標題: 幾何證明請教 [打印本頁]

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作者: bch0722b    時間: 2014-6-6 18:19     標題: 幾何證明請教

已知四邊形ABCD為一箏形，且AB=AD ，CB=CD，對角線AC與BD交於O。
今過O點作一任意直線交AB於E，CD於F。再做另一任意直線過O交AD於G，BC於H。連EH交BD於I，連GF交BD於J。
證明:OI=OJ

[ 本帖最後由 bch0722b 於 2014-6-6 06:23 PM 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2014-6-6 20:22     標題: 回復 1# bch0722b 的帖子

很像蝴蝶定理

令
\(\begin{align}
  & \angle AOE=\angle COF=\alpha  \\
& \angle BOE=\angle DOF=\beta  \\
& \angle BOH=\angle DOG=\gamma  \\
& \angle COH=\angle AOG=\omega  \\
\end{align}\)

由張角定理
\(\begin{align}
  & \frac{1}{\overline{OE}}=\frac{\sin \beta }{\overline{OA}}+\frac{\sin \alpha }{\overline{OB}} \\
& \frac{1}{\overline{OH}}=\frac{\sin \omega }{\overline{OB}}+\frac{\sin \gamma }{\overline{OC}} \\
& \frac{\sin \left( \beta +\gamma  \right)}{\overline{OI}}=\frac{\sin \gamma }{\overline{OE}}+\frac{\sin \beta }{\overline{OH}}=\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\overline{OA}}+\frac{\sin \alpha \sin \gamma }{\overline{OB}}+\frac{\sin \beta \sin \omega }{\overline{OB}}+\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\overline{OC}} \\
&  \\
& \frac{1}{\overline{OF}}=\frac{\sin \beta }{\overline{OC}}+\frac{\sin \alpha }{\overline{OD}} \\
& \frac{1}{\overline{OG}}=\frac{\sin \gamma }{\overline{OA}}+\frac{\sin \omega }{\overline{OD}} \\
& \frac{\sin \left( \beta +\gamma  \right)}{\overline{OJ}}=\frac{\sin \gamma }{\overline{OF}}+\frac{\sin \beta }{\overline{OG}}=\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\overline{OC}}+\frac{\sin \alpha \sin \gamma }{\overline{OD}}+\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\overline{OA}}+\frac{\sin \beta \sin \omega }{\overline{OD}} \\
&  \\
& \overline{OB}=\overline{OD} \\
& \overline{OI}=\overline{OJ} \\
\end{align}\)

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-7 11:16

這題好像從大陸那邊來的
他們叫"箏形定理"

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作者: bch0722b    時間: 2014-6-7 17:21

謝謝鋼琴老師，我用過座標證出，但超噁爛。
這簡潔多了，謝謝

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