標題: 幾何證明再請教 [打印本頁]

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作者: bch0722b    時間: 2014-6-8 07:58     標題: 幾何證明再請教

一銳角三角形ABC，在BC上找兩點D和E，使角DAC=角EAB。AB上找一點M，使DM垂直AB。在AC上找一點N，使DN垂直AC。延長AE交三角形ABC外接圓於O。
證明:四邊形AMON的面積=三角形ABC的面積

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作者: lyingheart    時間: 2014-6-8 11:43     標題: 回復 1# bch0722b 的帖子

我就不附圖了
先證MN垂直AE
AMDN四點共圓， \(\displaystyle \angle{AMN}=\angle{ADN} \)

所以  \(\displaystyle \angle{AMN}+ \angle{MAE}= \angle{ADN}+ \angle{DAN}=90^o \)

於是四邊形AMON面積= \(\displaystyle \frac{1}{2} AO \times MN \)

又圓AMDN的直徑為AD
所以 \(\displaystyle MN=AD \sin\angle{MAN} \)

\(\displaystyle \Delta ABO ~ \Delta ADC \)

\(\displaystyle AO \times AD=AB \times AC \)

四邊形AMON面積= \(\displaystyle \frac{1}{2} AO \times MN \)

\(\displaystyle =\frac{1}{2} AO \times AD  \sin\angle{MAN} \)

\(\displaystyle =\frac{1}{2} AB \times AC  \sin\angle{MAN} \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-8 03:04 PM 編輯 ]

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作者: bch0722b    時間: 2014-6-8 13:31

謝謝老師~~

[ 本帖最後由 bch0722b 於 2014-6-8 01:35 PM 編輯 ]

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