<1 的面積 ? 我的答案是2-(pi/2), 不知錯哪裡
謝謝

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作者: thepiano    時間: 2014-8-15 07:38     標題: 回復 32# arend 的帖子

第3題
\(\langle\;a_n\rangle\;\)、\(\langle\;b_n\rangle\;\)為兩個公差不為0的等差數列，若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{4}{3}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_1+a_2+\ldots+a_{3n}}{nb_n}=\)　　　。
[解答]
設\(\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{1}}\)，\(\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{2}}\)
由\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\frac{4}{3}\)可知\({{d}_{1}}=\frac{4}{3}{{d}_{2}}\)
……

第8題
在\(xy\)平面上，則不等式\(\sqrt{x}\sqrt{y}(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-2x-2y+1)\le 0\)的圖形區域面積為　　　。
[解答]
考慮
\(\begin{align}
  & x\ge 0 \\
& y\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 1,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 1 \\
\end{align}\)

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作者: arend    時間: 2014-8-15 11:19

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-8-15 07:38 AM 發表
第3題
設\(\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{1}}\)，\(\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{2}}\)
由\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_ ...

謝謝piano老師, 第8:我漏算了第二部分

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作者: youngchi    時間: 2014-8-19 17:45

能否請教一下填充第一大題第4題以及第12題
謝謝!

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作者: thepiano    時間: 2014-8-19 20:47

第4題
對任意實數\(x\)，若函數\(y=f(x)\)恆滿足\(f(8-x)=f(x)\)，且方程式\(f(x)=0\)之實根和為576，則方程式\(f(x)=0\)恰有　　　個不等實根。
[解答]
\(f\left( 8-x \right)=f\left( x \right)\)
令\(x=4+t\)
\(f\left( 4-t \right)=f\left( 4+t \right)\)表示\(y=f\left( x \right)\)的圖形關於\(x=4\)對稱
所求\(=\frac{576}{4}=144\)

第12題
\(m\)為實數，已知四次方程式\(3x^4-4mx^3+1=0\)無實根，求\(m\)的範圍　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4m{{x}^{3}}+1 \\
& f'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12m{{x}^{2}}=12{{x}^{2}}\left( x-m \right)=0 \\
\end{align}\)
故\(f\left( 0 \right)和f\left( m \right)\)為\(f\left( x \right)\)之極值
由於\(f\left( x \right)=0\)無實根
\(\begin{align}
  & f\left( 0 \right)=1>0 \\
& f\left( m \right)=3{{m}^{4}}-4{{m}^{4}}+1>0 \\
& -1<m<1 \\
\end{align}\)

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作者: youngchi    時間: 2014-8-20 00:29

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-8-19 08:47 PM 發表
第4題
\(f\left( 8-x \right)=f\left( x \right)\)
令\(x=4+t\)
\(f\left( 4-t \right)=f\left( 4+t \right)\)表示\(y=f\left( x \right)\)的圖形關於\(x=4\)對稱
所求\(=\frac{576}{4}=144\)

第12題
\(\begin{alig ...

感謝piano老師詳細的解說,
本來第12題想用y=3x^4 +1  以及 y=4mx^3  來作圖求解,還是卡住...

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作者: arend    時間: 2014-8-20 03:42

請教填充II,第四題
我始這樣想:期望值=n*(1/n^2)+(n-1)*(3/n^2)+(n-2)*((3^2-2^2)/n^2)+....+0
不知這樣是否正確? 答案也求不出來
謝謝

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作者: thepiano    時間: 2014-8-20 09:24

第二大題第4題
靶上有\(n\)個同心圓\(C_i(i=0,1,2,3,\ldots,n)\)，\(C_0\)表示這些同心圓的圓心，其半徑分別為0、\(\displaystyle \frac{1}{n}\)、\(\displaystyle \frac{2}{n}\)、\(\ldots\)、\(\displaystyle \frac{n}{n}\)。射擊一次，若擊中\(C_{i+1}-C_i\)地帶，則可得\((n-i)\)元\((i=0,1,2,3,\ldots,n-1)\)。假設整個靶面恰分成此\(n\)個地帶，射中靶面時必落在此\(n\)個地帶其中之一，則射擊一次(射擊都不會落在靶外)所獲利的期望值為　　　元。
[解答]

