標題: 103大同高中 [打印本頁]

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作者: 蕭夙吟    時間: 2014-4-30 08:12     標題: 103大同高中

題目供大家參考，有誤再請提醒更正，謝謝：）

1.空間中\( A(7,6,3)，B(5,-1,2) \)，直線 L：\( \displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-2} \)，P在L 上，求\( \overline{AP}+\overline{BP} \)最小值。
2.prove \( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \) is diverge.
3.\( x^{18}+5x^{11}+1=0 \)的18個根為\( x_i \)，求\( \displaystyle \prod_{i=1}^{18}(x_i^2+x_i+1) \)。
4.\( x^{2014}+(2x-1)^{2014}=0 \)，求\( \displaystyle \sum_{i=1}^{1007}\frac{1}{|\; x_i |\;^2} \)。
5.就a值討論，\( log_ax=a^x \)的解的個數。
6.n個人分組，每組至少1人，\( a_n \)為組合數，求\( a_n \)的遞迴關係式。
7.求\( \displaystyle \frac{a}{d}+\frac{b}{e}+\frac{c}{f} \)最小值和P點位置。



[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-6 03:22 PM 編輯 ]

附件: 103大同高中初試成績.pdf (2014-5-1 22:47, 123.86 KB) / 該附件被下載次數 10317
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2180&k=f19790bd9ba3b813628e5d093343a177&t=1714003773

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作者: Ellipse    時間: 2014-4-30 08:31

[quote]原帖由 蕭夙吟 於 2014-4-30 08:12 AM 發表
題目供大家參考，有誤再請提醒更正，謝謝：） [/quote
考古题一堆……

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作者: thepiano    時間: 2014-4-30 08:33

第 6 題
Stirling 數

第 7 題
P 是內心，97 台中二中考過

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-4-30 10:33 AM 編輯 ]

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作者: shingjay176    時間: 2014-4-30 08:37     標題: 回復 3# thepiano 的帖子

天下的考題都是一樣的，因為貼來貼去
，不然就是小改數字。考古題真的一定要做。

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作者: natureling    時間: 2014-4-30 08:57

1.空間中A(7,6,3)B(5,-1,2),直線 L:  (x-1)/2=y/1=(z-3)/-2  ，P在L 上求AP+BP最小值
3. f(x)=x^18+5x^11+1   (PS:我是記  +  @@)
但都是考古題喔?..天丫...好不熟悉..慘

引用:

原帖由 蕭夙吟 於 2014-4-30 08:12 AM 發表
題目供大家參考，有誤再請提醒更正，謝謝：）

[ 本帖最後由 natureling 於 2014-4-30 08:58 AM 編輯 ]

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作者: 艾瑞卡    時間: 2014-4-30 21:26

請問第5題

該如何討論a值呢?

謝謝~

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作者: tsusy    時間: 2014-4-30 21:56     標題: 回復 6# 艾瑞卡 的帖子

數學傳播第28卷第4期

基本上是在考場裡大家都寫不出來東西

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作者: natureling    時間: 2014-4-30 22:07

想問第4題=.="...感恩

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作者: thepiano    時間: 2014-4-30 22:16

第 4 題
(2x - 1)/x = 2 - 1/x 是 -1 的 2014 次方根
......
答案是 5035

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作者: Ellipse    時間: 2014-4-30 22:19

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-30 10:16 PM 發表
第 4 題
(2x - 1)/x = 2 - 1/x 是 -1 的 2014 次方根
......
答案是 5035

#4
等式後面抄錯了?

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作者: thepiano    時間: 2014-4-30 22:21

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-4-30 10:19 PM 發表

#4
等式後面抄錯了?

應是 x^2014 + (2x - 1)^2014 = 0

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作者: Ellipse    時間: 2014-4-30 22:23

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-30 10:21 PM 發表

應是 x^2014 + (2x - 1)^2014 = 0

這題好像在哪看過?
有人記得出處?

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作者: natureling    時間: 2014-4-30 22:40

..............想不到...可否再多點提示....^^"

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-30 10:16 PM 發表
第 4 題
(2x - 1)/x = 2 - 1/x 是 -1 的 2014 次方根
......
答案是 5035

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作者: 荷荷葩    時間: 2014-5-1 09:24

