標題: 103鳳新高中 [打印本頁]

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-9 16:18     標題: 103鳳新高中

幫版友po的
1.有12個座位,先請12人坐下(1對1),接著再請這12人起立後坐下,
  但規定只能坐原位或隔壁座位,問這樣共有幾種排列?

2.Sigma {k=o to infinity}  [ (n+2^k)/2^(k+1)] =?    (以n表示)
   其中[ ]符號表示"下高斯"
  (這題答案小弟算n)

  聽說題目爆難~
  筆試成績出來了,130(含缺考)只有約2x人40分以上


103.6.11補充
以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 44分
65,55,52,50,50,48,47,47,46,45,45,44,44
(44分有2人增額錄取參加複試)

40~43分 10人
30~39分 28人
20~29分 25人
10~19分 27人
0~ 9分  20人
缺考　　 7人

共計 130 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-11 06:38 PM 編輯 ]

附件: 103鳳新高中.pdf (2014-6-9 17:47, 123.84 KB) / 該附件被下載次數 13226
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2353&k=7e50a61e27f7066d317609f9cf3714eb&t=1732249537

附件: 103鳳新高中初試成績.pdf (2014-6-11 18:38, 37.14 KB) / 該附件被下載次數 11599
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2366&k=4ae04157985672b518232cf03ed8087f&t=1732249537

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作者: hua0127    時間: 2014-6-9 16:31     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

第2題幫確定(集氣)是n,
\( \displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left[ \frac{n+{{2}^{k}}}{{{2}^{k+1}}} \right]}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left( \left[ \frac{n}{{{2}^{k}}} \right]-\left[ \frac{n}{{{2}^{k+1}}} \right] \right)}=\left[ n \right]=n,\forall n\in \mathbb{N}\)

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作者: tsusy    時間: 2014-6-9 17:22     標題: 回復 2# hua0127 的帖子

第 2 題. 好神的算式...看不懂

另證. 令 \( f(n) = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right], n \in \mathbb{N} \)

設 \( p,  m \in \mathbb{N}_0 \)，有以下性質

1. 若 \( \displaystyle p<2^{m}, \left[\frac{p+2^{m}+2^{k}}{2^{k+1}}\right]=\begin{cases}
\frac{2^{m}}{2^{k+1}}+\left[\frac{p+2^{k}}{2^{k+1}}\right] & \mbox{, if }k<m\\
1 & \mbox{, if }k=m\\
0 & \mbox{, if }k>m
\end{cases} \)
.
2. 若 \( p<2^{m} \)，則 \( \displaystyle f(p+2^m) = f(p) + \sum_{k=0}^{m-1}\frac{2^{m}}{2^{k+1}}+1=f(p) + 2^{m} \)

把 \( n \) 寫成2進制，重復使用性質 2，即得 \( f(n) = n \)。

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好像看懂了，是用了 \( [x] + [x+\frac12] = [2x] \) 移項得 \( [ x + \frac12] = [2x] - [x] \)

取 \( x = \frac{n}{2^{k+1}} \) 代入上式，是這樣沒錯吧？

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-9 05:27 PM 編輯 ]

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作者: bugmens    時間: 2014-6-9 17:25

1.
用3枝10公尺長的竹竿，沿著河岸圍出一個等腰梯形。試求此等腰梯形的最大面積。
(我的教甄準備之路　用算幾不等式解三角函數的極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1077)

2.
擲一個不均勻硬幣，設出現正面的機率\( \displaystyle \frac{2}{3} \)，出現反面的機率\( \displaystyle \frac{1}{3} \)。現有一質點位在一數線上的原點，投擲此硬幣，當出現正面時，質點往正向一單位；出現反面時，質點往負向一單位，試問：持續投擲硬幣，質點能落在-1的機率？
(許介彥，跌跌撞撞的機率，https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... %A9%9F%E7%8E%87.pdf)


計算12.
設\( [x] \)表示不超過x的最大整數，\( n \in N \)，求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right] \)(以n表示)

Let n be a natural number.Prove that
\( \displaystyle \Bigg\lfloor\; \frac{n+2^0}{2^1} \Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^1}{2^2} \Bigg\rfloor\;+...+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^{n-1}}{2^n} \Bigg\rfloor\;=n \).
(1968IMO，http://www.artofproblemsolving.c ... =1&cid=16&year=1968)

