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標題: 103松山家商 [打印本頁]

作者: natureling 時間: 2014-6-9 12:50 標題: 103松山家商

想先問一下填充6和計算2,3....感恩

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-19 07:12 AM 編輯 ]

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作者: wrty2451 時間: 2014-6-9 13:25

6. 坐標平面上三角形ABC﹐其中A(2, 1)，......，試問直線BC方程式。
直線L1：x+y=1
直線L2：x-2y=2
A對L1做對稱點(0,-1)
A對L2做對稱點(14/5,-3/5)
所作之對稱點會在BC直線上

另外小弟想要請教一下第一題，我相減之後>0討論a、b、c三者為正或負或0的情形之下。
不知有無更快作法?

作者: tsusy 時間: 2014-6-9 14:58 標題: 回復 2# wrty2451 的帖子

計算 1. 秒證，展開 \( (a-b)(b-c)(c-a) < 0 \)，移項得證

順帶放幾個填充 6 的類題

(1) 101文華高中：\( \triangle ABC \) 中，\( A(2,-4) \)，若 \( \angle B \)、\( \angle C \) 之角平分線分別為 \( L_{1}:\, x+y-2=0 \) 及 \( L_{2}:\, x-3y-6=0 \)，則 \( \overleftrightarrow{BC} \) 之方程式為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。

(2) 98曉明女中：\( \triangle ABC \) 中，\( A \) 坐標為 \( (-7,15) \)，\( \angle B \) 和 \( \angle C \) 的平分線方程式各為 \( 2x-y+4=0 \), \( x+7y+2=0 \)，求 \( B \) 點和 \( C \) 點的坐標。

填充 8 類題

(1) 100文華高中代理：\( \lim\limits _{x\to4}\frac{\int_{4}^{x}\frac{1}{t+\sqrt{t}}dt}{x-4} \)。

(2) 100文華高中代理：若 \( f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{t^{2}}{1+t^{2}+t^{4}}dt \)，試求 \( f''(1) \)。

(3) 98台北縣聯招：設 \( F(x)=\int_{0}^{x^{2}}\frac{1}{1+\sin^{2}t}dt \)，則導函數 \( F'(x) \) 為何？

(4) 99家齊女中： \( \lim\limits _{x\to0}\frac{\int_{x^{2}}^{x^{3}}\sqrt{1+t^{2}}dt}{x^{2}}=\underline{\qquad\qquad} \)。

填充 9 類題

(1) 100中正高中：已知平面上一點 P，其到正 \( \triangle ABC \) 的三個頂點距離分別為 1, 2, 3，試求正 \( \triangle ABC \) 的面積。

(2) 99松山高中、102南科實中：正 \( \triangle ABC \) 內部一點 \( P \)，已知 \( \overline{PA}=6 \), \( \overline{PB}=8 \), \( \overline{PC}=10 \)，求 \( \triangle ABC \) 面積。

(3) 100師大附中、100苑裡高中：設 \( \triangle ABC \) 為等邊三角形，\( D \) 為 \( \triangle ABC \) 內的點。已知 \( \overline{DA}=13 \), \( \overline{DB}=12 \), \( \overline{DC}=5 \)，求 \( \triangle ABC \) 的邊長。

(4) 99萬芳高中：\( ABCD \) 為正方形, \( P \) 為內部一點, \( \overline{PA}=3 \), \( \overline{PB}=4\sqrt{2} \), \( \overline{PD}=5\sqrt{2} \)，求正方形 \( ABCD \) 的面積。

(5) 100彰化藝術暨田中高中：已知 \( P \) 為正方形 \( ABCD \) 內部的一點，若 \( \overline{AP}=7,\,\overline{BP}=5,\,\overline{CP}=1 \)，試求正方形 \( ABCD \) 的面積。

(6) 正方形 \( ABCD \) 中一點 \( P \)，已知 \( \overline{PA}=7,\,\overline{PB}=3,\,\overline{PC}=5 \)，求此正方形的的面積。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-11 11:30 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-6-9 15:46 標題: 回復 1# natureling 的帖子

計算3：
提供一個無美感的硬算：
\(f'\left( x \right)=\left( x-b \right){{\left( x-c \right)}^{2}}g\left( x \right)\), 其中\(g\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)+2\left( x-a \right)\left( x-c \right)+3\left( x-a \right)\left( x-b \right)\)
(1) 觀察\(x=b\)跟 \(g\left( x \right)=0\) 的兩根為產生極值的地方
(2) 由勘根知\(g\left( x \right)=0\) 的兩根分別落在區間 \(\left( a,b \right),\left( b,c \right)\), 故可推知 \(b=0\)
(3) 最後，\(g\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)+2\left( x-a \right)\left( x-c \right)+3\left( x-a \right)\left( x-b \right)=6\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\)
代 \(x=0\Rightarrow ac=-3,x=a\Rightarrow a\left( a-c \right)=6\left( {{a}^{2}}-1 \right)\), 解出 \(a=\frac{-3}{\sqrt{5}},c=\sqrt{5}\)

