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標題: 103陽明高中 [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2014-6-9 13:38     標題: 103陽明高中

 

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作者: jyi    時間: 2014-6-10 13:05

請教填充1,2題
作者: sun    時間: 2014-6-10 18:27     標題: 回復 2# jyi 的帖子 填充1和2

1.
設向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\)滿足\(|\;\vec{a}|\;=|\;\vec{b}|\;=3\),\(\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\),且\(\vec{a}-\vec{c}\)與\(\vec{b}-\vec{c}\)的夾角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\),則\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為   
[解答]
|a|=|b|=1  向量c最長時會落在向量a和向量b的角平分線上,這時候再使用正弦定理解之
2.
已知\(0<\theta<\pi\),若方程式\(x^2-4xcos2\theta+2=0\)的一個實根與方程式\(2x^2+4xsin2\theta+1=0\)的一個實根互為倒數,則\(\theta=\)   
[解答]
令P為第一個方程式的根  1/p為第二方程式的根  兩式相減然後疊合,就可以解角度了
最後想請教一下為什麼我拍照的圖檔好大喔,所以我不敢放上去,要怎麼解決
請教填充4 and  7
作者: jyi    時間: 2014-6-10 20:13

題充第一題可以寫詳細嗎!謝謝!
作者: tsusy    時間: 2014-6-10 20:22     標題: 回復 4# jyi 的帖子

填充 1.
設向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\)滿足\(|\;\vec{a}|\;=|\;\vec{b}|\;=3\),\(\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\),且\(\vec{a}-\vec{c}\)與\(\vec{b}-\vec{c}\)的夾角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\),則\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為   
[解答]
圖長這樣,


\( \vec{a} = \vec{PA}, \vec{b} = \vec{PB}, \vec{c} = \vec{PC} \) 兩圓的圓心 \( O, O' \),滿足 \( \angle AOB = \angle AO'B = 120^\circ \) (這樣向量 \( \vec{CA}, \vec{CB} \) 夾 \( 60^\circ \) )

當 \( C = C'' \) 是最小值,\( C = C' \) 時,有最大值。

令 \( \theta = \frac12 \angle APB \),則所求最大值 \(= 3 \cos \theta + 3 \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3  = \frac{\sqrt{19} + \sqrt{51}}{2} \)

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作者: hua0127    時間: 2014-6-10 20:45     標題: 回復 3# sun 的帖子

填充7:
已知函數\(f(x)=|\;cos x|\;\)的圖像與直線\(y=kx(k>0)\)恰有兩個交點,其中交點的橫坐標的最大值為\(\alpha\),求\(\displaystyle \frac{sin\alpha}{cos3\alpha-cos\alpha}=\)   (以\(\alpha\)表示)。
[解答]
畫圖知交於兩點時剛好有相切之關係, \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right),\left| \cos \alpha  \right|=-\cos \alpha \)
由切線斜率相等可推知\(\displaystyle \frac{-\cos \alpha }{\alpha }={{\left. \frac{d}{dx}\left( -\cos x \right) \right|}_{x=\alpha }}=\sin \alpha \Rightarrow \tan \alpha =-\frac{1}{\alpha }\)
所求可化簡為\(\displaystyle \frac{1}{-2\sin 2\alpha }=\frac{1+{{\tan }^{2}}\alpha }{-4\tan a}=\frac{{{\alpha }^{2}}+1}{4\alpha }\)

填充4:
若\(P(x,y)\)與\(Q(m,n)\)是關於直線\(y=2x-1\)對稱的兩點,將\(Q(m,n)\)繞原點旋轉\(60^{\circ}\),又得到\(R(X,Y)\)。假設將\(P\)變換到\(R\)可用矩陣\(\left[\matrix{X\cr Y}\right]=\left[\matrix{a&b\cr c&d} \right]\left[\matrix{x\cr y} \right]+\left[\matrix{\alpha \cr \beta} \right]\)表示,則矩陣\(\left[\matrix{\alpha \cr \beta}\right]=\)   
[解答]
想法如下:
先考慮\(P\)到直線\(y=2x\)之對稱點P’(x',y'), 然後再經過平移到\(Q\)
畫圖可推知 \(Q=P'+t\left( 2,-1 \right),t\in {{R}^{+}}\) , 解 \(\left| Q-P' \right|=\left| \overrightarrow{P'Q} \right|=t\left| \left( 2,-1 \right) \right|=2d=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow t=\frac{2}{5}\)  
其中 d 為 y=2x 與 y=2x-1 之距離, 所以我們得到關係式
\(\left( \begin{matrix}
   m  \\
   n  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   x'  \\
   y'  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   \frac{4}{5}  \\
   -\frac{2}{5}  \\
\end{matrix} \right)\) , 再透過旋轉與線性關係,
\(\left( \begin{matrix}
   \alpha   \\
   \beta   \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   \cos 60{}^\circ  & -\sin 60{}^\circ   \\
   \sin 60{}^\circ  & \cos 60{}^\circ   \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   \frac{4}{5}  \\
   \frac{-2}{5}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   \frac{2+\sqrt{3}}{5}  \\
   \frac{2\sqrt{3}-1}{5}  \\
\end{matrix} \right)\)
依樣錯誤或怪怪的地方再麻煩偵錯一下,感恩
作者: 阿光    時間: 2014-6-11 08:14