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作者: hua0127    時間: 2014-6-9 17:32     標題: 回復 6# tsusy 的帖子

寸絲兄你這個算式才神吧 XD
是用了 \(\displaystyle \left[ x \right]+\left[ x+\frac{1}{2} \right]=\left[ 2x \right]\) 沒錯

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作者: tsusy    時間: 2014-6-9 17:49     標題: 回復 8# hua0127 的帖子

您一行秒證，我寫了 5 行

跟您的神蹟比起來，我就像在鬼畫符一樣

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-9 18:54

先挑軟柿仔:
13.(反証法)
假設三個方程式都沒有實根,則D<0
(2b)²-4ac<0  =>b²<ca------------(1)
(2c)²-4ba<0  =>c²<ab------------(2)
(2a)²-4cb<0  =>a²<bc------------(3)
(1)+(2)+(3)得
a²+b²+c²<ab+bc+ca
<=>
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²<0   ( -><- ) contradiction~

14.之前才討論過~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-9 09:15 PM 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-9 19:06

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-9 05:03 PM 發表

80 人去考
2 個 50 分以上
10 個 40 分以上
剛好這 12 人進複試

好像不只80人耶~(約12x考)
40分以上有2x

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作者: thepiano    時間: 2014-6-9 20:14     標題: 回復 11# Ellipse 的帖子

少看一頁，更正如下：
123 人去考
1 個 65
4 個 50 分以上
8 個 44 分以上
這 13 人進複試

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作者: thepiano    時間: 2014-6-9 20:21

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-6-9 04:18 PM 發表
1.有12個座位,先請12人坐下(1對1),接著再請這12人起立後坐下,
  但規定只能坐原位或隔壁座位,問這樣共有幾種排列?

這一題是費氏數列
a_1 = 1，a_2 = 2
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a_12 = 233

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-9 21:16

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-9 08:21 PM 發表

這一題是費氏數列
a_1 = 1，a_2 = 2
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a_12 = 233

太強了吧?
這樣您都可以連結~~

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-9 21:17

填1:
請看附件.gif
當角BCD=60度時
等腰梯形面積為最大
過程請先想一下~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-9 09:19 PM 編輯 ]

圖片附件: 三個10公分圍成等腰梯形b.gif (2014-6-9 21:17, 1.3 MB) / 該附件被下載次數 4756
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2356&k=27997f6856d2e53083f4247bbe7e1c7e&t=1732249537

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作者: valkyriea    時間: 2014-6-9 21:50

填充1，
設下底(靠河岸的邊)為10+2x，
則高為(100-x^2)^0.5
面積為(10+x)* h = [(10+x)^3 (10-x) ] ^0.5
令f(x) = (10+x)^3 (10-x)
可求出x=5時，f(x)有極大值

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作者: hua0127    時間: 2014-6-10 00:11

解一題填充2：
以前看過類似的題目，是兩人賭錢的問題求某人把錢贏光的機率：
本題假設\(\left\{ {{P}_{n}} \right\}\)的一般項\({{P}_{k}}\)表示一開始位置落在數線上\(k\)時，質點能落在-1的機率，則所求為\({{P}_{0}}\).
(1) 先觀察 \({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{P}_{1}}\),
(2) \({{P}_{1}}\)表示一開始在1要走到-1的機率，由乘法原理，可以拆成兩個步驟：1走到0, 0走到-1，兩步驟機率都是\({{P}_{0}}\), 故\({{P}_{1}}={{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\)
(3) 代回上式，解\({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{P}_{0}}=\frac{1}{2}\) (向右的機率比較大，故\({{P}_{0}}=1\)不合)
這題值得一提的是，若向右向左的機率依樣時，則不斷持續的擲下去，百分之百會跑到-1, 有點不太直觀。

(剛剛看到版主有在 #2 附上本題的相關文章，寫得比我清楚多了，大家也可以參考)

填充3： \(\int_{0}^{4}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}\)
填充4：跟103武陵高中第9題類似，作法差不多
填充5：生成函數或者重複組合
填充7：好像有公式，不太確定能不能用紅球與非紅球的觀念下去帶
填充10：不論是哪連續三列寫開，答案都是 1 / 2

