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標題: 103金門高中 [打印本頁]
作者: johncai    時間: 2014-7-9 17:33     標題: 103金門高中

一字不漏打的
歡迎大家討論

附件: 國立金門高級中學103學年度第1次教師甄試數學科試題.rar (2014-7-9 17:33, 34.04 KB) / 該附件被下載次數 9181
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2465&k=98ca2bcd0b7d108c96941c2accf08d64&t=1732318144
作者: jmfeng2001    時間: 2014-7-18 18:35     標題: 請教第三題

想請教各位老師,第三題該如何思考...
有想過用遞迴,但不知道x+y,xy的值,況且也還有a,b等數字...
苦惱中...求教中...謝謝
作者: tsusy    時間: 2014-7-18 20:05     標題: 回復 2# jmfeng2001 的帖子

第三題. 柯西不等式 \( (1)(3) \geq (2)^2 \) 等號恰成立，可得 \( x^2 = y^2 =z^2 \)

又三數皆正，故 \( x=y=z \)，代入三方程式可得 \( x = y = z = \frac32 \)

故三程式簡化後為 \( \displaystyle a^\frac32 + b^\frac32 + c^\frac32 = 4 \)

又 \( a,b,c \geq 1 \)，故當 \( a=b=1 \) 時，\( c \) 有最大值 \( 2^\frac23 \)
作者: jmfeng2001    時間: 2014-7-18 20:27     標題: 感謝寸絲老師的指導

太強了...
二下就解決了...
我想很久...想要柯西...又不知該如何下手...原來如此...
解決了...真開心...感謝老師指導
作者: hua0127    時間: 2014-7-18 22:38     標題: 回復 3# tsusy 的帖子

寸絲兄使用柯西可謂神手~之前很多帖子都拜見過也學了不少XD
作者: 阿光    時間: 2014-8-31 19:12

想請教1,7,10題 謝謝
作者: tsusy    時間: 2014-8-31 20:28     標題: 回復 6# 阿光 的帖子

第 1 題，可參考 99中壢高中2招第2題 weiye 老師的解題
作者: thepiano    時間: 2014-8-31 21:22     標題: 回復 6# 阿光 的帖子

第10題
作\(\overline{CD}\)垂直x軸於D
令∠\(CAD=\theta \quad \left( 0\le \theta \le \frac{\pi }{2} \right)\)，則∠\(ABO=\theta \)
\(\begin{align}
  & \overline{OA}=\overline{CD}=a\sin \theta ,\overline{AD}=a\cos \theta  \\
& C\left( a\left( \sin \theta +\cos \theta  \right),a\sin \theta  \right) \\
& \overline{OC}=a\sqrt{{{\left( \sin \theta +\cos \theta  \right)}^{2}}+{{\sin }^{2}}\theta } \\
& =a\sqrt{1+\sin 2\theta +{{\sin }^{2}}\theta } \\
& =a\sqrt{\sin 2\theta -\frac{1}{2}\cos 2\theta +\frac{3}{2}} \\
\end{align}\)
故\(\overline{OC}\)最大值為\(\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2}}\ a\)，最小值為\(a\)
作者: thepiano    時間: 2014-9-2 14:34     標題: 回復 6# 阿光 的帖子

