Math Pro 數學補給站

標題: 103家齊女中 [打印本頁]

作者: johncai 時間: 2014-4-20 19:34 標題: 103家齊女中

附上官方公佈試題

就記憶中的題目寫一下。這次全部計算題。不過看前兩年。應該會公佈題目吧
基本上我覺得根本完全寫不完阿@@
有些題目根本連看都沒時間看

第一題：x^512+x^256+1=(x^2+x+1)P(x)
求P(x)中有幾項係數不為零

第二題：某個三次方程式（係數有給）的三個根為α,β,γ。求α^4+β^4+γ^4
相關問題及解答請見https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

第三題：某絕對值方程式圍成區域周長

第四題：以AB為直徑之半圓，圓心O，延長AB後在其上取一定點C
動點D為半圓上之點，以CD為正三角形之一邊往上畫一個正三角形CDE
求D點跑到哪時，會讓OE 最長還是最短（忘了）
題目出處，93筆試二，臺灣師大大學部申請入學，h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14　連結已失效

第一面後面題目沒時間看@

第二面其中一題證明映射矩陣，
其中一題證明(1+1/n)^n收斂，
其中一題三階矩陣對角化
第二面後面也還有兩題沒時間想@

附件: 103家齊女中(官方版).pdf (2014-4-22 18:17, 129.02 KB) / 該附件被下載次數 22592
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2131&k=6a2c971ac073777faf52aa44800bd6b4&t=1732267215

作者: thepiano 時間: 2014-4-20 20:46

第 1 題
341

作者: thepiano 時間: 2014-4-20 21:29

第 7 題
正n邊形內部一點......
2010法國高等學院預備班考題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1229

作者: wen0623 時間: 2014-4-20 21:31 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

補充一:p(x)=(a_{510}*x^{510}+a_{509}*x^{509}+a_{508}*x^{508}+...+a_1*x+a_0)
利用比較係數得：a_{510}＝ｌ，a_{256}＋a_{255}+a_{254}＝１，a_0＝1。
a_{510}，a_{509} ,a_{508}... a_{258}，a_{257} ,a_{256}
1,—ｌ，０；１，—１，０；…；１，—１，０共８５組a_{255}，a_{254} ,a_{253}... a_3，a_2,a_1
1，0，—１；１，０，—１；…；１，０，—1共８５組
a_0＝1
因此８５＊２＊２＋ｌ＝３４１個

補上—題：正三角形ＡＢＣ邊長為ａ；Ｐ，Ｑ分别為線段ＡＢ及線段ＡＣ上的點，且ＰＱ平分周長，求線段ＰＱ最小值？（謝謝大家幫忙修正，題目果然沒記完全～）

[ 本帖最後由 wen0623 於 2014-4-20 11:17 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-4-20 21:52

引用:

原帖由 wen0623 於 2014-4-20 09:31 PM 發表
正三角形ＡＢＣ邊長為ａ；Ｐ，Ｑ分别為線段ＡＢ及線段ＡＣ上的點，且ＰＱ平分周長，求線段ＰＱ？

PQ 不是定值

作者: johncai 時間: 2014-4-20 21:54 標題: 回復 4# shiauy 的帖子

映射矩陣這題。我記得題目沒有說直線過原點
只說有向角為θ/2。因為我一直在找這個條件
可是找不到。題目如果沒有說過原點。是不是有問題
雖然我最後也還是以過原點的直線去證明

作者: nicolesukg 時間: 2014-4-20 22:24

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-20 09:52 PM 發表

PQ 不是定值

嗯，這題題目問的是PQ的最小值為何...

作者: Pacers31 時間: 2014-4-20 22:39 標題: 回復 5# wen0623 的帖子

設 \(\overline{AP}=x\), \(\overline{AQ}=y\)

依題意即在 \(\displaystyle x+y=\frac{3a}{2}\) 限制下，求 \(\overline{PQ}=\sqrt{x^2+y^2-xy}\) 之最小值

由算幾不等式 \(\displaystyle \frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}\) 可得 \(\displaystyle xy\leq \frac{9a^2}{16}\)

故 \(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2-xy}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}-3xy}\geq \sqrt{\frac{9a^2}{16}}=\frac{3a}{4}\)

等號成立時機：\(\displaystyle x=y=\frac{3a}{4}\)

得 \(\displaystyle \min \overline{PQ}=\frac{3a}{4}\)