請教計算2 和3題  謝謝
作者: hua0127    時間: 2014-6-11 12:51     標題: 回復 7# 阿光 的帖子

計算2:
只由三個字母\(a,b,c\)所組成長度為\(n\)的字串在通訊管道上傳輸,要求在傳輸中不可以有兩個\(a\)連續出現在任一字串中。令\(a_n\)是長度為\(n\)的字串時,傳輸中的字串個數,則:
(1)求\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)之值。
(2)寫出\(a_n\)的遞迴式。
(3)求\(a_n\)的一般式。
[解答]
(1) a(1)=3 , a(2)=8, a(3) =22
(2)  考慮a(n):
      若第一個字母為a, 則第2個字母為b或c, 方法數2*a(n-2)
      若第一個字母為b或c,  方法數2*a(n-1)
      故 a(n)=2( a(n-1) + a(n-2) )

計算3:
已知實係數多項式\(f(x)\)滿足\(f(x^2)=f(x+1)f(x-1)\),證明方程式\(f(x)=0\)無實根。
[解答]
反證法:
假設\(f\left( x \right)=0\) 存在實根\({{a}_{1}}\), 不失一般性,令\({{a}_{1}}>0\)
則\(f\left( {{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{2}} \right)=f\left( {{a}_{1}}+2 \right)f\left( {{a}_{1}} \right)=0\), \({{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{2}}\)亦為\(f\left( x \right)=0\)的實根,令為\({{a}_{2}}\)
考慮\({{a}_{k}}={{\left( {{a}_{k-1}}+1 \right)}^{2}},k\ge 2\), 則我們得到一個嚴格遞增的正實數數列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)滿足
\(f\left( {{a}_{k}} \right)=0,k\in \mathbb{N}\), 故此多項式方程式的根為無限個,矛盾。
作者: lyingheart    時間: 2014-6-11 16:59

填充二
已知\(0<\theta<\pi\),若方程式\(x^2-4xcos2\theta+2=0\)的一個實根與方程式\(2x^2+4xsin2\theta+1=0\)的一個實根互為倒數,則\(\theta=\)   
[解答]
假設第一個方程式的兩根為 \( p,q \)
那麼 \(\displaystyle p+q=4\cos{2\theta},pq=-2 \)
第二個方程式兩根為 \( \frac{1}{p},r \)
那麼  \(\displaystyle  \frac{1}{p}+r=-2\sin{2\theta}, \frac{r}{p}=-\frac{1}{2} \)

於是  \(\displaystyle qr=1 \)

\(\displaystyle  \frac{1}{p}+r= \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}= \frac{p+q}{pq}=\frac{4\cos{2\theta}}{-2}=-2\sin{2\theta} \)

\(\displaystyle \tan{2\theta}=-1 \)
作者: cherryhung    時間: 2014-7-5 13:04     標題: 請教計算題4和5,感恩

請各位幫忙,謝謝
作者: hua0127    時間: 2014-7-5 14:45     標題: 回復 10# cherryhung 的帖子

計算4:
設\(a_1\),\(a_2\),\(\ldots\)是等差數列且\(a_1>1\),公差\(d>0\),證明:對所有自然數\(n\),\(\displaystyle log_{a_n}a_{n+1}>log_{a_{n+1}}a_{n+2}\)。
[解答]
考慮函數\(f\left( x \right)=\frac{\log \left( x+d \right)}{\log x},x>1\Rightarrow f'\left( x \right)<0,\forall x>1\), 故函數\(f\)在定義域為嚴格遞減,所以 \({{a}_{n}}<{{a}_{n+1}}\Rightarrow f\left( {{a}_{n}} \right)>f\left( {{a}_{n+1}} \right)\), 所求得證。

計算5:
設\(P\)為\(\Delta ABC\)內部一點,且是\(\Delta ABC\)的外心,證明:\(sin 2A \vec{PA}+sin 2B \vec{PB}+sin 2C \vec{PC}=\vec{0}\)。
[解答]
外心在三角形內部,此三角形為銳角三角形,
因為三角形面積比為\( PBC: PAC: PAB=\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2A:\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2B:\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2C=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C\),
故所求得證。
作者: cherryhung    時間: 2014-7-5 18:00     標題: 回復 11# hua0127 的帖子

感謝~
作者: 瓜農自足    時間: 2014-7-7 00:38     標題: 回復 11# hua0127 的帖子

請教為何面積比知道以後
與向量對應相乘會零向量@"@
謝謝!!
作者: hua0127    時間: 2014-7-7 09:42     標題: 回復 13# 瓜農自足 的帖子

觀念是將相加為0的三個向量看成是一個新的三角形的重心,再利用面積比等於邊長乘積比得到此性質,
找了一個範例給您參考一下

h ttps://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507080405650連結已失效
作者: arend    時間: 2014-7-15 19:17

