標題: 凸n邊形的頂點在拋物線上 [打印本頁]

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作者: tsyr    時間: 2014-7-1 07:48     標題: 凸n邊形的頂點在拋物線上

是否存在一個凸n邊形使得它的頂點都在拋物線y = x^2上，
且它的邊長都相等
(a) 當 n=2011 時
(b) 當 n=2012 時

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作者: hua0127    時間: 2014-7-1 09:42

(a) 比較簡單，以下為略證：
令第一個頂點為原點V，然後在x軸的左邊取1005個頂點A(1)~A(1005) 使得每段的長度都相等，設為a；
利用對稱，將A(1)~A(1005)對x軸對稱得到另外1005個頂點B(1)~B(1005), 考慮頂點 A(1005)B(1005)的長度為b
就結論來說，存在a的長度使得a<b (取a足夠小時) ；存在a的長度使得a>b (取a足夠大時)
根據連續性，利用中間值定理(勘根定理也可以)，存在a使得a=b

(b) 比較繁瑣，可能要分情況說明：
   (1) 第一個頂點為原點時，此時最後一個頂點也需取在y軸上，但是此點應該找不到(需驗證!)
   (2) 當x軸左右兩邊都有1006個頂點時(無論對不對稱)，無法成立
   (3) 當x軸左右兩邊的頂點數不同時，無法成立

當然這只是想法而已XD

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作者: tsyr    時間: 2014-7-1 10:27

第一題
我的想法和hua0127老師一樣

至於第二題......
因為不可能分兩邊對稱討論
如果要證明此多邊形不存在
應該要先證明"必有某一邊大於或小於某一邊"吧!

(1)第一個頂點為原點時，此時最後一個頂點也需取在y軸上，但是此點應該找不到
根據對稱性吧，因為一定要對稱

(2)當x軸左右兩邊都有1006個頂點時(無論對不對稱)，
假設左邊由下而上分別為A(1)~A(1005)，右邊由下而上分別為B(1)~B(1005)
則A(1005)B(1005)長度一定大於A(1)B(1)長度
因為A(1)B(1) < A(2)B(2) < A(3)B(3) < ...... < A(1005)B(1005)

等等，是不是任意四邊形都有上述性質呀?
比較上面的邊一定大於比較下面的邊
所以因為2012是偶數
所以不存在?
好像可以這樣證
若有漏洞請提出

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