作者: jeanvictor 時間: 2014-4-21 19:44 標題: 回復 11# broken 的帖子

題目應該是沒錯的

作者: iamcfg 時間: 2014-4-21 20:16

朋友打的題目有的數字忘記了參考一下

附件: 103年家齊女中教師甄試試題.pdf (2014-4-21 20:16, 178.47 KB) / 該附件被下載次數 7127
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2118&k=1a32b6c37c843ccc285c90921e03b8ed&t=1732267215

作者: johncai 時間: 2014-4-21 20:36

請教第四題。
謝謝。

作者: tsusy 時間: 2014-4-21 20:52 標題: 回復 11# broken 的帖子

分層討論
1. 當 \( x,y \geq 0 \) 時，\( ||x-2| - 1| + ||y-2|-1| =1 \)。將之對 x, y 做對稱可得原圖形

2. 在 1. 條件下且 \( x,y \geq 2 \)，則 \( |x-3| + |y-3| =1 \)。將之對 \( x=2, y=2 \) 做對稱，且截去2,3,4 象限(若有)，可得 1 之圖形

\( |x-3| + |y-3| = 1 \) 之圖形在 \( x,y\geq 2 \) 的範圍中為一周長為 \( 4\sqrt{2} \) 之正方形。

回推 1. 原圖在 \( x,y \geq 0 \) 4個正方形，

再回推，知原圖為 16 個正方形，這此邊的總長度為 \( 4^3 \sqrt{2} =64\sqrt{2} \)

作者: tacokao 時間: 2014-4-21 20:57

知道自己錯在哪了~感謝~

[ 本帖最後由 tacokao 於 2014-4-21 09:32 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-4-21 21:05

引用:

原帖由 broken 於 2014-4-21 07:01 PM 發表
家齊到現在還沒有公布題目
關於絕對值方程式求周長的那題
沒記錯的話應該是\(\left | \left | \left | x \right |-2\right |-1\right |+\left | \left | \left | y \right |-2\right |-1\right |=1\)吧

可當下覺得 ...

應該是這樣~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-21 09:13 PM 編輯 ]

圖片附件: 絕對值周長.png (2014-4-21 21:05, 94.25 KB) / 該附件被下載次數 5723
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2119&k=ddf05e6aaf9f582e69d1fe3741850a25&t=1732267215

圖片附件: 絕對值周長2.png (2014-4-21 21:13, 64.12 KB) / 該附件被下載次數 5623
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2120&k=ee6aba3816b6385c9328e065bd7c0367&t=1732267215

作者: johncai 時間: 2014-4-21 21:07 標題: 回復 15# tacokao 的帖子

第六題請參考上頁pacers31兄第9篇的回覆

[ 本帖最後由 johncai 於 2014-4-21 09:33 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-4-21 21:18 標題: 回復 13# johncai 的帖子

第四題答案

不失一般性，把半圓圓心設在原點。半徑為 r，A點固定放在 A(a,0) \(r \ge 0,a > 0\)
\(B(r\cos \theta ,r\sin \theta ),{0^0} \le \theta  \le {180^0}\) ，移動B點，可以觀察出 \(\overline {OC} \)發生最大值的地方，
會在第一象限\({C_1}\)的時候，令\({C_1} = C\)。設\(C(x,y)\)

\[\begin{array}{l}
\left( {x - a} \right) + yi = \left\{ {\left( {r\cos \theta  - a} \right) + ir\sin \theta } \right\}\left\{ {\cos \left( { - {{60}^0}} \right) + i\sin \left( { - {{60}^0}} \right)} \right\}\\
.................. = \left\{ {\frac{1}{2}r\cos \theta  - \frac{1}{2}a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\sin \theta } \right\} + i\left\{ {\frac{1}{2}r\sin \theta  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\cos \theta  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right\}
\end{array}\]

\[x - a = \left\{ {\frac{1}{2}r\cos \theta  - \frac{1}{2}a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\sin \theta } \right\} \Rightarrow x = \left\{ {\frac{1}{2}r\cos \theta  + \frac{1}{2}a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\sin \theta } \right\}\]
\[y = \left\{ {\frac{1}{2}r\sin \theta  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\cos \theta  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right\}\]

\[\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = {r^2} + {a^2} + ar\left\{ {\sqrt 3 \sin \theta  - \cos \theta } \right\}\\
............ = {r^2} + {a^2} + ar\left( 2 \right)\left\{ {\sin \theta \cos {{30}^0} - \cos \theta \sin {{30}^0}} \right\}\\
............ = {r^2} + {a^2} + ar\left( 2 \right)\sin \left( {\theta  - {{30}^0}} \right)
\end{array}\]

當\[\theta  - {30^0} = {90^0}\] 時，會產生最大值。  所以可以得到此時 \[\theta  = {120^0}\]

動態檔案如下

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 11:52 PM 編輯 ]

圖片附件: 1.gif (2014-4-21 23:52, 345.45 KB) / 該附件被下載次數 6312
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2129&k=66bb790328c368affa7a33cf8894e13d&t=1732267215

作者: justhgink 時間: 2014-4-21 21:43 標題: 回復 12# iamcfg 的帖子

第5題，原敘述為與X軸正向夾銳夾角(?)

