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標題: 103武陵高中 [打印本頁]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-24 15:43 標題: 103武陵高中

先分享2題計算證明題
證明 \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)，係數都是實數，圖形對稱於反曲點。

例題: 說明何謂雙曲線的光學性質?(3分)，並證明此光學性質(7分)

填充題
AABBCCDD直線排列，請問AD不相鄰的排法? (考試題目是文字，我改換成英文字母符號)

連結已失效h ttp://www.wlsh.tyc.edu.tw/files/14-1002-8847,r39-1.php
國立武陵高中103學年度第一學期第一次正式教師甄選初試成績與相關資料，請詳閱下方附件。
國文科最低錄取分數：43.8分
數學科最低錄取分數：33分(數學科第7名同分者有三人，增額(共9人)進入複試)

附件: 103武陵高中答案.zip (2014-5-25 06:31, 39.16 KB) / 該附件被下載次數 12424
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2283&k=2732d0b552f8d9102a9ea16eb1582c86&t=1732269223

作者: wrty2451 時間: 2014-5-24 17:02

填充十：一圓柱體的半徑為6，有一平面斜切此圓柱並通過底面的圓之直徑，此斜切平面與圓所在的平面夾角為30度，求比較小的截面體積？
(謝謝superlori兄的提醒，我才想起這題漏了這個條件，應該是30度，我這題有用到1:根號3:2)
填充一：(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6 試求x^15次方係數？
填充 ? ：y=cosx+( 9/cosx ) 求y之最小值？(此題有範圍.....但忘記了...，謝謝GGQ兄的提醒)

自己的記憶力有退化的趨勢......
只能記得其中幾題......

中間有遺漏的條件
謝謝版上有去報考的老師的提醒~^^

作者: Ellipse 時間: 2014-5-24 22:20

引用:

原帖由 wrty2451 於 2014-5-24 05:02 PM 發表
填充十：一圓柱體的半徑為6，有一平面斜切此圓柱並通過底面的圓之直徑，求比較小的截面體積？
填充一：(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6 試求x^15次方係數？
填充 ? ：y=cosx+( 9/cosx ) 求y之最小值？ ...

填充一：可用生成函數做~

作者: 小蝦米 時間: 2014-5-25 11:45

引用:

原帖由 wrty2451 於 2014-5-24 05:02 PM 發表
填充一：(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6 試求x^15次方係數？...

考完才想到可以用重複組合去想
看成六個袋子每袋最多6顆貢丸最少0顆
六袋共15顆貢丸

H(6,15)-C(6,1)*H(6,8)+C(6,2)*H(6,1)

要扣任一袋超過6顆再加任兩袋一起超過六顆

作者: GGQ 時間: 2014-5-25 20:40 標題: 回復 2# wrty2451 的帖子

填充 ? ： y=cosx+( 9/cosx )  求y之最小值？
感覺上,題目跟今年師大附中的其中一題偵錯題很相似,引誘他人寫6(原因:等號不可能成立)
你是不是題目應該少了  " -(pi/2) < x < (pi/2) "  ?? 這條件
若加了這條件,答案最小值就是10  ( x=0 時)
要不然
當 x = pi 時 , 原式子就會產生 -10 這更小的答案
謝謝
提供某網站有解過類似的題目參考
h ttp://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=5807　連結已取消

作者: shingjay176 時間: 2014-5-25 22:06 標題: 回復 5# GGQ 的帖子

對。條件有角度範圍。

作者: panda.xiong 時間: 2014-5-25 23:20

請問填充十：答案是不是有誤啊？我算出來是144(根號3)。

作者: tsusy 時間: 2014-5-25 23:36 標題: 回復 7# panda.xiong 的帖子

填充 10.(前提假設斜面和底面夾 \( 45^\circ \) ) 暴力積分 \( \int_{0}^{1}\int_{0}^{x}2\sqrt{1-x^{2}}dzdx=2\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}dx=\left.2(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{2}{3}\cdot(-\frac{1}{2})\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3} \)

半徑 6，故所求 \( =6^3 \times \frac23 = 144 \) (好像也算錯了？)

如果是 #9 superlori 所言的 \( 30^\circ \)，那就沒錯了 \( 144 \tan 30^\circ = 48 \sqrt{3} \)

作者: superlori 時間: 2014-5-25 23:44 標題: 回復 8# tsusy 的帖子

我有去考，但我記得是30度
當然也有可能記錯

作者: smartdan 時間: 2014-5-29 21:21 標題: 回復 9# superlori 的帖子

是30度沒錯！

作者: smartdan 時間: 2014-5-29 21:24

我今天打電話去問，武陵高中的試務組長跟我說，
法令規定要公佈選擇和填充的答案，關於題目並沒有相關規定要公佈，
他們不公佈題目的其中一個原因是不想讓其他不孝廠商有利可圖，
他還說很多，不過我記不得了，
結論就是他們不公佈題目～

作者: bugmens 時間: 2014-5-29 21:39

去年我也申訴過，只是無法改變結果，今年想去申訴想想還是放棄了
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1184&page=2#pid7872

更何況教師甄選作業要點是公佈題目和答案。
http://edu.law.moe.gov.tw/LawCon ... %20&StyleType=1

作者: smartdan 時間: 2014-5-29 21:48 標題: 回復 12# bugmens 的帖子

明天該再打一次給武陵高中的試務組長嗎？
告訴他作業要點第幾條有寫，至少有填充題的題目也好～

作者: Ellipse 時間: 2014-5-29 22:11

覺得至少要公佈填充題題目

避免出題老師偷懶
曾有遇過A,B兩家
當年題目重複達80%
(連數據都一樣)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-29 10:18 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-29 22:12 標題: 回復 14# Ellipse 的帖子

公布題目，是負責任的作法。
讓不肖廠商牟利??  我第一次聽到這樣理由。

大家一起靠記憶跟回憶
一起還原題目真相。好好檢討這份題目。考完試後，常常要求學生訂正，我們老師也要以身作則

我先來回憶一題填充題
題目數據我忘記了。大概是說  已知  兩條直線方程式(題目有告知數據) ，經過矩陣轉換後，變成另外兩條直線(題目有告知數據)，請問這個二階的矩陣為何??

