標題: 一題利用托勒密定理的證明題 [打印本頁]

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作者: casanova    時間: 2014-5-17 12:03     標題: 一題利用托勒密定理的證明題

過平行四邊形ABCD的頂點A作一圓，分別交AB、AD及對角線AC或其延長線於E、F、G。
利用托勒密定理證明：AC‧AG = AB‧AE + AD‧AF

109.6.16補充
109建功高中國中部考這題，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html

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作者: hua0127    時間: 2014-5-17 13:10     標題: 回復 1# casanova 的帖子

抱歉懶得弄一個比較好看的圖

連接EF,FG,EG, 由圓內接四邊形AEGF中
由托勒密定理知 \(\overline{AE}\cdot \overline{FG}+\overline{AF}\cdot \overline{EG}=\overline{AG}\cdot \overline{EF}\)
另，由圓周角相等可推知 三角形EFG相似於三角形CAB
, 若令\(t=\frac{\overline{AB}}{\overline{FG}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EG}}=\frac{\overline{CA}}{\overline{EF}}\), 則
\(\overline{AC}\cdot \overline{AG}=\left( t\overline{EF} \right)\cdot \overline{AG}=t\left( \overline{AE}\cdot \overline{FG}+\overline{AF}\cdot \overline{EG} \right)=\left( t\overline{FG} \right)\cdot \overline{AE}+\left( t\overline{EG} \right)\cdot \overline{AF}=\overline{AB}\cdot \overline{AE}+\overline{AD}\cdot \overline{AF}\)

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作者: casanova    時間: 2014-5-17 19:54     標題: 回復 2# hua0127 的帖子

我能寫出托勒密定理的式子，也猜測到還要使用相似三角形。
可是我一直看不出來到底是哪兩個三角形相似，看了解答終於恍然大悟了。
雖然您沒有提供圖形，但我先前有畫出圖形，搭配您的解答，非常清楚。
謝謝！

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