作者: Ellipse 時間: 2014-4-21 22:02

動態檔如下
(檔案放不進去,明天到校再放)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-21 10:57 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-4-21 23:53 標題: 回復 20# Ellipse 的帖子

我圖檔已經放上去了。有容量限制。要2MB以下才可以上傳

作者: cfyvzuxiz 時間: 2014-4-22 08:17 標題: 回復 3# shiauy 的帖子

請問一下，關於直線這一題，題目所求是有多少種情形的直線，
就斜率而言m可能的情形有11種，而針對每一種m而言，c的選擇都有9種，
舉例:m=1/2，當a=1，b=-2，c可能為2、3、4、0、-1、-3、-4
當a=-1，b=2，c可能為1、3、4、0、-2、-3、-4
故對於任何一種斜率的情形，c的選擇皆有9種，故所求為9*11=99
請問我的想法哪裡錯了!!感恩!!

作者: thepiano 時間: 2014-4-22 08:39

引用:

原帖由 shiauy 於 2014-4-20 08:59 PM 發表
直線ax+by+c=0與x軸正向交銳角，且a,b,c為取自{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中不同的元素，這樣的直線共有幾條？
ANS：107

解：斜率-a/b>0，不妨令a<0,b>0
當c=0，斜率可能為(1/1)(2/1)(3/1)(4/1)(1/2)(3/2)(1/3)(2/3)(4/3)(1/4)(3/4)共11條直線
當c≠0，共可選4*4*(9-1-2)=96種
故得直線共107條

小弟覺得應是一心老師在 96 種這裡，重複算了 8 種
例如：a = -4，b = 2，c = 4 和 a = -2，b = 1，c = 2 是同一種

作者: ichiban 時間: 2014-4-22 08:50 標題: 回復 22# cfyvzuxiz 的帖子

小弟我也寫99，
問直線幾條，和問方程式幾種，這不同吧，
2x+4y=0，x+2y=0，這是一條直線，兩種方程式，
基於這想法，我是採討論，
七種的有(a,b)=(1,-1)，(1,-2)，(1,-3)，(1,-4)，(2,-1)，(2,-3)，
(3,-1)，(3,-2)，(3,-4)，(4,-1)，(4,-3)
四種的有(a,b)=(2,-2)，(2,-4)，(4,-2)，(4,-4)
六種的有(a,b)=(3,-3)
所以問直線，我認為是7*11+4*4+6*1=99種
若問幾種方程式，4*4*2*7=224種

作者: Ellipse 時間: 2014-4-22 12:20

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-4-21 11:53 PM 發表
我圖檔已經放上去了。有容量限制。要2MB以下才可以上傳

這題有速解法,畫一下圖答案就出來
今天課比較多,晚上再PO出來

作者: johncai 時間: 2014-4-22 17:03

剛打電話去問
最低錄取分數才44@
比想像中低很多
問她會不會公布級距分數
她說不會
我又問往年不是都有公布
她說往年都沒有公佈阿
剛剛查。之前明明就有公布阿@@

作者: 小蝦米 時間: 2014-4-22 19:33

請教11這樣寫完整嗎?

圖片附件: 103家齊_11.png (2014-4-22 19:33, 14.75 KB) / 該附件被下載次數 6219
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2132&k=7a25d4fa4b354b691a31cb798135d593&t=1732267215

作者: shingjay176 時間: 2014-4-22 20:07 標題: 回復 27# 小蝦米的帖子

h ttp://web.chsh.chc.edu.tw/bee/100/1000731.pdf　連結已失效

這個PDF檔案寫得很詳細

作者: 小蝦米 時間: 2014-4-22 20:29 標題: 回復 28# shingjay176 的帖子

真的很清楚~謝謝

作者: shingjay176 時間: 2014-4-22 20:47 標題: 回復 29# 小蝦米的帖子

基本上看去，你的證明沒有問題。這個部分，我上課的經驗，課本都是沒有提到，我上課也是匆匆帶過，
教師甄選就是喜歡考這樣的證明。看那網頁上的證明，大學時候修統計課程的上課記憶，證明過程又回想起來了。我也要來趕緊推導證明一次。加深記憶。