證明  三次函數圖形對稱於反曲點
https://math.pro/db/redirect.php ... o=lastpost#lastpost

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-29 10:40 PM 編輯 ]

作者: superlori 時間: 2014-5-30 12:45 標題: 回復 14# Ellipse 的帖子

這是我記得的題目
但數據可能沒有完全一樣
請參考

較為完整的題目可以參考#19
把大部分題目都背出來了!!

[ 本帖最後由 superlori 於 2014-5-30 02:36 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-30 13:56 標題: 回復 16# superlori 的帖子

謝謝

作者: thepiano 時間: 2014-5-30 14:18

第 9 題
在這裡　https://math.pro/db/redirect.php ... amp;goto=nextnewset

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-30 03:19 PM 編輯 ]

作者: superlori 時間: 2014-5-30 14:32 標題: 回復 18# thepiano 的帖子

剛剛靜下心來，再回想一次考試時的想法
大概背出來一些題目，給大家參考看看

[ 本帖最後由 superlori 於 2014-5-30 03:10 PM 編輯 ]

附件: 103武陵.pdf (2014-5-30 15:10, 58.74 KB) / 該附件被下載次數 8562
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2303&k=208cec5d944fa02571521e17f2e90ee8&t=1732269223

作者: Ellipse 時間: 2014-5-30 14:59

引用:

原帖由 superlori 於 2014-5-30 02:32 PM 發表
剛剛靜下心來，再回想一次考試時的想法
大概背出來一些題目，給大家參考看看

不好意思，可能要麻煩版主幫我刪掉上一篇了

計算1:
第二小題,h應該是指O到平面ABC的距離?
以下是不夠嚴謹的想法
將O平移至原點O'(0,0,0) ,其他A,B,C三點經平移旋轉,點對稱到正向x軸,y軸,z軸後
可設A' (a,0,0) ,B'(0,b,0) ,C'(0,0,c)後面用O'點到平面A'B'C'的距離公式就可求出

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-30 03:08 PM 編輯 ]

作者: superlori 時間: 2014-5-30 15:12 標題: 回復 20# Ellipse 的帖子

我也是這樣子做，我是直接建立坐標系

第一小題其實令完參數之後就可以直接作內積
就可以知道是垂心

第二小題就點到平面距離，整理一下就出來了。
如果有需要解法我在PO上來

作者: tsusy 時間: 2014-5-30 15:57 標題: 回復 21# superlori 的帖子

計算1.1 另證：

由 O 對直線 \( \overleftrightarrow{BC} \) 作垂線 \( \overline{OH_A} \) 垂直 \( \overleftrightarrow{BC} \) 於 \( H_A \)

\( \overline{OH} \perp ABC面 \), \( \overline{OH_A} \perp \overleftrightarrow{BC} \) 由三垂線定理得 \( \overline{HH_A} \perp \overleftrightarrow{BC} \)

\( \overline{AO} \perp OBC面 \), \( \overline{OH_A} \perp \overleftrightarrow{BC} \) 由三垂線定理得 \( \overline{AH_A} \perp \overleftrightarrow{BC} \)

故 \( A, H, H_A \) 三點共線，都在平面 OBC 上的過 H_A 垂直 \( \overleftrightarrow{BC} \) 的直線上

因此高 \( \overline{AH_A} \) 通過 H，同理另兩高亦過 H，三高交於 H，H即為垂心

第2小題 \( \displaystyle \frac{1}{6}abc = \frac{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{2} \times \frac{h}{3} \)，其中 \( \frac12 \sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \) 為 \( \triangle ABC \) 的面積
(感謝 #73 mandy 指正 \( \triangle ABC \) 的面積)

整理即得 \( \displaystyle \frac{1}{h^2} = \frac1{a^2} + \frac1{b^2} + \frac1{c^2} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-7-19 09:07 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-30 15:58

第8題
小弟覺得應是\(f\left( x \right)=\frac{{{a}^{x}}-{{a}^{-x}}}{2}\)

\(f\left( x \right)=\frac{{{a}^{x}}+{{a}^{-x}}}{2}\)沒有反函數

作者: superlori 時間: 2014-5-30 16:09 標題: 回復 23# thepiano 的帖子

不好意思，可能是我記錯了= =

作者: 瓜農自足 時間: 2014-5-30 18:46 標題: 回復 23# thepiano 的帖子

記憶中是有限制x>=0
如此就沒問題了

作者: thepiano 時間: 2014-5-30 20:37

引用:

原帖由 瓜農自足 於 2014-5-30 06:46 PM 發表
記憶中是有限制x>=0
如此就沒問題了

這樣算出來的答案是\(\displaystyle x>\frac{{{a}^{2}}+1}{2a}\)

而官方給的答案是\(\displaystyle x>\frac{{{a}^{2}}-1}{2a}\)

