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標題: 103南大附中 [打印本頁]

作者: natureling 時間: 2014-6-15 21:33 標題: 103南大附中

想請教填4和填11謝謝

附件: 數學題目1.pdf (2014-6-15 21:33, 498.61 KB) / 該附件被下載次數 12782
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2385&k=e4d8495c0aa04581394c7a8f38ac08c3&t=1732237703

附件: 數學題目2.pdf (2014-6-15 21:33, 399.87 KB) / 該附件被下載次數 12049
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2386&k=f69be9c5e3d007e8c1a0e29580b5d982&t=1732237703

附件: 數學參考答案.pdf (2014-6-15 21:33, 240.5 KB) / 該附件被下載次數 12813
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2387&k=b93e63febdefefbee5fb73a1a3490642&t=1732237703

作者: bugmens 時間: 2014-6-15 21:47

2.
在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心相距20。若作一平面與這兩球面相切，且與圓柱體相交成一橢圓，則此橢圓的長軸為　　。
[解答]
長軸長等於球心距

在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心距為13。今有一平面與這兩球面相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則這個橢圓的長軸與短軸長之和為　　。
(99中正高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=981&page=3#pid4693)

3.
某班有10位學生，投票表達其較喜歡英文老師或數學老師，每人一票且必須投給一位老師，不能兩位老師都選或都不選。開票時，逐一開票。假設，每位學生投給老師的機率均為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。請問，在數學老師的總得票數為6票之條件下，數學老師的得票數在開票過程中，一路領先於英文老師的得票數之機率為　　？
[公式]
\( \displaystyle \frac{6-4}{6+4}=\frac{1}{5} \)

13.
求兩圓柱體\( x^2+y^2 \le 1 \)與\( x^2+z^2 \le 1 \)所共有部份體積是　　。

求計算\( x^2+y^2\le 1 \)，\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
(98彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1312)

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計算1.
\( \Delta ABC \)中，設\( \overline{BC} \)，\( \overline{AC} \)，\( \overline{AB} \)邊上的高分別為\( h_a \)，\( h_b \)，\( h_c \)，內接圓半徑為r。試證：\( h_a+h_b+h_c \ge 9 r \)
[證明]
\( \displaystyle \Delta=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a=\frac{1}{2} \cdot (a+b+c) \cdot r \)，得\( \displaystyle h_a=\frac{a+b+c}{a}r \)

同理\( \displaystyle h_b=\frac{a+b+c}{b}r \)，\( \displaystyle h_c=\frac{a+b+c}{c}r \)

\( \displaystyle h_a+h_b+h_c=r(a+b+c) \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \ge 9 r \)

作者: sun 時間: 2014-6-15 22:10 標題: 103 年南大附中第11題

原來是我看錯題目了，謝謝拉

作者: hua0127 時間: 2014-6-15 22:25 標題: 回復 1# natureling 的帖子

第4題：
先觀察原行列式可化簡為
\(\frac{1}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left| \begin{matrix}
1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|\), 後面的行列式硬爆開也可以，
但也可以考慮此為缺行的凡德孟行列式，
令函數\(g\left( x \right)=\left| \begin{matrix}
1 & a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
1 & b & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
1 & c & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
1 & x & {{x}^{2}} & {{x}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( b-a \right)\left( c-a \right)\left( c-b \right)\)
則 \(\left| \begin{matrix}
1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|\) 就是函數\(g\)的\(x\)項係數，故所求
\(\frac{1}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left| \begin{matrix}
1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|=\frac{ab+bc+ca}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left( b-a \right)\left( c-a \right)\left( c-b \right)\Rightarrow f\left( a,b,c \right)=\frac{ab+bc+ca}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\)

作者: thepiano 時間: 2014-6-15 22:39

引用:

原帖由 sun 於 2014-6-15 10:10 PM 發表
填充4和填充11
請各位高手幫我確定一下吧! 如果是的話，請有去考的考生明天一早趕快去申訴，搞不好就差一題進複試了。

填充 11
後面 y 的部份只有 3 個絕對值

作者: subway 時間: 2014-6-16 09:15 標題: 問問題~

想請問填充6.9.15 謝謝!!