我現在在做一個證明，也是教師甄選的考古題。
證明 \[0.3<{{\log }_{10}}2<0.4\]
一般上課時候，我都會直接不交代這部分，只是教導學生查表，或是如課本說的用計算機算出近似值。
近似值的部分，就直接要學生記憶下來
今天研究了好幾堂空堂，把證明的部分完整寫完了。

作者: Ellipse 時間: 2014-4-22 20:51

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-4-22 12:20 PM 發表

這題有速解法,畫一下圖答案就出來
今天課比較多,晚上再PO出來

如下圖:
假設B點開始在B1,結束在B2 ; C點開始在C1,結束在C2
由圖可知C點軌跡為一個半圓,假設此半圓的圓心為K
易知當OC通過K點(圓心)時,OC長度最長,此時C在C'上
過K點作x軸平行線i,假設T在i上
可知角TKA=角B1AC1=60度(內錯角相等)-------------(1)
又K為C1C2中點,O為B1B2中點
所以C1B1平行KO平行C2B2
因此角C'KT=角C1B1A=60度(同位角相等)------------(2)
由(1)&(2)知角C1KC'=120度
此時C已繞120度,同時B也繞120度

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-22 08:56 PM 編輯 ]

圖片附件: 長度最大時角度多少.png (2014-4-22 20:51, 118.46 KB) / 該附件被下載次數 5449
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2133&k=a77d158a213ca7d6abe5cdb1281b99d7&t=1732267215

作者: shingjay176 時間: 2014-4-22 20:57 標題: 回復 31# Ellipse 的帖子

我正要發問，關鍵觀念。
就在B點繞半圓，此時C點軌跡也是半圓移動(這是第一個要看出來的)。
第二個要發現的就是，OC最長時候，就是圓外一點到圓上動點最大值發生在通過圓心時候

這個方法真的很快，需要把圖形完整架構關係畫出來，還有做很多輔助線。這些動作都做完之後，答案就很快出來˙了。
(這要對幾何學圖形很敏銳的能力)

我的方法就是單純從圖形分析，剩下就是代數運算了。圖形花的力氣少，代數的運算部分就比較繁雜了

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-22 09:04 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-4-22 21:21

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-4-22 08:57 PM 發表
我正要發問，關鍵觀念。
就在B點繞半圓，此時C點軌跡也是半圓移動(這是第一個要看出來的)。
第二個要發現的就是，OC最長時候，就是圓外一點到圓上動點最大值發生在通過圓心時候

這個方法真的很快，需要把圖形完整架構關係畫出 ...

這有公式,可以將三角形推廣到正多邊形
如果將三角形ABC改成正n邊形ABC_1C_2......C_(n-2) (點按照順時針方向編)
A及B點的角色功能沒變,若求OC1的最大值時,此時B點繞了幾度?(可以寫成n的函數)
我就先賣個關子~先讓您們想想看~~

作者: thepiano 時間: 2014-4-22 22:08

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-4-22 09:21 PM 發表
如果將三角形ABC改成正n邊形ABC_1C_2......C_(n-2) (點按照順時針方向編)
A及B點的角色功能沒變,若求OC1的最大值時,此時B點繞了幾度?(可以寫成n的函數)

應是求 OC_(n-2) 有最大值時，此時 B 點繞了幾度吧？

正 n 邊形的一內角是 180(n - 2)/n
所求 = [180 - 180(n - 2)/n]/2 + 180(n - 2)/n = 180(n - 1)/n

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-4-22 10:09 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-22 22:17 標題: 回復 34# thepiano 的帖子

繼續推廣，改成 \( \triangle ABC\sim\triangle DEF \)，其中 \( \triangle DEF \) 為一固定的三角形。

則當 \( \overline{OC} \) 有最大值時，B 恰好轉了 \( \angle D+\angle E \) 的角度。

由這個推廣，可以知正 n 邊形時 \( \overline{OC_{i}} \) (Ellipse 兄的原符號) 都有一樣的答案

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-22 11:26 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-4-23 20:26

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-22 10:08 PM 發表

應是求 OC_(n-2) 有最大值時，此時 B 點繞了幾度吧？

正 n 邊形的一內角是 180(n - 2)/n
所求 = [180 - 180(n - 2)/n]/2 + 180(n - 2)/n = 180(n - 1)/n