作者: airfish37 時間: 2014-5-31 00:24

1. 考試最後不到5分鐘用飛快的速度抄下關鍵字和數據....(數據應該還算可靠^^".....有誤請幫忙debug)
2. 計算題第5題....來不及抄題就打鐘....監考老師收卷時強記一些關鍵字.... (題目全憑印象打的....時間有點久遠.....完全沒把握@@"....一定要幫忙debug XD)
3. 希望版上高手不吝分享解法^^

附件: 103年武陵高中.pdf (2014-5-31 00:24, 234.96 KB) / 該附件被下載次數 8225
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2304&k=f41d12443e5b9b1f34fce33973f93bba&t=1732269223

作者: bugmens 時間: 2014-5-31 04:52

10.
已知一圓柱體的半徑為6，有一平面E與圓柱夾\( 30^{\circ} \)且通過圓柱直徑，試求平面E與圓柱所截兩塊體積中較小的體積。
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=2816#p7604
更多類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1618&page=1#pid8244

計算4.
若\( n \ge 2 \)，證明\( \displaystyle \frac{4}{7}<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}<\frac{\sqrt{2}}{2} \)
(高中數學101　P358)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-31 05:35 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-31 09:23

計算6:
後面條件不夠,BCGD不一定共圓

作者: tsusy 時間: 2014-5-31 09:58 標題: 回復 29# Ellipse 的帖子

計算 6. 用 ggb 畫圖，四點共圓，需要條件是 \( \displaystyle \frac{\overline{CE}}{\overline{DE}} = \frac{\overline{CF}}{\overline{BC}} \)

計算 5. 有點看不太懂題目，沒有說明的對應關係應該是指這樣吧？

4 樓 4 扇 A  B  C  D
3 樓 3 扇 E  F  G
2 樓 2 扇    H  I

倒三角的對應關係，AB→E, BC→F, CD→FG, EF→H, FG→I

作者: Ellipse 時間: 2014-5-31 11:27

公佈題目另一個用意
可以讓考生除錯
萬一官方版的解答給錯
而有考生算對卻被改錯
那考生的權利豈不受損?

過去可以看到一些案例:
學校有公佈題目及答案
但給錯答案或是題目出錯或條件不足
接到考生提出試題疑義而立即處理(更正考生成績)
題目雖有瑕疵,但後續處理部分,學校都勇於面對,值得肯定~

作者: airfish37 時間: 2014-5-31 13:06

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-31 09:58 AM 發表
計算 6. 用 ggb 畫圖，四點共圓，需要條件是 \( \displaystyle \frac{\overline{CE}}{\overline{DE}} = \frac{\overline{CF}}{\overline{BC}} \)

計算 5. 有點看不太懂題目，沒有說明的對應關係應該是指這樣吧？

計算6 準備抄題時已經打鐘了....很快把題目給的圖畫在准考證上@@" 條件可能漏抄了XD 感謝指正^^
計算5 題目有點長....監考老師收卷時...強記幾個關鍵字....沒有時間理解題目@@" (自己也不清楚自己在寫些什麼XD)
希望當天參與考試的老師們一起幫忙回憶補足.... 或是版上神人幫忙還原題目...感謝!!

作者: tsusy 時間: 2014-5-31 20:37 標題: 回復 30# tsusy 的帖子

計算 5. 如原題意，如先前之猜測

我們以 0 表是打開， 1 表示關閉，則上下樓層的開關對應關係即模 2 的加法運算

例：開  開  關  開    0  0  1  0
      開關  關       0  1  1

以 \( a_i \equiv 0 \) 或 1 (mod 2), \( i =0,1,2,3,\ldots,1023 \) 表示 \( 2^{10} \) 層的窗戶開關態，
依題意其中有 \( 2^9 + 1 \) 個 \( a_i \) 為  0； \( 2^9 - 1 \) 個 \( a_i = 1 \)

觀察此倒三角形加法關係 \( a_i \) 的係數，不難發現是二項式係數

故 1 樓的狀態為 \( \displaystyle \sum_{i=0}^{1023} C^{1023}_{i} a_i \)

接著我們需要一個小性質 \( C^{1023}_{i} \equiv 1 \) (mod 2)，這件事可以 Lucas 定理得到

Lucas 定理：若 \( p \) 為質數，\( m = a_0 + a_1 p +a_2 p^2 +\ldots \), \( n = b_0 + b_1 p +b_2 p^2 + \ldots \) 為兩非負整數滿足 \( 0 \leq n \leq m \) 且 \( 0\leq a_i, b_i < p \) 則 \( C^m_n \equiv \displaystyle \prod C^{a_i}_{b_i} \) (mod \( p \))
(即 \( a_i, b_i \) 為 \( n, m \) 的 \( p \) 進位表示式的各個位數)

所以 1 樓的狀態為 \( \displaystyle \sum_{i=0}^{1023} C^{1023}_{i} a_i \equiv 2^9 -1 \equiv 1 \) (mod 2)，即該窗戶關閉

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-1 09:05 AM 編輯 ]

作者: ilikemath 時間: 2014-6-3 20:09

各位老師好
這是103武陵高中的考題
是我從考場記出來的
花了一些時間打字校正

去年考上後就發願
想把從不公佈考題的學校
將試題記出來
只要我時間地點允許的話
我一定去報名來回饋各位老師

同時也拋出一個想法
我們教甄是否也可組記考題部隊
針對北中南從不公布考題的學校
或是只考非測驗題型的學校
把題目一字不漏的記出來

也許我考慮不夠周詳
會讓其他老師以為被佔掉一個複試機會
也許未來自己也有可能還要考
但這想法只適用於要去記題目
並非繼續考教甄的
感謝橢圓大、broken 大的想法

