標題: a+b+c+x+y+z=1 [打印本頁]

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作者: qaz    時間: 2014-4-24 20:12     標題: a+b+c+x+y+z=1

a、b、c、x、y、z皆為正實數，
a+b+c+x+y+z=1，
abc+xyz =1/36
求abz+bcx+cay的最大值？

請各位幫忙

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作者: thepiano    時間: 2014-4-24 21:02

a、b、c、x、y、z 應是非負實數

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作者: shingjay176    時間: 2014-4-24 21:09     標題: 回復 1# qaz 的帖子

\(a,b,c,x,y,z\)為正數或\(0\),已知\(a+b+c+x+y+z=1\),且
\(abc+xyz=1/36\),求\(abz+bcx+cay\)的最大值=?(2012世界青年數學團體錦標賽的題目)

連結已失效h ttp://blog.sina.com.cn/s/blog_af73fd9001014n62.html

這個大陸部落格網站，有很多不等式的證明研究
~~~\(a,b,c,x,y,z\)為正數或\(0\)~~這就是很明顯從算幾不等式去思考的一個關鍵

\(\begin{array}{l}
\frac{{(a + x) + (b + y) + (c + z)}}{3} \ge \sqrt[3]{{(a + x)(b + y)(c + z)}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{27}} \ge (a + x)(b + y)(c + z)\\
\Rightarrow \frac{1}{{27}} \ge \left( {ab + ay + bx + xy} \right)(c + z)\\
\Rightarrow \frac{1}{{27}} \ge \left( {abc + abz + ayc + ayz + bxc + bxz + xyc + xyz} \right)\\
\Rightarrow \frac{1}{{27}} \ge \left\{ {\left( {abc + xyz} \right) + (abz + bcx + cay) + (ayz + bxz + xyc)} \right\}
\end{array}\)

\({(ayz + bxz + xyc)}\) 值越小,則 \({(abz + bcx + cay)}\)就會值越大。

\((ayz + bxz + xyc) \ge 0\)   當等於0的時候，\((abz + bcx + cay) \le \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{36}} = \frac{1}{{108}}\)


剛剛貼的兩張圖檔，是大陸部落格裏面證明的方法。
上面這個方法，我會比較好記住，方便下筆。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-24 10:11 PM 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2014-4-24 21:23

最大值為1/108
此時
a=1/4 ,b=1/3 ,c=1/3
x=1/12, y=0 ,z=0
(若設a<=b<=c ,z<=y<=x)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-24 09:28 PM 編輯 ]

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作者: qaz    時間: 2014-4-25 18:25

謝謝解答

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