第7題
幫忙打字一下好了

(1)
\(\begin{align}
  & {{a}_{1}}=3 \\
& {{a}_{2}}=\frac{1}{3}\times 4\times 3=4 \\
& {{a}_{3}}=\frac{1}{9}\times {{4}^{2}}\times 3=\frac{16}{3} \\
& : \\
& {{a}_{n}}=\frac{4}{3}{{a}_{n-1}} \\
& \frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}}+\cdots =\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{3}{4}}=\frac{4}{3} \\
\end{align}\)
(2)
\(\begin{align}
  & {{b}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4} \\
& {{b}_{2}}={{b}_{1}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}{{b}_{1}}\times 3 \\
& {{b}_{3}}={{b}_{1}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}{{b}_{1}}\times 3+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{4}}{{b}_{1}}\times 12={{b}_{1}}+\left[ {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}\times 3+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{4}}\times 12 \right]{{b}_{1}} \\
& : \\
& {{b}_{n}}={{b}_{1}}+\left[ {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}\times 3+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{4}}\times 12+\cdots +{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2n-2}}\times 3\times {{4}^{n-2}} \right]{{b}_{1}} \\
& ={{b}_{1}}+\frac{3}{5}\left[ 1-{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{n-1}} \right]{{b}_{1}} \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=\frac{8}{5}{{b}_{1}}=\frac{2}{5}\sqrt{3} \\
\end{align}\)
作者: exin0955    時間: 2014-11-28 11:54

想請益第八題??
有試過 餘弦 和 三角形面積 做到一半式子都很難解...
而且沒答案 一整個沒把握解完
請問各位前輩們有算過這題嗎?
作者: tsusy    時間: 2014-11-28 12:18     標題: 回復 10# exin0955 的帖子

第八題，是個老梗題

見 bugmens 的「我的教甄準之路」 102.2.6補充  https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112
作者: studentJ    時間: 2014-11-28 13:24

不好意思,我算出來答案是3次根號2  

連結上的答案是2次根號3,請問哪邊算錯了QQ
作者: exin0955    時間: 2014-11-28 14:35     標題: 回復 11# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師^^
作者: thepiano    時間: 2014-11-29 09:24     標題: 回復 12# studentJ 的帖子

bugmens 兄筆誤，答案是\(\sqrt[3]{2}\)才對
作者: bugmens    時間: 2014-11-29 12:19

是我寫錯了,感謝指正
作者: mandy    時間: 2014-12-13 17:27

請問第五如何做?

我算出的位數是200 ,個位數字是9

[ 本帖最後由 mandy 於 2014-12-13 09:19 PM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2014-12-13 21:14     標題: 回復 16# mandy 的帖子

第 5 題
(1)\({{10}^{210}}\)是211位數，\({{10}^{10}}+3\)是11位數
寫成除法直式觀察
可發現要先用\({{10}^{210}}\)的前12位數去除以\({{10}^{10}}+3\)，得商的最高位是9
故\(\frac{{{10}^{210}}}{{{10}^{10}}+3}\)的整數部分是211-11=200位數

(2)
令\(x={{10}^{10}}\)
\(\begin{align}
  & \frac{{{10}^{210}}}{{{10}^{10}}+3}=\frac{{{x}^{21}}}{x+3}=\frac{{{x}^{21}}+{{3}^{21}}}{x+3}-\frac{{{3}^{21}}}{x+3} \\
& \frac{{{x}^{21}}+{{3}^{21}}}{x+3}={{x}^{20}}-3{{x}^{19}}+9{{x}^{18}}-\cdots -{{3}^{19}}x+{{3}^{20}}\equiv {{3}^{20}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& \frac{{{3}^{21}}}{x+3}=\frac{10460353203}{10000000003} \\
& 1<\frac{{{3}^{21}}}{x+3}<2 \\
\end{align}\)
故\(\frac{{{10}^{210}}}{{{10}^{10}}+3}\)的個位數的數字是9
作者: mandy    時間: 2014-12-13 21:20     標題: 回復 17# thepiano 的帖子

謝謝!
作者: Jacob    時間: 2015-3-7 18:34

想請問第6題，是否可從條件一知角B=角C，
若角B=角C，那條件二是否有問題呢?
作者: tsusy    時間: 2015-3-7 21:09     標題: 回復 19# Jacob 的帖子

第6題，當然推不出等角的，反例 \( \angle B =30^\circ \), \( \angle C =60^\circ \)
作者: Jacob    時間: 2015-3-8 08:18     標題: 回復 20# tsusy 的帖子

嗯，原來如此，感謝寸絲大的說明。

[ 本帖最後由 Jacob 於 2015-3-8 08:19 AM 編輯 ]



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