作者: Ellipse 時間: 2014-6-16 09:27 標題: 回復 4# hua0127 的帖子

帥喔~解得漂亮~

作者: Ellipse 時間: 2014-6-16 09:54 標題: 回復 6# subway 的帖子

#6
k/(k+3)² = (1/k)* 1/ [1+3/k]²
所求=∫ {0 to 1}  1/(1+3x)²  dx
(令u=3x+1 , du=3dx , x=0時,u=1 ;x=1時,u=4)
= (1/3) ∫ {1 to 4}  1/u²  du
=(-1/3)* u^(-1)  | {1 to 4}
=(-1/3)* (1/4 -1/1)
=1/4

#9
疊合~
2y+ycosx=cox+2sinx
2y=(1-y)cosx+2sinx
2y=[(1-y)²+4]^0.5* cos(x+a)
|2y|/[(1-y)²+4]^0.5<=1
解得-5/3<=y<=1

#12
歐拉公式~

#14
唬人的~題目雖是空間敘述
但可用柯西不等式~

# 15
所求=∫ {0 to 1}  [cos(πx/4)]²  dx
=(1/2)∫ {0 to 1}  [cos(πx/2)+1]  dx  (兩倍角公式)
=(1/2) [ (2/π)*sin(πx/2) +x ] |  {0 to 1}
=(1/2)[ 2/π +1]
=1/π +1/2

作者: hua0127 時間: 2014-6-16 11:03 標題: 回復 6# subway 的帖子

補充填充9：
橢圓兄有在 103華僑中學的主題表演過n種解法XD，也可參考
https://math.pro/db/thread-1886-1-2.html

計算1：
\(a{{h}_{a}}=b{{h}_{b}}=c{{h}_{c}}=2rs=r\left( a+b+c \right)\) , 利用柯西不等式
\({{h}_{a}}+{{h}_{b}}+{{h}_{c}}=r\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9r\),
等號成立在正三角形時

(沒看到 bugmens 版主已在#2 有PO解法XD)

作者: subway 時間: 2014-6-16 12:12 標題: 回復 9# hua0127 的帖子

謝謝前輩們
那可以繼續請問第9題要怎麼看成幾何的斜率嗎?
謝謝~

想順便再問第三題

為什麼不能是 90 / C(10,6) = 3/7 呢?

圖片附件: 未命名.png (2014-6-16 13:20, 11.17 KB) / 該附件被下載次數 7480
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2390&k=df91b1d984f9b83cebfdece4ddd6a4f2&t=1732237703

作者: Ellipse 時間: 2014-6-16 12:20

引用:

原帖由 subway 於 2014-6-16 12:12 PM 發表
謝謝前輩們
那可以繼續請問第9題要怎麼看成幾何的斜率嗎?
謝謝~

原式=(cosx+2+2sinx-2)/(cosx+2)
=1+(2sinx-2)/[cosx-(-2)]
後面看成橢圓x²/1+y²/4=1上動點P(cosx,2sinx)
與A(-2,2)所連成直線的斜率值~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-16 12:26 PM 編輯 ]

作者: matric 時間: 2014-6-16 12:26 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

請問，第3題的公式如何得到，還有機率1/2沒有用到說???

作者: thepiano 時間: 2014-6-16 12:31 標題: 回復 12# matric 的帖子

這個公式說來話長，可參考許介彥老師的大作"數學悠哉遊" P139

作者: leo790124 時間: 2014-6-16 14:24

想請教第1和11題。
謝謝

作者: hua0127 時間: 2014-6-16 14:48 標題: 回復 14# leo790124 的帖子

第1題：
令原先有\({{a}_{0}}\)個，\({{a}_{n}}=\frac{3}{4}\left( {{a}_{n-1}}-1 \right),n=\text{1},2,3,4,5\)表示第n位同學吃完一個後再拿完一堆所剩的橘子數，移項得知
\({{a}_{5}}+3=\frac{3}{4}\left( {{a}_{4}}+3 \right)={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{5}}\left( {{a}_{0}}+3 \right)=\frac{243}{1024}\left( {{a}_{0}}+3 \right)\),
因為\({{a}_{5}}\equiv 1\left( \bmod 4 \right)\Rightarrow {{a}_{5}}+3\equiv 0\left( \bmod 4 \right)\) 取\({{a}_{0}}+3=4096\) 為最小，此時\({{a}_{0}}=4093\)

作者: hua0127 時間: 2014-6-16 16:17 標題: 回復 12# matric 的帖子

或許也能考慮直接用計算的方式：
利用算 catalan 數的觀念(對稱)，直接計算不經過對角線的捷徑數：
如圖，A走捷徑到B但是不能碰到\({{P}_{k}},k=1,2,3,4\),
觀察\(A'\to {{P}_{k}}\to B\) 的不合走法數由於對稱的關係會等於\(A''\to {{P}_{k}}\to B\) 的不合走法數，
每1種不合走法會一一對應，又\(A''\to B\)的每一種走法均為不合，故所求機率為

\(\frac{n\left( A'\to B \right)-n\left( A''\to B \right)}{n\left( A\to B \right)}=\frac{C_{5}^{9}-C_{6}^{9}}{C_{6}^{10}}=\frac{6-4}{6+4}=\frac{1}{5}\)

(推論：若size為向右m步，向上n步, \(m\ge n\) , 則所求機率為\(\frac{C_{m-1}^{(m-1)+n}-C_{m}^{m+\left( n-1 \right)}}{C_{m}^{m+n}}=\frac{m-n}{m+n}\) )

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-16 11:53 PM 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2014-6-16 16:52

引用:

原帖由 subway 於 2014-6-16 12:12 PM 發表
想順便再問第三題
為什麼不能是 90 / C(10,6) = 3/7 呢?