[ 本帖最後由 ilikemath 於 2014-6-3 08:47 PM 編輯 ]

附件: 103武陵高中.rar (2014-6-3 20:09, 49.02 KB) / 該附件被下載次數 7747
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2323&k=10fc822a1e964e331e5071e0b5c97a7c&t=1732269223

作者: Ellipse 時間: 2014-6-3 20:21

引用:

原帖由 ilikemath 於 2014-6-3 08:09 PM 發表
各位老師好
這是103武陵高中的考題
是我從考場記出來的
花了一些時間打字校正

去年考上後就發願
想把從不公佈考題的學校
將試題記出來
只要我時間地點允許的話
我一定去報名來回饋各位老師

同時也拋出一個想法
之 ...

感謝您熱心的幫忙~
個人認為
如果還有認真想要再轉考學校
就請努力的考
但只想考好玩的
千萬不要考太好(最好不要考了)
萬一不小心進複試
就多占了一個複試的名額

所以"假考部隊"這想法要三思
畢竟還有一些考生想進複試
對他們來講,這機會很難得~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-3 08:24 PM 編輯 ]

作者: broken 時間: 2014-6-3 20:36

超級同意樓上橢圓大

會這樣奔波到處參加考試的
除了很多還在堅持著的流浪教師外
也不乏有很多對未來有抱負想要更好發展
或者是想要回到自己家鄉的正式老師
大家都很需要拿到進入複試超窄門的那張門票...

但如果只是想要去重溫筆試的感覺
或者是去記題目假考什麼的
卻一個不小心就擠掉別人進複試的機會
那真的不是很好~

不過...願意幫忙記題目回饋大家的心意值得肯定^^"

作者: Ellipse 時間: 2014-6-3 20:39

引用:

原帖由 broken 於 2014-6-3 08:36 PM 發表
超級同意樓上橢圓大

會這樣奔波到處參加考試的
除了很多還在堅持著的流浪教師外
也不乏有很多對未來有抱負想要更好發展
或者是想要回到自己家鄉的正式老師
大家都很需要拿到進入複試超窄門的那張門票...

但如果只 ...

不然就只去抄題目
不要寫考卷
可是這樣也很容易被監考老師懷疑~

作者: tsusy 時間: 2014-6-3 21:18 標題: 回復 35# Ellipse 的帖子

身為去年過來人，我也來說說：

對不認識的老師來說，這樣的假考，他們可能無從得知。

但總有認識的老師正在努力通過教甄，這樣的假考，他們做何感想？或許一兩次無感？或許沒有說出口？

但這樣的行為，大概很難說自己問心無愧吧？

然後去年我去考了，對自己說我是去記題目的，順帶測測自己的水平有沒有下降。

但還是希望盡量不要影響到認真考試的老師們，

於是思量後挑一間，題目難、報名人數少 1 / 77、通過初試 6(實際) / 8(簡章)、說不定複試會從缺。

結果來看是既背了題目，又沒佔到真正的位子。當然事情可一不可再，再考下去的話，大概認識的會想揍我吧！

另外也可以效法老王老師，寫一個小時交卷，或是把剩下的時間拿來背題、抄題。

作者: thepiano 時間: 2014-6-3 22:12

小弟連進去抄題目的機會都沒有......

話說計算最後一題
如果能證出 B、C、G、D 四點共圓的話，那 BCGD 的面積 = 以 BG 為邊的正三角形面積
不過不簡單啊 ......

補個圖

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-3 10:39 PM 編輯 ]

圖片附件: 20140603.jpg (2014-6-3 22:36, 39 KB) / 該附件被下載次數 5417
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2324&k=d6d2aa83263a69470e2b4ac03c54cc5d&t=1732269223

作者: Ellipse 時間: 2014-6-3 22:20

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-3 10:12 PM 發表
小弟連進去抄題目的機會都沒有......

話說計算最後一題
如果能證出 B、C、G、D 四點共圓的話，那 BCGD 的面積 = 以 BG 為邊的正三角形面積
不過不簡單啊 ...... ...

鋼琴兄在這裡解題
幫助過無數的流浪教師
貢獻程度無法用言語來形容....

話說回來這題
小弟剛剛也在看
看能不能證明角BGD=60度~

作者: thepiano 時間: 2014-6-3 22:39 標題: 回復 40# Ellipse 的帖子

小弟要感謝各位老師的指導，常來這裡偷學幾招，以後可以教小女

作者: tsusy 時間: 2014-6-3 23:55 標題: 回復 40# Ellipse 的帖子

計算 6(1)

硬是寫一個爛證明，畫圖觀察，先想像 \( \angle DGC = 120^\circ \)，如果要用相似三角形證明此，會是哪個三角形與其相似呢？找到之後，再來湊相似條件

不妨假設 \( \overline{DE}=1, \overline{EC}=r \), 則 \( \overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}=1+r \)。

由三角形 \( \triangle ADE\sim\triangle FCE \)，可得 \( \overline{CF}=(1+r)r \)

\( \triangle FDC \) 中，由餘弦定理可得 \( \overline{DF}=\sqrt{(1+r)^{2}+(1+r)^{2}r^{2}+r(1+r)^{2}}=(1+r)\sqrt{1+r+r^{2}} \)。