請教填充6,7,8
第6.是否用參數式?
第8.我是用旋轉得(squr(2)-1)/2X^2-(squr(2)+1)/2y^2=1
X^2+y^2最小為貫軸一半的平方
可是答案怪怪的,不知錯哪裡

板上是否能提供其他的方法
謝謝
作者: tsusy    時間: 2014-7-15 19:36     標題: 回復 15# arend 的帖子

8. 應該只是計算錯誤,兩個係數應為 \( \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \)

6. 可以先把橢圓壓扁變成圓,圓的情況下,沒意外就是該直線為 \( \overline{AB} \) 中垂線時有極值
作者: thepiano    時間: 2014-7-15 20:33     標題: 回復 15# arend 的帖子

第7題
已知函數\(f(x)=|\;cos x|\;\)的圖像與直線\(y=kx(k>0)\)恰有兩個交點,其中交點的橫坐標的最大值為\(\alpha\),求\(\displaystyle \frac{sin\alpha}{cos3\alpha-cos\alpha}=\)   (以\(\alpha\)表示)。
[解答]
恰有兩個交點表示
\(y=kx\)和\(y=cosx\)在\(\left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\)相交
\(y=kx\)和\(y=-\cos x\)在\(\left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\)相切

\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & k=\sin \alpha  \\
& k\alpha =-\cos \alpha  \\
\end{align} \right. \\
& \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{1}{\alpha } \\
& {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\alpha }^{2}}+1} \\
& \frac{\sin \alpha }{\cos 3\alpha -\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{-4\cos \alpha \left( 1-{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}=\frac{1}{4\alpha \times \frac{1}{{{\alpha }^{2}}+1}}=\frac{{{\alpha }^{2}}+1}{4\alpha } \\
\end{align}\)
作者: arend    時間: 2014-7-15 20:58

引用:
原帖由 tsusy 於 2014-7-15 07:36 PM 發表
8. 應該只是計算錯誤,兩個係數應為 \( \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \)

謝謝老師,是我算錯

6. 可以先把橢圓壓扁變成圓,圓的情況下,沒意外就是該直線為 \( \overline{AB} \) 中垂線時有極值 ...

作者: arend    時間: 2014-7-15 21:13

引用:
原帖由 tsusy 於 2014-7-15 07:36 PM 發表
8. 應該只是計算錯誤,兩個係數應為 \( \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \)

6. 可以先把橢圓壓扁變成圓,圓的情況下,沒意外就是該直線為 \( \overline{AB} \) 中垂線時有極值 ...
謝謝,先壓縮成圓再放大,好方法
中垂線時有極值, 我再想想為什麼
作者: arend    時間: 2014-7-16 02:26

引用:
原帖由 thepiano 於 2014-7-15 08:33 PM 發表
第7題
恰有兩個交點表示
\(y=kx\)和\(y=cosx\)在\(\left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\)相交
\(y=kx\)和\(y=-\cos x\)在\(\left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\)相切

\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
   ...
請教piano老師
斜率k=sin(a)這式怎麼得出
一直想不出來, 不好意思, 打擾了
作者: thepiano    時間: 2014-7-16 08:03

引用:
原帖由 arend 於 2014-7-16 02:26 AM 發表
斜率k=sin(a)這式怎麼得出
-cosx 的微分是 sinx
作者: arend    時間: 2014-7-16 13:26

引用:
原帖由 thepiano 於 2014-7-16 08:03 AM 發表

-cosx 的微分是 sinx
謝謝,原來如此
作者: enlighten0626    時間: 2021-12-22 22:29

請教第8題是如何做旋轉的?
作者: satsuki931000    時間: 2021-12-22 23:49

8.
已知\(P(x,y)\)在曲線\(x^2+2xy-3y^2=2\)上,求\(x^2+y^2\)的最小值為   
[解答]
這題旋轉太醜
假設\(\displaystyle x^2+y^2=k\)

\(\displaystyle kx^2+2kxy-(3k+2)y^2=2k\)

\(\displaystyle 2x^2+2y^2=2k\)


相減得\(\displaystyle (k-2)t^2+2kt-(3k+2)=0\)有實數解,其中\(\displaystyle t=\frac{x}{y}\)
\(\displaystyle D=k^2-k-1 \geq 0\),得\(\displaystyle k\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
作者: enlighten0626    時間: 2021-12-23 14:55     標題: 回復 24# satsuki931000 的帖子

感謝解惑
作者: laylay    時間: 2021-12-28 12:19     標題: 回復 23# enlighten0626 的帖子

第8題
已知\(P(x,y)\)在曲線\(x^2+2xy-3y^2=2\)上,求\(x^2+y^2\)的最小值為   
[解答]
另法: (x+3y)(x-y)=2
令 x+3y=k ,x-y=2/k => x=k/4+3/(2k) ,y=k/4-1/(2k)
x^2+y^2=k^2/8+5/(2k^2)+1/2>=2ㄏ(1/8*5/2)+1/2=(1+ㄏ5)/2




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