附件: 20140820.pdf (2014-8-20 09:24, 109.23 KB) / 該附件被下載次數 7273
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2531&k=62038c503a5179adc8b9f02582130431&t=1732244392

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作者: arend    時間: 2014-8-20 17:01     標題: 回復 39# thepiano 的帖子

謝謝piano老師
我昨天可能計算出錯了
在一次謝謝你

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作者: CyberCat    時間: 2014-8-21 19:30

將\(sin10^{\circ}\)化成小數為\(sin10^{\circ}=0.abc\ldots\)則\(a=\)？

請教一下
關於計算題的部份
利用三倍角與堪根定理可以很確定 在0.1~0.2之間至少有一個實根
但 要如何說明 這個根就是sin10度?
或者是否需要補充另兩個根不可能是sin10度

拿電腦算一下 發現 x的解如下
-0.939693
0.173648
0.766044

-0.939693 可以刪除 因為 0~90度時 sin是正的
0.766044 也可以刪除 因為0~90度時 sin是遞增的 sin30度=0.5 所以也不合
所以只可以選0.173648
可是在考試的當下 該如何判斷呢?
直接依題意去說0.1~0.2之間的根就是sin10度 似乎有一點點說不上來的一種懷疑

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作者: tsusy    時間: 2014-8-24 16:49     標題: 回復 41# CyberCat 的帖子

其實你自己已經給出答案了，用電腦和自己手動勘根，判斷的原理沒什麼不一樣，只是電腦又快又準而已。

所以說明，就是把計算機的說明抄一遍改成勘根版

\( \sin 10^\circ \) 是方程式 \( 8t^{3}-6t+1=0 \) 的一實根

將 \( t = -1, 0, \frac12, 1 \) 代入可得 t 在 \( (-1,0), (0,\frac12), (\frac12,1) \) 有根(而且是恰各1個)

正負，增減再抄完就說明 \( \sin 10^\circ \) 只能是 \( (0,\frac12) \) 中的那一根，

實際上由三倍角公式也可以知道另兩根是 \( \sin 50^\circ, \sin(-70^\circ) \)

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作者: CyberCat    時間: 2014-8-25 01:11     標題: 回復 42# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師解惑
謝謝您！

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作者: youngchi    時間: 2014-9-17 14:00

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-8-19 08:47 PM 發表
第4題
\(f\left( 8-x \right)=f\left( x \right)\)
令\(x=4+t\)
\(f\left( 4-t \right)=f\left( 4+t \right)\)表示\(y=f\left( x \right)\)的圖形關於\(x=4\)對稱
所求\(=\frac{576}{4}=144\)

第12題
\(\begin{alig ...

您好,請問週期函數f(x+8)=f(x) 週期T=8 ,而g(8-x)=g(x)其週期T=? why?
拜託幫我解除疑惑,謝謝!

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作者: thepiano    時間: 2014-9-17 16:54     標題: 回復 44# youngchi 的帖子

您這個 g(x) 不是週期函數

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作者: youngchi    時間: 2014-9-17 18:00

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-9-17 04:54 PM 發表
您這個 g(x) 不是週期函數

謝謝鋼琴老師解惑!
因為最近複習寸絲老師的總整理,頭腦有時清明有時渾沌,觀念就轉不過來!

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作者: jackyxul4    時間: 2014-12-30 17:36

引用:

原帖由 johncai 於 2014-8-11 12:58 PM 發表
填充一.1.設f(x)為n次多項式，係數為a
則微分後再乘X, n次係數為na
依題意：2a-na=0
所以n=2
再設f(x)=ax^2+bx+c代回等式
接下來就容易了

填充二.2.參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3417
...

想請問一下，為什麼填充一.1.設f(x)為n次多項式，不用考慮後面x^(n-1).x^(n-2).....這些項的係數?
我自己是用微分方程的方式去算，想知道這樣的方式是不是能證明出來的快速解法?

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