\( \triangle FDC \) 被直線 \( \overrightarrow{BE} \) 所截，由孟氏定理有 \( \displaystyle \frac{\overline{FG}} {\overline{GD}}\cdot\frac{\overline{DE}}{\overline{EC}}\cdot\frac{\overline{CB}}{\overline{BF}}=1
\Rightarrow\frac{\overline{FG}}{\overline{GD}}=r(r+1)\Rightarrow\overline{DG}=\frac{1}{r^{2}+r+1}\overline{DF}=\frac{1+r}{\sqrt{r^{2}+r+1}} \)

\( \displaystyle \frac{\overline{DG}}{\overline{DC}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+r+1}}, \frac{\overline{DC}}{\overline{DF}}=\frac{1}{\sqrt{1+r+r^{2}}} \)，又 \( \triangle CDG \) 和 \( \triangle FDC \) 共用 \( \angle D \)，故兩三角形相似(SAS)

因此 \( \angle DGC=\angle DCF=120^{\circ} \)，故 \( \angle DGC \) 與 \( \angle DBC \) 互補，因此四點共圓。

要是真的這樣做的話，考試根本做不出來吧。至於有沒有好方法，就請其它高手出手吧！

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-4 12:00 AM 編輯 ]

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作者: Ellipse 時間: 2014-6-4 13:58

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-3 10:12 PM 發表
小弟連進去抄題目的機會都沒有......

話說計算最後一題
如果能證出 B、C、G、D 四點共圓的話，那 BCGD 的面積 = 以 BG 為邊的正三角形面積
不過不簡單啊 ......

補個圖 ...

帥喔~
昨晚小弟跟寸斯討論到這題
他想的方法也跟鋼琴兄一樣
用旋轉的方式
可見"英雄所見略同"
這樣題目只要再說明G,C,G'三點共線就好了~

作者: tsusy 時間: 2014-6-4 19:16 標題: 回復 43# Ellipse 的帖子

計算6(2)，補一下過程，由 (1) 得 BDGC 四點共圓，得 \( \angle BDG + \angle GCB = 180^\circ \)，故鋼琴兄 #39 的圖中將 \( \triangle BDG \) 以 \( B \) 為中心，逆時針旋轉 \( 60^\circ \) 得 \( \triangle BD'G' \)，其中 \( D' \) 和 \( C \) 重合。

由  \( \angle BDG + \angle GCB = 180^\circ \) 得 \( \angle BD'G' + \angle GCB = 180^\circ \)，故 \( GCG' \) 三點共線

四邊形 BDGC 面積 = 三角形 BDG 面積 + 三角形 BGC 面積
                           = 三角形 BD'G' 面積 + 三角形 BGC 面積
                           = 三角形 BGG' 面積 (邊長為 \( a \) 的正三角形)

作者: thepiano 時間: 2014-6-4 20:06 標題: 回復 44# tsusy 的帖子

請問各位老師，考試時，第(1)小題沒證出來，直接用第(1)小題的結論做出第(2)小題，且答案正確，這樣的話，第(2)小題這5分拿得到嗎？

話說，這張總分是 120 分，只要 33 分就能進複試，不好玩...

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-4 08:09 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-6-4 20:15

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-4 08:06 PM 發表
請問各位老師，考試時，第(1)小題沒證出來，直接用第(1)小題的結論做出第(2)小題，且答案正確，這樣的話，第(2)小題這5分拿得到嗎？

話說，這張總分是 120 分，只要 33 分就能進複試，不好玩... ...

如果是考指考,只有後面對, 也會給5分
但考教甄就不確定了
看他們的心情~

作者: thepiano 時間: 2014-6-4 20:22

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-6-4 08:15 PM 發表

如果是考指考,只有後面對, 也會給5分

那如果是高中生的校內考試呢？

另外，小弟很好奇，這裡有沒有老師改過教甄的考卷？有沒有遇到好玩的事可分享？

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-4 08:25 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-6-4 20:38

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-4 08:22 PM 發表

那如果是高中生的校內考試呢？

另外，小弟很好奇，這裡有沒有老師改過教甄的考卷？有沒有遇到好玩的事可分享？

校內考試應該會給吧?

看看版上這次有沒有哪位老師被派去改全國的考卷~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-4 08:39 PM 編輯 ]

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-4 23:58

想請問
填充第三&第四怎解
第四用臨界點的方法好硬

作者: thepiano 時間: 2014-6-5 08:19

填充第3題
\(\begin{align}
  & x+y=5x+3y=1 \\
& 2x-3y=-5x-4y=-6 \\
&  \\
& \left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
2 & -3  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
-5 & -4  \\
\end{matrix} \right]A \\
& A={{\left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
-5 & -4  \\
\end{matrix} \right]}^{\ -1}}\left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
2 & -3  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
\frac{4}{5} & \frac{3}{5}  \\
-1 & -1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
2 & -3  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
2 & -1  \\
-3 & 2  \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}\)

填充第4題
不知出題教授有沒有自己用手算一遍？有的話，要算多久？

作者: hua0127 時間: 2014-6-5 09:16 標題: 回復 50# thepiano 的帖子

填充4：

同意鋼琴師的說法~~小弟在考場做這題大概做到一半就會想跳過(時間壓力+數字太醜)

