標題: 請教兩題高中題目 [打印本頁]

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作者: thankyou    時間: 2014-3-31 11:59     標題: 請教兩題高中題目

請教兩題高中題目,謝謝!!

1.設無窮數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)及\( \langle\; b_n \rangle\; \)滿足\( a_1=1 \)、\( b_1=2 \)且\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_{n+1} \cr b_{n+1}} \Bigg]\;= \Bigg[\; \matrix{1 & -2 \cr -1 & 0} \Bigg]\; \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\; \)( \( n=1,2,3,\ldots \) )若\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=\alpha \)存在且\( \alpha<1 \)，則\( \alpha= \)？

2.在座標平面上設Γ為所有滿足\( \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}+\sqrt{(x+4)^2+(y+8)^2}=16 \)的點\( (x,y) \)所成的圖形。若圓心為\( (a,b) \)，半徑1的圓與Γ相切，求\( a^2+b^2 \)的最大值？

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作者: weiye    時間: 2014-3-31 20:07     標題: 回復 1# thankyou 的帖子

第 1 題：

\(a_n=a_{n-1}-2b_{n-1}\) 且 \(b_n=-a_{n-1}\) 其中 \(n\geq2\)

\(\Rightarrow b_n=b_{n-1}+2b_{n-2}\) 其中 \(n\geq3\)

（正常接下來應該要～

　解特徵方程式 \(x^2=x+2\) 可得 \(x=-1\) 或 \(x=2\)

　令 \(\displaystyle b_n=\alpha\cdot\left(-1\right)^n+\beta\cdot2^n\)

　不過以下稍微偷懶一下～）

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{b_n}{b_{n-1}}=1+2\cdot\frac{b_{n-2}}{b_{n-1}}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{-a_{n-1}}{b_{n-1}}=1+2\cdot\frac{b_{n-2}}{-a_{n-2}}\)

\(\displaystyle\Rightarrow -\frac{1}{\alpha}=1-2\alpha\)

\(\displaystyle\Rightarrow \alpha=-\frac{1}{2}\) 或 \(\alpha=1\) （不合）

故，\(\displaystyle\alpha=-\frac{1}{2}\)

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作者: weiye    時間: 2014-3-31 20:17     標題: 回復 1# thankyou 的帖子

橢圓長軸半長為 \(\displaystyle=\frac{16}{2}=8\)

兩焦點 \((2,4)\) 與 \((-4,-8)\)

長軸方程式 \(y=2x\)　（注意長軸通過原點）

橢圓的中心點 \(=\displaystyle\frac{(2,4)+(-4,-8)}{2}=(-1,-2)\)

所求＝\(\left(\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}+8+1\right)^2=86+18\sqrt{5}\)

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作者: arend    時間: 2014-3-31 20:54

引用:

原帖由 weiye 於 2014-3-31 08:17 PM 發表
橢圓長軸半長為 \(\sqrt{16}=4\)

兩焦點 \((2,4)\) 與 \((4,8)\)

長軸方程式 \(y=2x\)　（注意長軸通過原點）

橢圓的中心點 \(=\displaystyle\frac{(2,4)+(4,8)}{2}=(3,6)\)

所求＝\(\left(1+\sqrt{3^2+6^2}+4\right)^2\) ...

偉岳老師
這題的另一焦點應為(-4,-8)
另外,為何求"半個a"?
不好意思,打擾了

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作者: weiye    時間: 2014-3-31 21:02     標題: 回復 4# arend 的帖子

頭昏昏腦鈍鈍，小錯一大堆，感謝提醒，已修正。

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作者: kittyyaya    時間: 2014-3-31 23:18

引用:

原帖由 weiye 於 2014-3-31 08:17 PM 發表
橢圓長軸半長為 \(\displaystyle=\frac{16}{2}=8\)

兩焦點 \((2,4)\) 與 \((-4,-8)\)

長軸方程式 \(y=2x\)　（注意長軸通過原點）

橢圓的中心點 \(=\displaystyle\frac{(2,4)+(-4,-8)}{2}=(-1,-2)\)

所求＝ ...

請問瑋岳老師
所求是否是 (8+1-((-1)^2+(-2)^2)^0.5)^2

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作者: weiye    時間: 2014-3-31 23:23     標題: 回復 6# kittyyaya 的帖子

題目是要問最大值不是嗎？圓心 \((a,b)\) 距離原點越遠越好。

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作者: kittyyaya    時間: 2014-4-1 07:10

引用:

原帖由 weiye 於 2014-3-31 11:23 PM 發表
題目是要問最大值不是嗎？圓心 \((a,b)\) 距離原點越遠越好。

我畫圖得知 圓與橢圓外切於長軸頂點 距離最長
長軸頂點到中心點距離 為a
a-(中心點到原點距離)等於(長軸頂點到原點距離)
再加上圓半徑為1
請老師指點我的想法那裏錯誤
謝謝

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作者: weiye    時間: 2014-4-1 07:31     標題: 回復 8# kittyyaya 的帖子

長軸有兩個頂點呀，在第三象限那個長軸頂點距離原點會更遠。

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