計算2：
令\(P\left( i \right),P'\left( i \right)\)分別代表甲乙擲到最大點數為\(i\)之機率，則
\(P\left( i \right)=\frac{2i-1}{{{6}^{2}}},P'\left( i \right)=\frac{3{{i}^{2}}-3i+1}{{{6}^{3}}},1\le i\le 6\), 則甲獲勝之機率為
\(\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( P\left( k \right)\sum\limits_{i=1}^{k}{P'\left( i \right)} \right)}=\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( \frac{2k-1}{{{6}^{2}}}\cdot {{\left( \frac{k}{6} \right)}^{3}} \right)}=\frac{1}{{{6}^{5}}}\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( {{k}^{3}}\left( 2k-1 \right) \right)}>\frac{1}{2}\)
最後面的計算我是先寫開，然後估計一下分子分母的千位數得知，不知道有沒有更好的估計法，故本題甲獲勝的機率較大。

若手殘算錯也請大家幫小弟指證~遇到這種問題好像都很常算錯~唉

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-11 02:14 PM 編輯 ]

作者: cherryhung 時間: 2014-6-11 21:56 標題: 想請教填充7和8

感恩謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-6-11 22:31 標題: 回復 5# cherryhung 的帖子

填 7.

第一個方程移項可得 \( 2^x = 4 -x \)，由 \( y = 2^x, y=4-x \) 兩函數圖形知方程式有唯一解 \( x = \alpha \)

\( 2^{4-x} = x \)，令 \( x' = 4-x \)，則 \( 2^{x'} = 4-x' \)，故此方程式之解亦為 \( x' = \alpha \Rightarrow \beta = 4 - \alpha \Rightarrow \alpha + \beta =4 \)

填 8. 微積分基本定理，積分均值定理

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-11 11:30 PM 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2014-6-11 23:04

想請問計算第三題為何當x=c時不可能發生極值

作者: hua0127 時間: 2014-6-11 23:19 標題: 回復 7# peter0210 的帖子

因為極值會發生在一階導數由正轉負或由負轉正的瞬間
這是一階導數測試法的精神，而本題在x=c的附近f'(x)為同號，
故不會產生極值

舉例來說 , y=x^3 在x=0 的附近就是這個情況
希望這樣能解釋到

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-11 11:21 PM 編輯 ]

作者: smartdan 時間: 2014-6-12 20:41

填充第十題，我算出來的答案是241，正確答案是241/4，想請問哪邊我沒有考慮到？

作者: hua0127 時間: 2014-6-12 20:58 標題: 回復 9# smartdan 的帖子

\(f\left( x \right)=2\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)\left( x-\delta \right)\)

是不是前面這個2 ?

作者: peter0210 時間: 2014-6-12 21:28

請問hua0127老師
怎麼檢驗x=c的附近f'(x)為同號

當我代入比c大的數可看出f'(x)>0
但是代入比c小的數好像看不出來f'(x)>0???

再麻煩了

作者: hua0127 時間: 2014-6-12 21:52 標題: 回復 11# peter0210 的帖子

其實跟解不等式的觀念依樣，以本題的結論來說
\(f'\left( x \right)=6\left( x-b \right){{\left( x-c \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\), 各區域的正負號如下
你帶的值在\(\left( 1,c \right)\)之間得到的值一定為正
就算不知道1,-1的相對位置也無妨，不等式中有\({{\left( x-c \right)}^{2}}\)
就暗示了f'(x)在c的"附近"一定會同號，
這個附近就是一個包含c的"鄰域"的概念(neighborhood 或 open ball)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-12 10:05 PM 編輯 ]

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作者: justine 時間: 2014-6-13 15:59

請問填充3，該怎麼想呢?
"若幾位同學的總分為0"這句話是什麼意思呢?
是指只要有2個人總分為0、或3人總分為0、或4人總分為0
這些情況的總和嗎?

[ 本帖最後由 justine 於 2014-6-13 04:30 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-6-13 17:23 標題: 回復 13# justine 的帖子

以答案來看，應該是只有4人總分為0，否則答案應該不只44種~敘述是應該要清楚一點

(A,B,C,D) 情況有 (21,-21,7,-7), (21,-7,-7,-7), (-21,7,7,7), (21,-21,21,-21), (7,-7,7,-7)
排列一下剛好44種。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 05:27 PM 編輯 ]

作者: smartdan 時間: 2014-6-14 11:55

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-12 08:58 PM 發表
\(f\left( x \right)=2\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)\left( x-\delta \right)\)

是不是前面這個2 ?