這題我知道的傳統做法是考慮
\(\left\{ \begin{align}
& y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}} \\
& y=kx+6 \\
\end{align} \right.\) 圖形有三個相異交點時求k的範圍
所以要考慮 \(y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}\) 過點 \(\left( 0,6 \right)\) 的切線
令切點為 \(\left( t,{{t}^{3}}-8{{t}^{2}} \right)\), 則求解 \(3{{t}^{2}}-16t=\frac{{{t}^{3}}-8{{t}^{2}}-6}{t}\Rightarrow t=1,\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}\)
考慮對應三個切點的相對位置 \(\frac{3-\sqrt{21}}{2}<1<\frac{3+\sqrt{21}}{2}\) 且
\(f'\left( \frac{3-\sqrt{21}}{2} \right)=\frac{-3+7\sqrt{21}}{2},f'\left( 1 \right)=-13,f'\left( \frac{3+\sqrt{21}}{2} \right)=\frac{-3-7\sqrt{21}}{2}\)
由圖形可看出斜率k的所求範圍為\(\left\{ \left. k \right|k>\frac{-3+7\sqrt{21}}{2}or\frac{-3-7\sqrt{21}}{2}<k<-13 \right\}\)
有其他更好算的方法等高手們待補

(話說剛才看到瓜農兄提到的臨界點法應該就是這方法，沒幫到啥忙有點不好意思XD)

PS. 最後一題幾何題真的是非常難，能想到寸絲兄的方式證真的是非人也!!

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-5 09:37 AM 編輯 ]

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-5 11:50 標題: 回復 50# thepiano 的帖子

請教鋼琴師
x+y=5x+3y=1 看不懂如何變換
還有要把對應直線常數項變相同的原因是？
先說說我自己的想法好了也不曉得錯在哪
考慮矩陣A將L1,L2之方向向量＜1，-1＞‘，＜3，2>‘帶往L1',L2'的法向量＜3，2＞′ ，＜4，-5＞ ′解A得【2，-1；-1/5，-11/5】；表下一列
請賜教了謝謝

另外謝謝hua大，有幫到我大忙，我是被k給困住，我本來直接微分以k表示臨界點，再考慮兩臨界點函數值一正一負去解的。

[ 本帖最後由瓜農自足於 2014-6-5 11:54 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-6-5 12:48 標題: 回復 52# 瓜農自足的帖子

\(\begin{align}
  & x+y=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x  \\
y  \\
\end{matrix} \right]=1 \\
& 5x+3y=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x  \\
y  \\
\end{matrix} \right]=1 \\
\end{align}\)

由於二階方陣A將\(x+y=1\)變換為\(5x+3y=1\)
故
\(\begin{align}
  & \left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x  \\
y  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
\end{matrix} \right]A\left[ \begin{matrix}
x  \\
y  \\
\end{matrix} \right] \\
& \left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
\end{matrix} \right]A \\
\end{align}\)

同理
\(\left[ \begin{matrix}
2 & -3  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
-5 & -4  \\
\end{matrix} \right]A\)

合併寫成
\(\left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
2 & -3  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
-5 & -4  \\
\end{matrix} \right]A\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-5 12:51 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-6-5 13:06 標題: 回復 52# 瓜農自足的帖子

瓜農兄你的L1'的方向向量應為 ( 3，-5)  這樣代入 A 可解出本題正解，

不過這樣解好像會有些危險XD，因為矩陣變換的確能把方向向量映到方向向量，
但是不一定剛好是直線方程式上看到的"係數"，中間可能會差一個常數倍，

舉例來說，矩陣\(A=\left( \begin{matrix}
3 & -1  \\
1 & -2  \\
\end{matrix} \right)\) 將直線 \(2x+y=1\) 映至直線 \(x-y=1\) 但是方向向量

\(A\left( \begin{matrix}
1  \\
-2  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
5  \\
5  \\
\end{matrix} \right)=5\left( \begin{matrix}
1  \\
1  \\
\end{matrix} \right)\ne \left( \begin{align}
  & 1 \\
& 1 \\
\end{align} \right)\)

但本題的情況剛好常數倍是1

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-5 14:52 標題: 回復 54# hua0127 的帖子

謝謝
原來#34才是正確版考題
我載到另一份系數有點差異
所以說兩條線各找兩點對應過去有四條件解出A是最保險的方法囉

作者: hua0127 時間: 2014-6-5 17:31 標題: 回復 55# 瓜農自足的帖子

兩條線各找兩點對應過去有四條件解出A在計算方面可能不是最保險XD
最有效率的做法還是鋼琴老師在前面的作法，應該也是得分上最保險的作法

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-5 18:19

同意55# hua 大的想法!
分享一下讓我想很久的第二題給大家
我被上下左右搞得頭暈眼花的
這題我想還是別用圓盤法
但考慮比較好手算的殼層法要小心判斷兩函數圖型繞x軸轉一圈時，
判斷包園區域中哪個函數離x軸較高，如此分段積分得分三段
如附件(不會貼圖@@)
參考以下縮網址
http://ppt.cc/WOMS

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-5 11:05 PM 編輯 ]

圖片附件: 分段積分.jpg (2014-6-5 23:05, 38.83 KB) / 該附件被下載次數 6129
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作者: Ellipse 時間: 2014-6-5 22:10

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-5 09:16 AM 發表
填充4：

同意鋼琴師的說法~~小弟在考場做這題大概做到一半就會想跳過(時間壓力+數字太醜)

這題大概就像hua0127兄的做法~
y=x^3-8x^2-6 ,y=kx
只能細心一點,畫圖+計算不要錯誤,才能拿到分數~
若遇到這種題目,小弟會放在最後再做~

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-6 12:03

我發現我第七題做不出來@@
題為
若 0<=x<2pi
已知 3sinx-4kcosx+(3+8k)=0
x有兩相異實根, 求k 範圍
請賜教...