計算11：
之前看過寸絲兄用過的神招，印象深刻，算是現學現賣XD
考慮拋物線 \({{y}^{2}}=8px\), 過焦點\(\left( 2p,0 \right)\)與拋物線所截的所有線段中，以正焦弦所在直線\(x=2p\)所截的長度為最短。考慮線性映射\(\left( x,y \right)\mapsto \left( x,\frac{y}{2} \right)\) ,將\(y\)座標壓(伸縮)為\(\frac{1}{2}\)倍，可得到拋物線\({{y}^{2}}=2px\) , 故過\(\left( 2p,0 \right)\)與此拋物線所截的所有線段中，亦以直線\(x=2p\)所截的長度為最短，證畢。

103.07.26 小弟這邊處理的不夠細膩，請在參閱寸絲兄在 #27 的補充說明。

計算15：
用Jacobian證：
考慮\(x=0,y=0,z=0,x={{d}_{1}},y={{d}_{2}},z={{d}_{3}}\) 所圍區域體積為\(V=\left| {{d}_{1}}{{d}_{2}}{{d}_{3}} \right|\)
考慮線性變換：
\( \displaystyle \left\{ \begin{align}
  & x={{a}_{1}}x'+{{b}_{1}}y'+{{c}_{1}}z' \\
& y={{a}_{2}}x'+{{b}_{2}}y'+{{c}_{2}}z' \\
& z={{a}_{3}}x'+{{b}_{3}}y'+{{c}_{3}}z' \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{\partial \left( x,y,z \right)}{\partial \left( x',y',z' \right)}=\left| \begin{matrix}
   {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}}  \\
   {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}}  \\
   {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}}  \\
\end{matrix} \right|=\Delta \)
則\( \displaystyle V'=\left| \frac{\partial \left( x',y',z' \right)}{\partial \left( x,y,z \right)} \right|V=\frac{V}{\Delta }\), 得證
純幾何的方式可能等高手待補，這一塊小弟不是很擅長XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-26 08:10 PM 編輯 ]

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作者: 瓜農自足    時間: 2014-6-10 14:16

請問填充第六解法中  a_n是指有n人時候符合規定之牌法
a_1 = 1，a_2 = 2
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)     <------------------這條要怎想呢
a_12 = 233
__________________________
另外填充第五題
我利用重複組合概念與集合概念
計算得 C(17,11)-7*C(12,6)=5908  <-----有錯嗎@@

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作者: thepiano    時間: 2014-6-10 14:46     標題: 回復 15# 瓜農自足 的帖子

第 6 題
設 a_n 是 n 個小朋友重新入座的方法數
(1) 第 n 個人坐回原座位，有 a_(n-1) 種方法
(2) 第 n 個人與第 (n-1) 人互換，有 a_(n-2) 種方法
故 a_n = a_(n-1) + a_(n-2)

第 5 題
應要把有 2 個箱子在 7 球(含) 以上的情形"加"回來才對，因為這部份重複扣了二次

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-12 12:15 AM 編輯 ]

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作者: 瓜農自足    時間: 2014-6-11 23:34

謝謝鋼琴師
___________________________________
想請問第十題怎麼證連三列，式子都是1/2呢
以及第十題想請教用解析幾何解法

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作者: hua0127    時間: 2014-6-12 00:01     標題: 回復 17# 瓜農自足 的帖子

第10題給你參考
假設第k列、第k+1列、第k+2列的一般項為\({{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}}\) 則\( \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{{{b}_{i}}}{{{c}_{i}}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{{{a}_{i}}}{{{b}_{i}}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{C_{i}^{k+1}}{C_{i}^{k+2}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{C_{i}^{k}}{C_{i}^{k+1}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\left( 1-\frac{i}{k+2} \right)}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\left( 1-\frac{i}{k+1} \right)}=\frac{1}{2}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-12 09:38 AM 編輯 ]

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作者: 瓜農自足    時間: 2014-6-13 19:04     標題: 回復 18# hua0127 的帖子

謝謝hua師，原來就純粹化簡就可相消。
另外想請問第八題，訂座標方法感覺挺繁複的，應該有個性質沒用到，無法化繁為簡...