我是將
\(f\left( x \right)=\left( \sqrt{2}-\alpha \right)\left( \sqrt{2}-\beta \right)\left( \sqrt{2}-\gamma \right)\left( \sqrt{2}-\delta \right)\left( -\sqrt{2}-\alpha \right)\left( -\sqrt{2}-\beta \right)\left( -\sqrt{2}-\gamma \right)\left( -\sqrt{2}-\delta \right)\)
=\(f\left( \sqrt{2} \right)\)\(f\left( -\sqrt{2} \right)\)

這樣的算法哪邊出了問題呢？

[ 本帖最後由 smartdan 於 2014-6-14 11:58 AM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-6-14 12:48 標題: 回復 15# smartdan 的帖子

原多項式f的首項係數為2, 所以\(f\left( \sqrt{2} \right)f\left( -\sqrt{2} \right)=4\left( 2-{{\alpha }^{2}} \right)\left( 2-{{\beta }^{2}} \right)\left( 2-{{\gamma }^{2}} \right)\left( 2-{{\delta }^{2}} \right)\)

作者: cherryhung 時間: 2014-6-15 22:33 標題: 回復 6# tsusy 的帖子

懂了~非常感謝~

作者: shingjay176 時間: 2014-6-18 10:25 標題: 回復 1# natureling 的帖子

填充題第二題　　
我就用偷吃步的方法　剛剛有老師問我。我看了一下題目。
我覺得題目給的條件，不會因為三角形影響。答案應該是一個定值
畢竟在考場上，時間就是金錢
解法
就把Ａ點令為原點，Ｂ（４,0)，C(0,6)
因此這個直角三角形，很快可以算出外心(2,3)
接著ＡＢ向量，ＡＣ向量都可以很快求出。已經座標化了。
接著在去內積就可以算出　　２６

應該還有更嚴謹的解法。

也可直接利用內積定義 (*表示內積)
AO * AB =1 / 2 (AB^2)
AO * AC =1 / 2 (AC^2)
所以所求為 1 / 2 (4^2+6^2) =26
利用外心的內積公式

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-18 12:23 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-6-18 10:45 標題: 回復 14# hua0127 的帖子

沒錯，第三題，就直接說明四個人總分是０分。
題目還打出若幾位同學。出題目老師沒有彼此間審核過。

我也是這樣分類討論，　答案　４４

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-18 10:47 AM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-6-18 10:56 標題: 回復 19# shingjay176 的帖子

填充題第四題
\[\begin{array}{l}
{a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\\
{S_1} = {a_1} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\
{S_2} = {a_1} + {a_2} = 1 + {\left( { - 1} \right)^3} = 0\\
{S_3} = 1\\
{S_4} = 0\\
\vdots
\end{array}\]
觀察規則可知
\[\begin{array}{l}
{C_n} = \frac{{{S_1} + {S_2} + \cdots + {S_n}}}{n} = \frac{{\frac{1}{2}n}}{n}\;\; \vee \;\;\frac{{\frac{1}{2}n + 1}}{n}\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {C_n} = \frac{1}{2}
\end{array}\]

作者: shingjay176 時間: 2014-6-18 11:05 標題: 回復 20# shingjay176 的帖子

填充第五題
\( \displaystyle cos 36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} \)
\( cos 2 \theta=2cos^2 \theta-1 \)　，　\( cos 72^{\circ}=2cos^2 36^{\circ}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \)

\( \displaystyle tan^2 18^{\circ} tan^2 54^{\circ}=\frac{sin^2 18^{\circ}}{cos^2 18^{\circ}} \times cot^2 36^{\circ}=\frac{sin^2 18^{\circ}}{cos^2 18^{\circ}} \times \frac{cos^2 36^{\circ}}{sin^2 36^{\circ}}=\frac{\frac{1-cos 36^{\circ}}{2}}{\frac{1+cos 36^{\circ}}{2}}\times \frac{\frac{1+cos 72^{\circ}}{2}}{\frac{1-cos 72^{\circ}}{2}}=\frac{1-cos 36^{\circ}}{1+cos 36^{\circ}} \times \frac{1+cos 72^{\circ}}{1-cos 72^{\circ}}=\frac{1}{5} \)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-18 01:09 PM 編輯 ]

作者: 小傑 時間: 2014-6-18 17:56

請教各位老師~填充第10題可否用根與係數?

作者: shingjay176 時間: 2014-6-18 20:53 標題: 回復 22# 小傑的帖子

填充題第十題
\[\begin{array}{l}
2{x^4} - 7{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1 = 2\left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right)\left( {x - \gamma } \right)\left( {x - \delta } \right)\\
\\
\;\;\;\left( {2 - {\alpha ^2}} \right)\left( {2 - {\beta ^2}} \right)\left( {2 - {\gamma ^2}} \right)\left( {2 - {\delta ^2}} \right)\\
= \left( {\sqrt 2 - \alpha } \right)\left( {\sqrt 2 - \beta } \right)\left( {\sqrt 2 - \gamma } \right)\left( {\sqrt 2 - \delta } \right)\left( {\sqrt 2 + \alpha } \right)\left( {\sqrt 2 + \beta } \right)\left( {\sqrt 2 + \gamma } \right)\left( {\sqrt 2 + \delta } \right)\\
= \frac{1}{2}\left\{ {2{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4} - 7{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + 6{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + 4\sqrt 2 + 1} \right\} \times \frac{1}{2}\left\{ {2{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^4} - 7{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^3} + 6{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4\left( { - \sqrt 2 } \right) + 1} \right\}\\
= \frac{{241}}{4}
\end{array}\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-18 08:58 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-6-18 21:37 標題: 回復 22# 小傑的帖子

用根與係數做，你會轉非常大圈，才走到終點算出答案。

作者: pretext 時間: 2015-6-2 19:24

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