不能碰到那條線，分子應是42

作者: matric 時間: 2014-6-16 22:24 標題: 回復 16# hua0127 的帖子

謝謝大大的說明...

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-17 14:08 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

想請問平面截圓柱圖是什麼軟體作出來的
謝謝版主！

作者: bugmens 時間: 2014-6-17 19:50

引用:

原帖由 瓜農自足 於 2014-6-17 02:08 PM 發表
想請問平面截圓柱圖是什麼軟體作出來的
謝謝版主！

那時候急著發表文章，是從網路上找到的
http://blog.zacharyabel.com/2012/10/what-makes-ellipses-ellipses/

作者: Ellipse 時間: 2014-6-17 20:41

引用:

原帖由 瓜農自足 於 2014-6-17 02:08 PM 發表
想請問平面截圓柱圖是什麼軟體作出來的
謝謝版主！

其實利用ggb也可以做到
看您怎麼做而已~

作者: David 時間: 2014-6-18 16:28

提供填充11題的圖(有錯請指正). 下圖為全部的四分之一. 再以y=3, x=0做對稱軸, 可得全部.

[ 本帖最後由 David 於 2014-6-18 04:32 PM 編輯 ]

圖片附件: 11.png (2014-6-18 16:28, 26.17 KB) / 該附件被下載次數 5887
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2397&k=a0be26a86a87143ca9f7482e191d9ef5&t=1732237703

作者: 阿光 時間: 2014-6-18 17:16

想請教填充10 謝謝

作者: David 時間: 2014-6-18 17:51 標題: 回復 23# 阿光的帖子

填充10, 我是這樣做:
取AB之中點M(5,3), 則\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=2(\overline{PM}^2+\overline{MA}^2)\)
其中\(\overline{AM}^2=8\), 而\(\overline{PM}^2\)之最小值即為\(\overline{ED}\)與M距離的平方(P落在\(\overline{ED}\), 且與M最近時). 兩者相加乘2即得.

[ 本帖最後由 David 於 2014-6-18 06:00 PM 編輯 ]

作者: 小傑 時間: 2014-6-18 18:01

hua0127老師~請教第14題為何函數可以這樣令?第一行化簡ok~但從令函數開始就看不大懂，請老師指點迷津一下~感謝老師!!

作者: hua0127 時間: 2014-6-18 18:11 標題: 回復 25# 小傑的帖子

小傑兄你是要問第4題嗎?
這個想法是先把原行列式補成可以使用凡德夢的性質，
為了要多補一行，我們還得再補一列，那一列就用變數x來取代，故設計了一個函數
然後此函數在第4列降階時有如下的結果：
\(\left| \begin{matrix}
1 & a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
1 & b & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
1 & c & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
1 & x & {{x}^{2}} & {{x}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}
a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
b & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
c & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|+x\left| \begin{matrix}
1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|-{{x}^{2}}\left| \begin{matrix}
1 & a & {{a}^{3}}  \\
1 & b & {{b}^{3}}  \\
1 & c & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|+{{x}^{3}}\left| \begin{matrix}
1 & a & {{a}^{2}}  \\
1 & b & {{b}^{2}}  \\
1 & c & {{c}^{2}}  \\
\end{matrix} \right|\)
我們要的剛好是x的係數，然後利用凡德夢的結果(為3次多項式)觀察x的係數就可以得到所求

希望這樣解釋有稍微清楚一些

作者: blackwhite 時間: 2014-6-18 19:09

引用:

原帖由 David 於 2014-6-18 04:28 PM 發表
提供填充11題的圖(有錯請指正). 下圖為全部的四分之一. 再以y=3, x=0做對稱軸, 可得全部.

2397

提供ㄧ種看法
(1)此題題目有有瑕疵要算面積應該改為不等式<=
(2)此題應該由一連串的對稱與平移而得到如此觀念才會清楚
(3)davi兄的圖沒錯

圖片附件: 解題１.png (2014-6-18 19:09, 148.42 KB) / 該附件被下載次數 4734
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2400&k=19567c8a569c69a64c82498448af4a1f&t=1732237703

圖片附件: 解題4.png (2014-6-18 19:09, 83.97 KB) / 該附件被下載次數 4877
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2401&k=1a00cd4c4b6f1870b71dbceee34352dc&t=1732237703

作者: 小傑 時間: 2014-6-20 09:44

感謝 hua0127 老師的回覆，有較懂了~可以麻煩老師解釋一下填充第11?感謝

作者: arend 時間: 2014-7-19 19:29

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-16 02:48 PM 發表
第1題：
令原先有\({{a}_{0}}\)個，\({{a}_{n}}=\frac{3}{4}\left( {{a}_{n-1}}-1 \right),n=\text{1},2,3,4,5\)表示第n位同學吃完一個後再拿完一堆所剩的橘子數，移項得知
\({{a}_{5}}+3=\frac{3}{4}\left( {{a}_{4}}+3 \ ...