作者: thepiano 時間: 2014-6-6 12:56 標題: 回復 59# 瓜農自足的帖子

\(\sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\cos x==\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\)
代入後，整理成 t 的二次方程，再用判別式

作者: hua0127 時間: 2014-6-6 12:59 標題: 回復 59# 瓜農自足的帖子

第7題：
考慮
\(\left\{ \begin{align}
& y=4k\cos x-3\sin x \\
& y=3+8k \\
\end{align} \right.\) 的圖形在 \([0,2\pi )\) (一個週期) 的範圍交於相異兩點
再利用振幅的觀念解不等式
\(\left| 3+8k \right|<\sqrt{{{\left( 4k \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}\Rightarrow -1<k<0\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-6 01:12 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-6-7 00:42 標題: 回復 42# tsusy 的帖子

計算6 (1)
提供一個另解：

1.       在線段\(\overline{FD}\)上找一點\(H\) 使得\(\overline{CH}//\overline{BD}\)

2.       由平行線截比例線段可推知\(\frac{\overline{FH}}{\overline{HD}}=\frac{\overline{FC}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{FE}}{\overline{FA}}\), 可推知\(\overline{EH}//\overline{AD}\)

3.       由平行線同位角相等可得到相似三角形\( ABD\sim  ECH\Rightarrow \angle ECH=\angle ABD=60{}^\circ \)

4.       由SAS全等性質可推得全等三角形\(DCH\cong \ BCE\), 故\(\angle CDG=\angle CBG\), 所以  \(BCGD\)四點共圓

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 12:43 AM 編輯 ]

圖片附件: 1.jpg (2014-6-7 00:42, 53.82 KB) / 該附件被下載次數 4796
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2340&k=c94ad03c7d6f692bbf1e87f6b5051d91&t=1732269223

作者: thepiano 時間: 2014-6-7 08:16 標題: 回復 62# hua0127 的帖子

這真的是太帥了

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-17 14:14

請問三角形GCD面積如何用a表示？
我搞錯題意了，原來a設為BG線段
想請問所求四邊形面積為何是以BG為邊正三角形面積？

[ 本帖最後由瓜農自足於 2014-6-17 06:13 PM 編輯 ]

作者: David 時間: 2014-6-17 14:19 標題: 回復 53# thepiano 的帖子

請問, 鋼琴師在解填充3時, 說到:

由於二階方陣A將\(x+y=1\)變換為\(5x+3y=1\)
故
\(\begin{align}
  & \left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x  \\
y  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
\end{matrix} \right]A\left[ \begin{matrix}
x  \\
y  \\
\end{matrix} \right] \\
& \left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
\end{matrix} \right]A \\
\end{align}\)

插入的 A , 可以再說明一下嗎? 或是提示一下往那個方向找資料?? 謝謝.
(我眼中看到的是:
\(x+y=1=5x+3y\)
所以
\(\begin{align}
  & \left[ \begin{matrix}
1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x  \\
y  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x  \\
y  \\
\end{matrix} \right]
\end{align} \)
...冏!)

[ 本帖最後由 David 於 2014-6-17 02:33 PM 編輯 ]

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-17 15:45 標題: 回復 65# David 的帖子

概念就是轉換過去的點滿足5x+3y=1。

作者: thepiano 時間: 2014-6-17 17:56

引用:

原帖由 David 於 2014-6-17 02:19 PM 發表
我眼中看到的是:
x+y=1=5x+3y

這樣的話，只有 (x，y)=(-1，2) 這個點滿足
小弟的想法同樓上瓜農自足老師

作者: David 時間: 2014-6-17 19:37 標題: 回復 67# thepiano 的帖子

謝謝兩位老師, 這式子我了解了.
另外還有一個問題. 即然A是將x+y=1轉換成5x+3y=1, 那假設的時侯不是應該在靠x+y這裏, 怎麼反而放在5x+3y這裏.
(Sorry我現代太弱!)

作者: hua0127 時間: 2014-6-17 19:46 標題: 回復 64# 瓜農自足的帖子

用旋轉的方式做~
鋼琴老師跟寸絲兄有在 #39 跟 #44 提供想法與解法

作者: thepiano 時間: 2014-6-17 21:46

引用:

原帖由 David 於 2014-6-17 07:37 PM 發表
另外還有一個問題. 即然A是將x+y=1轉換成5x+3y=1, 那假設的時侯不是應該在靠x+y這裏, 怎麼反而放在5x+3y這裏.

已回覆私訊給您

作者: mandy 時間: 2014-6-19 14:37

懂了

[ 本帖最後由 mandy 於 2014-6-19 03:39 PM 編輯 ]

作者: mandy 時間: 2014-6-21 12:19

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-30 08:37 PM 發表

這樣算出來的答案是\(x>\frac{{{a}^{2}}+1}{2a}\)

而官方給的答案是\(x>\frac{{{a}^{2}}-1}{2a}\)

請問為什麼我算出來是\(x<\frac{{{a}^{2}}-1}{2a}\)
過程 \( ({a}^{y})^{2}-2x({a}^{y})-1=0 \) -->  \({a}^{y}=x+/-\sqrt{{x}^{2}+1} > a \)
      \((x-a)^{2}>(+/-\sqrt{{x}^{2}+1})^{2} \)
   \(x<\frac{{{a}^{2}}-1}{2a}\)

[ 本帖最後由 mandy 於 2014-6-21 12:26 PM 編輯 ]

作者: mandy 時間: 2014-6-21 12:51

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-30 03:57 PM 發表
計算1.1 另證：

由 O 對直線 \( \overleftrightarrow{BC} \) 作垂線 \( \overline{OH_A} \) 垂直 \( \overleftrightarrow{BC} \) 於 \( H_A \)

\( \overline{OH} \perp ABC面 \), \( \overline{OH_A} \perp \overlef ...