第4題已知 \(x^{2014}+(2x-1)^{2014}=0 \), 的根為 \( x,\overline{x_i},i=1..1007\)求
$$\sum_{i=1}^{1007}\frac{1}{|x_i|^2} $$之值
應是出自1994AIME 的第13題
https://www.artofproblemsolving. ... Problems/Problem_13
\(x^{10}+(13x-1)^{10} =0\)的10個複數根  \(\gamma_i,\overline{\gamma_i},  i=1..5 \)求
$$ \frac{1}{\gamma_1 \overline{\gamma_1 }}+\frac{1}{\gamma_2 \overline{\gamma_2 }}+\frac{1}{\gamma_3 \overline{\gamma_3 }}+\frac{1}{\gamma_4 \overline{\gamma_4 }}+\frac{1}{\gamma_5 \overline{\gamma_5 }}$$的值

[ 本帖最後由 荷荷葩 於 2014-5-1 09:40 AM 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2014-5-1 12:41

引用:

原帖由 荷荷葩 於 2014-5-1 09:24 AM 發表
第4題已知 \(x^{2014}+(2x-1)^{2014}=0 \), 的根為 \( x,\overline{x_i},i=1..1007\)求
$$\sum_{i=1}^{1007}\frac{1}{|x_i|^2} $$之值
應是出自1994AIME 的第13題
https://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.p ...

原來如此,感謝您~
難怪覺得很熟悉~

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作者: johncai    時間: 2014-5-1 16:01     標題: 回復 5# natureling 的帖子

1.空間中A(7,6,3)B(5,-1,2),直線 L: (x-1)/2=y/1=(z-3)/-2 ，P在L 上求AP+BP最小值
3. f(x)=x^18+5x^11+1

提供一下我算的，有錯請指正，謝謝
第1題：3根號10
第3題：19

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作者: yuhui    時間: 2014-5-1 17:24     標題: 回復 16# johncai 的帖子

16樓的J大,請問您的第三題怎麼算的呢??
可以分享一下嗎??謝謝!

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作者: johncai    時間: 2014-5-1 18:24

Let \( x^2+x+1=0 \)之兩根為\( \omega \),\( \omega^2 \)
\( \omega=cos120^o+isin120^o \)
∴\( x^2+x+1=(x-\omega)(x-\omega^2) \)
所求\( =(x_1-\omega)(x_2-\omega)\ldots (x_{18}-\omega)(x_1-\omega^2)(x_2-\omega^2)\ldots(x_{18}-\omega^2) \)
又\( x^{18}+5x^{11}+1=(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_{18}) \)
∴所求\( =(\omega-x_1)(\omega-x_2)\ldots(\omega-x_{18})(\omega^2-x_1)(\omega^2-x_2)\ldots(\omega^2-x_{18}) \)
\( =(\omega^{18}+5\omega^{11}+1)(\omega^{36}+5\omega^{22}+1) \)
\( =(1+5\omega^2+1)(1+5\omega+1) \)
\( =(2+5\omega^2)(2+5\omega) \)
\( =4+25\omega^3+10(\omega+\omega^2) \)
\( =4+25-10 \)
\( =19 \)

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作者: johncai    時間: 2014-5-1 21:31

請教一下第二題
是直接用積分測試法證明就好嗎？
因為感覺很簡短
還是有別的方法呢？
謝謝

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作者: tsusy    時間: 2014-5-1 21:47     標題: 回復 19# johncai 的帖子

計算2. 另證. 當 \( 2^{k} < n \leq 2^{k+1} \) 時 \( \frac{1}{n} \geq \frac{1}{2^{k+1}} \)

而級數 \( 1 + \frac12 + \frac14 + \frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac18 + \frac18 + \ldots\)

計算其前 \( 2^k \) 項之和為 \( 1 + \frac k2 \)，故此級數發散

由比較審斂知，\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1n \) 亦發散

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作者: shingjay176    時間: 2014-9-19 08:49     標題: 回復 1# 蕭夙吟 的帖子

第四題

第六題 n個人沒有說分幾組勒。如何下筆？

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-9-19 11:38 AM 編輯 ]

圖片附件: DSC_0078_20140919084050023_20140919084821081_20140919084854603.jpg (2014-9-19 08:49, 196.49 KB) / 該附件被下載次數 4805
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2545&k=6bcb5eb42be294be4eb11458244007ac&t=1714003773

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作者: jkliopnm    時間: 2015-5-4 20:32     標題: 第三題解法

經確認後，第3題的答案應該是39
解法如下:

圖片附件: 11221083_10204153241736449_2008690849_o.jpg (2015-5-4 20:32, 64.3 KB) / 該附件被下載次數 4560
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2822&k=091fd4593bf7be3870d3046455699861&t=1714003773



圖片附件: [另外附上瑋岳老師的解法~] 11225579_10153286885878188_648091856_n.jpg (2015-5-4 20:32, 50.93 KB) / 該附件被下載次數 4457
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2823&k=705fea602bc897744364c0ab9b4aa92a&t=1714003773

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