請教hua老師
第1題
原題:第一位同學將橘子分成四堆,剩下一個,他吃掉剩下那一個,並帶走一堆.
      第二位同學將橘子分成四堆,剩下一個,他吃掉剩下那一個,並帶走一堆.
   a_0=4a_1+1
   3a_1=4a_2+1
   ........
   這樣就與你所寫\({{a}_{n}}=\frac{3}{4}\left( {{a}_{n-1}}-1 \right),n=\text{1},2,3,4,5\)不合
   我不知我觀念錯在哪裡
   謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-7-20 19:17 標題: 回復 29# arend 的帖子

第一題. hua0127 老師的 \( a_n \) 是第 \( n \) 位同學吃完一個後再拿完一堆"所剩的橘子數"

你的 \( a_n \) 也是嗎？

作者: arend 時間: 2014-7-21 02:22

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-7-20 07:17 PM 發表
第一題. hua0127 老師的 \( a_n \) 是第 \( n \) 位同學吃完一個後再拿完一堆"所剩的橘子數"

你的 \( a_n \) 也是嗎？

謝謝tsusy老師
我清楚了

作者: 小姑姑 時間: 2014-7-29 13:41

請問第5題矩陣，計算出2I-N後，如何尋得它的規律性？或是有更好的解法嗎？

作者: tsusy 時間: 2014-7-29 14:17 標題: 回復 32# 小姑姑的帖子

填充5. 注意 \( IN = NI =N \), \( N^2 = O \) ( 0 矩陣)

以二項式定理展開 \( (2I+N)^{103} \) 得 \( (2I)^{103} + 103(2I)^{102}N \)

------------------------------------------

樓下可以考慮特徵值硬暴(誤) 這樣就不會白佔 1 層樓

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-7-29 02:27 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-7-29 14:21 標題: 回復 32# 小姑姑的帖子

N的平方為零矩陣，利用二項式定理應該就可以了

(寸絲兄已說明，占了一層樓XD
話說這題想硬爆還不行~特徵值重根對應的特徵向量不夠XD可能要用jordan-form了(大誤

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-29 03:28 PM 編輯 ]

作者: 小姑姑 時間: 2014-8-11 20:19 標題: 回復 33# tsusy 的帖子

謝謝寸絲大大幫我打開我的打結的腦

作者: bugmens 時間: 2014-8-11 23:55

教甄還沒考過特徵值相同的矩陣n次方，希望明年命題老師可以考慮看看。

5.
設\( I=\left[ \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \right] \)，\( N=\left[ \matrix{1 & 1 \cr -1 & -1} \right] \)，求\( (2I-N)^{103}= \)？
[解答]
\( A=2I-N=\left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & 3} \right] \)
1.求特徵值
\( \left| \matrix{1-\lambda & -1 \cr 1 & 3-\lambda} \right| =0 \)　，　\( (\lambda-2)^2=0 \)　，　\( \lambda=2,2 \)特徵值重根

2.求特徵向量
\( \lambda=2 \)代入
\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{0 \cr 0} \right] \)　，　\( x+y=0 \)，取\( \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{-1 \cr 1} \right] \)

\( \lambda=2 \)代入
\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{-1 \cr 1} \right] \)　，　\( x+y=1 \)，取\( \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{1 \cr 0} \right] \)

3.形成P矩陣
設\( P=\left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right] \)，\( P^{-1}=\left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right] \)

4.計算\( D=P^{-1}AP \)，這時候\( D \)不會是對角矩陣
\( D=\left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & 3} \right] \left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right]=\left[ \matrix{2 & 1 \cr 0 & 2} \right] \)
\( D^n=\left[ \matrix{2^n & n 2^{n-1} \cr 0 & 2^n} \right] \)，(這似乎只能硬乘來觀察規律)

5.求\( A \)的n次方
\( A^n=PD^nP^{-1}=\left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right] \left[ \matrix{2^n & n 2^{n-1} \cr 0 & 2^n} \right] \left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right]=\left[ \matrix{-(n-2)2^{n-1} & -n 2^{n-1} \cr n 2^{n-1} & (n+2)2^{n-1}} \right] \)
\( A^{103}=2^{102} \left[ \matrix{-101 & -103 \cr 103 & 105} \right] \)

其實我是用maxima算的，更多類題請看https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid2620

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