標題: 一題高中數學競賽題(遞迴) [打印本頁]

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作者: woiy    時間: 2014-4-28 10:52     標題: 一題高中數學競賽題(遞迴)

已知a_n+2 = 6a_n+1 - 6a_n，a_0 = 3，a_1 = 4，求a_2004的標準分解式中2與3的指數。
答案：1002;1003
遞迴單元的題目，會解出a_n的通式，但不知怎麼找標準分解式的指數。
希望高手能指點一下，感激不盡。

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作者: tsusy    時間: 2014-4-29 19:18     標題: 回復 1# woiy 的帖子

先處理 2 的指數部分
令 \( p_{n}=\max\{k\in\mathbb{N}_{0}\mid2^{k} 整除 a_{n}\} \)，所求 \( p_{2004} \)，我們需要 \( p_n \) 的遞迴關係

性質1. \( p_{n+2}\geq\min\{p_{n},p_{n+1}\}+1 \)

性質 2. 若 \( p_{n}\neq p_{n+1} \)，則 \( p_{n+2}=\min\{p_{n},p_{n+1}\}+1 \)

以上兩個性質應不難證明。

以 \( k^{+} \) 表示大於或等於 \( k \) 的整數，由性質\( 1, 2 \) 及 \( p_{0}=0  \), \( p_{1}=2 \) 可得

\( \left\langle p_{n}\right\rangle _{n=0}^{\infty}=0,2,1,2,2,3^{+},3,4^{+},4,\ldots \) 歸納得 \( p_{2n}=n \)，

故 \( a_{2004} \) 的標準分解式中，2 的指數為 1002。

3 的指數部分，上面的遞迴也是可以用，但是會碰 \( 1002^+ \)，所以需進一步把 \( a_n \) 改寫 \( a_n = 3^{q_n} \times b_n \)，其中 \( q_n = [\frac{n}{2}]\)

接下要對 \( b_n \) 分析，考慮其除以 3 餘數的遞迴關係，找出遞迴關係後，應會推出 \( 3 \mid b_{2004} \)

如果可繼續往上推出 \( b_n \) 除以 9 的餘數關係，且發現  9 不整除 \( b_{2004} \) 的話，便可確認， 3  的指數為 \( 1002 +1 = 1003 \)

想是這樣想啦，但是遞迴起來就 ...

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-3 01:26 AM 編輯 ]

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