都可以啦~
若各自求OC_1 ,OC_2 ,................OC_(n-2)之最大值時
B點皆繞180度*(n-1)/n

作者: smartdan 時間: 2014-4-23 22:55

不好意思想請問各位先進第九題，謝謝！

作者: shingjay176 時間: 2014-4-23 23:16 標題: 回復 37# smartdan 的帖子

(1)
特徵多項式
取行列式展開\[f(t) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - t}&2&1\\
1&{3 - t}&1\\
1&2&{2 - t}
\end{array}} \right| = - {t^3} + 7{t^2} - 11t + 5\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-23 11:19 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-23 23:22 標題: 回復 37# smartdan 的帖子

9.
(1)\( A-tI=\begin{bmatrix}2-t & 2 & 1\\
1 & 3-t & 1\\
1 & 2 & 2-t
\end{bmatrix} \), \( p(t)=\begin{vmatrix}2-t & 2 & 1\\
1 & 3-t & 1\\
1 & 2 & 2-t
\end{vmatrix}=-t^{3}+7t^{2}-11t+5 \)

\( p(t) = -(t^{3}-7t^{2}+11t-5)=-(t-1)^{2}(t-5) \)

(2) \( A-I=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}\Rightarrow E_1=span\{\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\end{bmatrix}\} \)

最小多項式 \( p(t)=(t-1)(t-5)=t^{2}-6t+5 \)

(3) \( f(x) \) 除以 \( p(x) \)，得餘式 \( 13x-2 \)

\( f(A)=r(A)=15A-2I=\begin{bmatrix}28 & 30 & 15\\
15 & 43 & 15\\
15 & 30 & 28
\end{bmatrix} \)

(4) \( \lambda=5
, v=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\end{bmatrix}
, P=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\
1 & 0 & -1\\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix} \)。

註：題意要求的是 \( PAP^{-1} \)，故特徵向量是選左特徵向量

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-24 12:44 PM 編輯 ]

作者: smartdan 時間: 2014-4-24 11:00 標題: 回復 38# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師！也謝謝興傑老師！

作者: idontnow90 時間: 2014-4-24 22:38

想請教
1.cfyvzuxiz老師的22#...為什麼說針對每種斜率而言..c的選擇都有9種?不是用過的數字不能再用??
2.鋼琴老師的34#...若是以n=3我可以理解"所求"的那行算式...但是n要推到更大的數字..我就不懂"所求"的那行算式是怎麼看的了..我畫了n=4,及6..看不出來@@
3.寸斯老師35#的延伸部分.想請教DEF在哪裡??
抱歉..資質駑鈍...看不出來..還請賜教..謝謝~~

[ 本帖最後由 idontnow90 於 2014-4-24 10:40 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-24 22:53 標題: 回復 40# idontnow90 的帖子

3. \( \triangle DEF \) 是一個任意的固定三角形，沒有其它限制條件

作者: thepiano 時間: 2014-4-25 11:10

引用:

原帖由 idontnow90 於 2014-4-24 10:38 PM 發表
我畫了n=4,及6..看不出來

小弟用私訊回覆

作者: cfyvzuxiz 時間: 2014-4-25 11:12 標題: 回復 40# idontnow90 的帖子

如同所舉例:m=1/2，當a=1，b=-2，c可能為2、3、4、0、-1、-3、-4
當a=-1，b=2，c可能為1、3、4、0、-2、-3、-4
將以上兩種情形合併，發現當m=1/2時，直線可能的情形為 9種!

作者: idontnow90 時間: 2014-4-27 10:09 標題: 回復 43# cfyvzuxiz 的帖子

這樣我懂了你的算法...謝謝..只是我還有點不懂....還請賜教~~
我自己是這樣考慮的..因為數字給得是正負對稱的.所以不失一般性我考慮a>0的狀況即可
當a=1，b=-2，c可能為2、3、4、0、-1、-3、-4
當a=2，b=-4，c可能為4、3、1、0、-1、-2、-3(其中c=4、0、-2的與第一種case重複)
是不是用這個角度來思考就沒辦法發現當m=1/2時，直線可能的情形為 9種!

作者: 阿光 時間: 2014-5-9 22:17

想請教12題謝謝

作者: hua0127 時間: 2014-5-10 00:07 標題: 回復 45# 阿光的帖子

12題即為線代有名的 Cayley-Hamilton theorem

比較常見(簡潔?)的證明流程如下：
(1) 先證明當A為可對角化的情況 (special case) 是成立的
(2) 若A為任意矩陣(不一定可以對角化)，利用一個性質(須證明)
"對任意的複係數方陣，皆可找到一個可對角化的矩陣數列使得該數列的極限矩陣為A"
然後再利用special case 跟多項式的連續得到我們想要的結果

事實上可以用google 大神找到很多的證明，這裡就不賣弄跟贅述了，給你參考。

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0