標題: 內切圓半徑相等時 [打印本頁]

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作者: bch0722b    時間: 2014-6-30 22:03     標題: 內切圓半徑相等時

已知三角形ABC中，BC邊上的高=4，且三角形ABC的內接圓直徑為3。今在BC上取一點K使得三角形ABK的內接圓半徑=三角形ACK的內接圓半徑=r。
求r?

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作者: hua0127    時間: 2014-6-30 23:45     標題: 回復 1# bch0722b 的帖子

令三邊長為\(a,b,c\), 則由面積關係，\(\left( \frac{a+b+c}{2} \right)\cdot \left( \frac{3}{2} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( 4a \right)\Rightarrow b+c=\frac{5}{3}a\)
利用一個不常見的小性質：內切圓等分線的長度 \(\overline{AK}=\sqrt{s\left( s-a \right)}=\sqrt{\left( \frac{4}{3}a \right)\cdot \left( \frac{1}{3}a \right)}=\frac{2}{3}a\)
(詳情見莊老師的文章：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35408.pdf)

最後，再利用一次面積相等，
\(2a=\left( a+b+c+2\overline{AK} \right)\cdot r=\left( 4a \right)\cdot r\Rightarrow r=\frac{1}{2}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-30 11:55 PM 編輯 ]

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作者: tsyr    時間: 2014-7-1 07:08

這小定理 幾乎是為了這題而出現的

不對，說反了，這題的出題者應該是看了這定理才出的吧!

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作者: bch0722b    時間: 2014-7-1 21:00

確實少見的東西~~

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