請問如何知　(1/2)sqrt(a^2+b^2+c^2)是三角形ABC的面積?
應該是　(1/2)sqrt(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2) 才能得證

[ 本帖最後由 mandy 於 2014-6-21 12:59 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-6-21 13:17 標題: 回復 73# mandy 的帖子

你寫的才對，是我先前寫錯了，

至於 \( \triangle ABC \) 的面積，可用畢氏定理的推廣得到，推廣可見於畢氏定理的兩個推廣-蔡聰明第一頁下方處

而得 \( \triangle ABC = \frac12 \sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \)

作者: thepiano 時間: 2014-6-21 17:27 標題: 回復 72# mandy 的帖子

\({{a}^{y}}>0,{{a}^{y}}=x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}\)不合

\(\begin{align}
  & {{a}^{y}}=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}>a \\
& a-x<\sqrt{{{x}^{2}}+1} \\
& {{\left( a-x \right)}^{2}}<{{x}^{2}}+1 \\
& x>\frac{{{a}^{2}}-1}{2a} \\
\end{align}\)

若反著做，會產生問題
因為\(\begin{align}
  & x>x-a>-\sqrt{{{x}^{2}}+1} \\
& {{x}^{2}}>{{\left( x-a \right)}^{2}}>{{x}^{2}}+1 \\
\end{align}\)矛盾

而\(\begin{align}
  & -x<a-x<\sqrt{{{x}^{2}}+1} \\
& {{x}^{2}}<{{\left( a-x \right)}^{2}}<{{x}^{2}}+1 \\
\end{align}\)成立

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-21 05:32 PM 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2014-8-25 21:39 標題: 關於Lucas定理

有關寸絲大提到的Lucas定理
小的剛好想到一個問題
11=1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0
  5=0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0
所以根據定理
可以得到C(11，5)=C(1，0)*C(0，1)*C(1，0)*C(1，1) mod  2
                        =1*C(0，1)*1*1  mod  2
                        =C(0，1)  mod  2
但是C(0，1)等於0嗎？
如果直接計算C(11，5)確實可以得到0  mod  2
所以意思是C(0，1)等於0嗎？

作者: tsusy 時間: 2014-8-25 22:16 標題: 回復 76# peter0210 的帖子

一般來說，可能不特別定義 \( C^n_m \) 當 \( n <m \)

在這裡是，規定 \( n < m \) 時是將記號 \( C^n_m \) 當作 0, \( C^0_0 \) 當作 1

這樣在定理記號上的陳述會方便些。

如果要一個解釋的話，可以看作 \( (1+x)^0 = 1 + 0x (C^0_0x^0+C^0_1x^1) \)，也就是說這樣定法跟二項式係數有某種一致性

另外，"個人"覺得 Locas 定理在考教甄裡，算是不太重要的定理，不太用得到

最原先，這題中，我的作法也不是用 Locas 定理，只是覺得證得有點麻煩，懶得打字，所以才用 Lucas 定理一句話帶過

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-8-26 09:33 PM 編輯 ]

作者: leo790124 時間: 2014-8-26 16:11 標題: 回復 53# thepiano 的帖子

想請問一下老師
矩陣A的變換為什麼是乘在等號的右邊呢
不是應該是舊的*A=新的比較合理??

該如何解釋，好像是跟因為用法向量有關??

作者: thepiano 時間: 2014-8-26 20:32 標題: 回復 78# leo790124 的帖子

瓜農自足老師在 #66 有提到小弟這樣寫的原因

當然若從直線上的"點"來下手，矩陣 A 就會放左邊，不過有點繁雜就是了(請收私訊)

作者: kyrandia 時間: 2014-8-28 20:52

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-30 08:37 PM 發表

這樣算出來的答案是\(x>\frac{{{a}^{2}}+1}{2a}\)

而官方給的答案是\(x>\frac{{{a}^{2}}-1}{2a}\)

我解出來的怎麼是x<(a^2-1)/2a

我算出來的反函數是log[x+(x^2+1)^0.5]....以a為底

因此x+(x^2+1)^0.5>a 移項平方可得 x^2-2ax+a^2>x^2+1 (懷疑這裏有問題) 因此x<(a^2-1)/2a
請各位幫幫忙...感恩....

作者: kyrandia 時間: 2014-8-28 21:14 標題: 回復 80# kyrandia 的帖子

已了解，，，謝謝

作者: kyrandia 時間: 2014-8-29 11:58

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-30 02:18 PM 發表
第 9 題
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請教第九題，感恩

作者: kyrandia 時間: 2014-8-29 15:12

引用:

原帖由 kyrandia 於 2014-8-29 11:58 AM 發表

請教第九題，感恩

以了解...發現計算錯誤....謝謝大家.....

作者: 008 時間: 2015-4-30 18:28

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-17 09:46 PM 發表

已回覆私訊給您

我也想知道為什麼A是乘在那裡？？

作者: thepiano 時間: 2015-5-1 10:54 標題: 回復 84# 008 的帖子

請收私訊

作者: tuhunger 時間: 2015-5-14 23:52 標題: 回復 85# thepiano 的帖子

矩陣A我也乘錯邊了，煩請鞭策

作者: eyeready 時間: 2015-9-3 18:25 標題: 回復 85# thepiano 的帖子

我也想知道矩陣A為什麼乘在右邊，能麻煩thepiano私訊一下嗎？

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