標題: 正整數的質因數個數 [打印本頁]

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作者: tsyr    時間: 2014-6-20 18:07     標題: 正整數的質因數個數

令C(n)表示正整數n的質因數個數。(例如C(10)=2、C(11)=1、C(12)=2。)
(1)當a不等於b時，請問C(a+b)=C(a)+C(b)滿足的正整數對(a,b)為有限多對還是無限多對？
(2)如果還另外要求C(a+b)>1000，則滿足C(a+b)=C(a)+C(b)的正整數對(a,b)為有限多對還是無限多對？

我的第1題解法:
假設a=2^k，b=2^(k+1)
則a+b=3*2^k
滿足C(a+b)=2=1+1=C(a)+C(b)
k為任意非負整數
故有無限多組

第2題答案也是無限多組，
但「另外要求C(a+b)>1000」這句話該如何處理?
感覺好像條件變多了，也較為棘手。

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作者: cefepime    時間: 2014-6-21 12:12

令 C(n) 表示正整數 n 的質因數個數。(例如 C(10)=2、C(11)=1、C(12)=2。)


(2)如果還另外要求 C(a+b)>1000，則滿足 C(a+b) = C(a) + C(b) 的正整數對 (a,b) 為有限多對還是無限多對？




試解 (有錯敬請指正):


1. 考慮最小的 501 個質數，令其乘積 = P，則 C(P-1) < 501。


2. 取相異於最小的 501 個質數及 (P-1) 的質因數的 "501 - C(P-1)" 個相異質數，令其乘積 = N。


3. 令 a = (P-1)*(P-1)*N，則 C(a) = 501，b = (P-1)*N，則 C(b) = 501。


4. a + b = P*(P-1)*N，注意到 P 與 (P-1)*N 互質，則 C(a+b) = 501 + 501 = C(a) + C(b) >1000。


5. 以上構造了一組滿足 C(a+b) >1000 且 C(a+b) = C(a) + C(b) 的相異正整數對 (a,b)。


6. 由於步驟 2 有無限多種取法，或步驟 3 可對 N 冠以任意正整數指數(但a，b要同步調整)，故滿足題意之正整數對 (a,b) 為無限多對。


7. 依此類推，無論給予 C(a+b) 任何下界，滿足題意之正整數對 (a,b) 皆有無限多對。



[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-6-22 01:23 PM 編輯 ]

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作者: tsyr    時間: 2014-6-21 15:47

只要舉出一種取法即可證明有無限多組解。
但就是難在舉例啊!
謝謝  我懂了

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