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作者: hua0127    時間: 2014-6-13 20:51     標題: 回復 19# 瓜農自足 的帖子

第8題：
一開始我也想說用向量解~但這想法解到一半就有點複雜~
如圖觀察此圓為三角形\(CBZ\)的內切圓，令\(\overline{AD}=2r,\overline{CD}=\overline{CF}=x,\overline{BD}=\overline{BE}=y,\overline{ZE}=\overline{ZF}=z\),
則由母子相似性質, \({{\left( 2r \right)}^{2}}=xy\), 再結合 \({{r}^{2}}=\frac{xyz}{\left( x+y+z \right)}\)(由海龍公式推得),
可得知\(x+y=3z\), 故 \(\overline{ZB}+\overline{ZC}=10\Rightarrow x+y+2z=10\Rightarrow z=2\Rightarrow x+y=6\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 08:56 PM 編輯 ]

圖片附件: 1.jpg (2014-6-13 20:52, 12.59 KB) / 該附件被下載次數 4805
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2378&k=51eac18098204fe4dafd47bd9ebb07d5&t=1732249537

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作者: 瓜農自足    時間: 2014-6-13 21:11     標題: 回復 20# hua0127 的帖子

了解了，謝謝hua師。
對綜合幾何問題實在不太行@@

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作者: hua0127    時間: 2014-6-13 21:35     標題: 回復 21# 瓜農自足 的帖子

其實我幾何這塊也不是很擅長
若是在考場~一定沒辦法在時間內想到
也是事後諸葛~看GGB看了很久才亂湊出XD

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作者: David    時間: 2014-6-16 11:00     標題: 回復 7# Ellipse 的帖子

請問一下計算13: Ellipse做到
(2b)²-4ac<0  =>b²<ca------------(1)
(2c)²-4ba<0  =>c²<ab------------(2)
(2a)²-4cb<0  =>a²<bc------------(3)

若之後將三式相乘, 得\(a^2b^2c^2<a^2b^2c^2\), 矛盾.    這樣也可以嗎?

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作者: thepiano    時間: 2014-6-16 11:16     標題: 回復 23# David 的帖子

可以

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作者: David    時間: 2014-6-16 11:19     標題: 回復 24# thepiano 的帖子

謝謝!

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作者: 阿光    時間: 2014-7-20 20:57

想請教填充5  和計算14 題 謝謝

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作者: tsusy    時間: 2014-7-20 21:25     標題: 回復 14# hua0127 的帖子

填充 11. 印象中上次是處理面積，用線性變換比較沒問題

處理線段長，應該再小心一點，直的線段剛好壓扁成 \( \frac12 \) 倍長度，而斜的線段壓扁時長度變化
弦長 \( = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2/4} \geq \frac12 \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \)

正焦弦壓扁後長(壓扁後不是正焦弦) = \( \frac12 \) 倍的正焦弦長(壓扁前) \( \leq \frac12 \) 倍其它焦弦長(壓扁前) \( \leq \) 弦長(壓扁後不是焦弦)

故，當 \( \overline{AB} \) 為垂直線段時，弦長為最小值。

回復 26# 阿光 的帖子

計算 14. 103武陵高中計算1

填充 5. 見 #15, #16 瓜農自足和 thepiano 老師的討論

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-7-26 10:24 PM 編輯 ]

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作者: hua0127    時間: 2014-7-26 20:07     標題: 回復 27# tsusy 的帖子

多謝提醒~這瓜現學現賣得還不夠XD這地方若寸絲兄沒提醒，小弟應該不太會注意到，小弟馬上來註解一下

話說寸絲兄客氣了XD~~想法真的非常細膩，再一次見識到了，真神人也~

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-29 03:05 PM 編輯 ]

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作者: tsusy    時間: 2014-7-26 21:13     標題: 回復 28# hua0127 的帖子

差別的地方在於，線性變換前後面積成常數倍，而線段只有平行的線段倍數才相同，不平行的線段伸縮的倍率不同。

一般而言，或者說我做這題線段最小值的時候，我根本想不到這個方法

所以你用這個方法來處理線段就已經超過我處理面積

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作者: arend    時間: 2014-7-28 14:30

請教填充第4題
除了硬解2根外,可否有更簡潔的想法?

