標題: 三角形的旁心與面積比 [打印本頁]

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作者: tsyr    時間: 2014-6-29 16:37     標題: 三角形的旁心與面積比

再請教一題

三角形ABC中，三邊長分別為2、3、4，三個旁心為a、b、c，則
三角形abc和三角形ABC的面積比為何?

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作者: bch0722b    時間: 2014-6-29 17:56

座標?

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作者: tsyr    時間: 2014-6-29 18:09

沒搞錯吧!數字超醜的!
在沒有步之前，禁用解析幾何
我一開始是想用共圓和相似解題
但後來卡住了~~

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-29 18:14

引用:

原帖由 tsyr 於 2014-6-29 06:09 PM 發表
沒搞錯吧!數字超醜的!
在沒有步之前，禁用解析幾何
我一開始是想用共圓和相似解題
但後來卡住了~~

參考下列公式~應有幫助
http://baike.baidu.com/view/1862639.htm#1_8
http://zhidao.baidu.com/question ... l=relate_question_3

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作者: tsyr    時間: 2014-6-29 18:25

謝謝，我懂了，所以答案是32/5

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作者: hua0127    時間: 2014-6-29 20:25     標題: 回復 5# tsyr 的帖子

也可參考這篇丁老師的作品
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d294/29410.pdf

裡面有提到橢圓兄所列的參考公式，順帶整理一下本題：
設三角形三邊為\(a,b,c\), \(s=\frac{a+b+c}{2}\), 面積為\(A\), 對應的旁切圓半徑為\({{r}_{a}},{{r}_{b}},{{r}_{c}}\), 則
(1) \(A=\left( s-a \right){{r}_{a}}=\left( s-b \right){{r}_{b}}=\left( s-c \right){{r}_{c}}\)
(2) \(ab+bc+ca={{s}^{2}}+4Rr+{{r}^{2}}\)
(3) \(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c}=\frac{4R+r}{rs}\)
(4) 旁心三角形的面積\({{A}_{p}}=2Rs\), 故旁心三角形與原三角形的面積比值為\(\frac{2R}{r}\).
   < Pf > (1) 請參閱文章(有圖比較清楚)
              (2) 由海龍公式可推得\(\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)={{r}^{2}}s\), 故
                   \({{s}^{3}}-\left( a+b+c \right){{s}^{2}}+\left( ab+bc+ca \right)s-abc={{r}^{2}}s\), 結合\(abc=4Rrs\), 整理得到
                   \(ab+bc+ca={{s}^{2}}+4Rr+{{r}^{2}}\).
              (3) \(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c}=\frac{ab+bc+ca-{{s}^{2}}}{\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}=\frac{4Rr+{{r}^{2}}}{{{r}^{2}}s}=\frac{4R+r}{rs}\)
              (4) \({{A}_{p}}=\frac{1}{2}\left( a{{r}_{a}}+b{{r}_{b}}+c{{r}_{c}} \right)+rs=\frac{1}{2}\left( a\cdot \frac{rs}{s-a}+b\cdot \frac{rs}{s-b}+c\cdot \frac{rs}{s-c} \right)+rs\)
                   \(=\frac{1}{2}rs\left( \frac{a}{s-a}+\frac{b}{s-b}+\frac{c}{s-c} \right)+rs=\frac{1}{2}rs\left( \frac{s}{s-a}+\frac{s}{s-b}+\frac{s}{s-c}-3 \right)+rs\)
                   \(=\frac{1}{2}rs\left( s\cdot \left( \frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c} \right)-3 \right)+rs=\frac{1}{2}rs\left( s\cdot \frac{4R+r}{rs}-3 \right)+rs=2Rs\), 證畢。
   
故旁心三角形，原三角形與內接圓三切點所形成的三角形面積會成一等比數列

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作者: tsyr    時間: 2014-6-29 21:17

補個完整解法好了
謝謝大家的幫忙

圖片附件: 1.png (2014-6-29 21:17, 73.53 KB) / 該附件被下載次數 4615
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2435&k=e7d28a0a8f8d3a29f085e096d5e06980&t=1713586408

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-29 21:28     標題: 回復 7# tsyr 的帖子

我覺得原數據2,3,4
在算填充或選擇可以改成4,6,8
這樣p會比較好看(好算)
反正是算比值,所以放大沒影響~

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-29 21:37     標題: 回復 6# hua0127 的帖子

hua0127兄所推薦的文章裡面有提到:
匡繼昌教授編著的「常用不等式」
這本小弟也有買簡體版(人民幣:89)
是鋼琴兄說這有好多奇奇怪怪不等式
於是好奇去買來看
整本有八百多頁, 共六千多個不等式
小弟很少翻,因為都看不懂...

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作者: tsyr    時間: 2014-6-29 21:44

不等式是我最頭痛的一部份
若幾何再結合不等式，那我幾乎都不會寫
可以請問一下，要如何加強不等式的解題能力?

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-29 21:51

引用:

原帖由 tsyr 於 2014-6-29 09:44 PM 發表
不等式是我最頭痛的一部份
若幾何再結合不等式，那我幾乎都不會寫
可以請問一下，要如何加強不等式的解題能力?

大陸有很多不等式的書
整本都在講不等式
有的很簡單,有的很難
不曉得您的不等式功力到哪?
要看看情況才能推薦適合的書
找到對的書,不等式功力會增加一甲子

像小弟不等式功力就是從那些書練出來的~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-29 09:54 PM 編輯 ]

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作者: tsyr    時間: 2014-6-29 21:58

我最近有看到"數學奧林匹亞小叢書"的不等式(小藍本)
裡面有2本專門講不等式的
但它裡面題目都不是很簡單
每一題都要想很久

學不等式需要記很多特定方法嗎?(沒看過不知道的那種)
因為常常都有證明題
用這些技巧好像可以秒殺
但我還是比較喜歡慢慢推

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-29 22:01     標題: 回復 12# tsyr 的帖子

那兩本是哪一家出版社?
也沒有很多,方法大家都知道
只是會不會用而已~
常用不等式有:
三角,算幾,方均根,柯西,琴生, 排序,切比雪夫,閔可夫斯基不等式...
常用方法有:
比較法,分析法,綜合法,反証法,縮放法,換元法,歸納法,微分法,構造法...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-29 10:14 PM 編輯 ]

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作者: tsyr    時間: 2014-6-29 22:14

九章出版社
我真的該好好修練了
老實說您剛才說的有幾個我連名字都沒聽過

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