謝謝

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作者: hua0127    時間: 2014-7-29 14:54     標題: 回復 30# arend 的帖子

應該不用硬解，解出此三點的關係為正三角形即可

\( \displaystyle x=\frac{\gamma }{2}\left( \frac{1\pm \sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\gamma }{2}\left( \cos 60{}^\circ \pm i\sin 60{}^\circ  \right)\Rightarrow \left| x \right|=\left| \frac{\gamma }{2} \right|=\frac{5}{2}\)
將A,B兩點看成是\(\gamma \)伸縮一半後旋轉正負60度
畫圖知三角形ABC會成正三角形，邊長為\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot 2=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)
故所求為\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}{{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\frac{75\sqrt{3}}{16}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-29 02:59 PM 編輯 ]

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作者: arend    時間: 2014-7-29 17:24

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-7-29 02:54 PM 發表
應該不用硬解，解出此三點的關係為正三角形即可

\(x=\frac{\gamma }{2}\left( \frac{1\pm \sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\gamma }{2}\left( \cos 60{}^\circ \pm i\sin 60{}^\circ  \right)\Rightarrow \)...

謝謝hua老師
不過有一點不太明白,請教老師一下:
因為A,B兩點是C左右旋轉60度,那ㄥBAC不就是120度?
謝謝

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作者: hua0127    時間: 2014-7-29 18:59     標題: 回復 32# arend 的帖子

AB應該是C跟原點連線的中點所轉出來的點:）

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作者: arend    時間: 2014-7-29 20:55

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-7-29 06:59 PM 發表
AB應該是C跟原點連線的中點所轉出來的點:）

感謝
我都做得頭暈腦脹

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作者: arend    時間: 2014-7-29 21:06

不好意思,再請教一下填充第5題
25個相同球放入7個不同的箱子中, 每個箱子只能放 [2至6]個球, ....
如果用重複組合, 那箱子皆可放2~6個,這題變的很複雜?
若扣除8,9,..., 請問"不放或只放1個" 這樣可以嗎?

或許我想得太複雜? 不過也困擾我一段日子
麻煩板上高手
謝謝

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作者: thepiano    時間: 2014-7-29 22:08     標題: 回復 35# arend 的帖子

填充第 5 題
參考一下
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=11165#p11165

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作者: arend    時間: 2014-7-30 04:48

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-7-29 10:08 PM 發表
填充第 5 題
參考一下
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=11165#p11165

謝謝piano老師
我懂了你的意思,即每箱至少放入兩個球,最多6個球

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作者: arend    時間: 2014-7-30 15:58

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-10 02:46 PM 發表
第 6 題
設 a_n 是 n 個小朋友重新入座的方法數
(1) 第 n 個人坐回原座位，有 a_(n-1) 種方法
(2) 第 n 個人與第 (n-1) 人互換，有 a_(n-2) 種方法
故 a_n = a_(n-1) + a_(n-2)

請問piano老師
(2)中, 您意思是第n人與第n-1人原本位置為相鄰嗎?
謝謝

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作者: thepiano    時間: 2014-7-30 16:39     標題: 回復 38# arend 的帖子

是的，而且第n人是最後一人

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-30 04:42 PM 編輯 ]

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作者: grace    時間: 2014-11-10 19:52     標題: 請教第7題

請問第7題該怎麼做呢?
鼓起勇氣問了沒人討論的問題....><
請大家幫幫忙~謝謝了!!!!

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作者: tsusy    時間: 2014-11-10 20:12     標題: 回復 40# grace 的帖子

填7. 取球問題
weiye 老師的絕招：\( \displaystyle \left( 1 + \frac{11}{4+1} \right) \times 4 = \frac{64}5 \)

原理見 101竹山高中填充9

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-11-11 11:38 AM 編輯 ]

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作者: cefepime    時間: 2014-11-10 22:40

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-11-10 08:12 PM 發表
填7. 取球問題
weiye 老師的絕招：\( 4 + (6+5) \times \frac{4}{4+1} = \frac{64}5 \)

weiye 老師 真是天才，神來之筆!

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作者: cefepime    時間: 2014-11-11 13:31

如果不用 weiye 老師的天才妙解法，而用\( \sum n \times P(n) \) 的思維，可如下:
考慮\( \displaystyle \sum_{n=4}^{15} n \times C_3^{n-1}=4 \times \sum_{4}^{15}C_4^n=4 \times C_5^{16} \)(利用巴斯卡原理)

所求\( \displaystyle =\frac{4 \times C_5^{15}}{C_4^{15}}=\frac{64}{5} \)

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