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請教3題函數與極限
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作者:
thankyou
時間:
2014-3-18 15:57
標題:
請教3題函數與極限
請教3題函數與極限,謝謝!!
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1.設\( \displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} |\;x-k|\;+3x+2 \)，則y的最小值?此時x之值?
2.\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x+b}{(x-1)^2}= \)定值,求a,b?
3.設\( a,b,x \in R \),若\( \displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^{2n-1}+ax+b}{x^{2n}+1} \)為連續函數,則求a,b?
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本帖最後由 bugmens 於 2014-3-18 04:15 PM 編輯
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作者:
weiye
時間:
2014-3-18 19:33
標題:
回復 1# thankyou 的帖子
第1題：
當 \(x<9\) 時，\(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2\) 的各折線段斜率皆為負，
當 \(x>9\) 時，\(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2\) 的各折線段斜率皆為正，
且因為 \(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2\) 的圖形為連續的折線段，
所以當 \(x=9\) 時，圖形有最低點，即 \(x=9\) 時，\(y\) 有最小值為 \(131\) 。
第 2 題：
因為 \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2x^2+a}-x+b}{\left(x-1\right)^2}\) 為定值，
所以 \(\displaystyle \lim_{x\to1}\left(\sqrt{2x^2+a}-x+b\right)=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2+a}-1+b=0\Rightarrow a=b^2-2b-1\)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2x^2+a}-x+b}{\left(x-1\right)^2}=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2x^2+b^2-2b-1}-x+b}{\left(x-1\right)^2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{2x^2+b^2-2b-1-\left(x-b\right)^2}{\left(x-1\right)^2\left(\sqrt{2x^2+b^2-2b-1}+x-b\right)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{x^2-1+2b\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(\sqrt{2x^2-b-1}+x-b\right)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{\left(x+1+2b\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(\sqrt{2x^2-b-1}+x-b\right)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{x+1+2b}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{2x^2-b-1}+x-b\right)}\)
因為上式為定值，所以 \(\displaystyle \lim_{x\to1}\left(x+1+2b\right)=0\)
\(\Rightarrow 1+1+2b=0\Rightarrow b=-1, a=b^2-2b-1=2\)
第 3 題：
當 \(-1<x<1\) 時，\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n-1}+ax+b}{x^{2n}+1}=ax+b\)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to1^{-}}f(x)=a+b\) 且 \(\displaystyle \lim_{x\to-1^{+}}f(x)=-a+b\)
當 \(x>1\) 或 \(x<-1\) 時，\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n-1}+ax+b}{x^{2n}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle x^{-1}+\frac{a}{x^{2n-1}}+\frac{b}{x^{2n}}}{\displaystyle 1+\frac{1}{x^{2n}}}=\frac{1}{x}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to1^{+}}f(x)=1\) 且 \(\displaystyle \lim_{x\to-1^{-}}f(x)=-1\)
當 \(x=1\) 時，\(\displaystyle f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2n-1}+a+b}{1^{2n}+1}=\frac{1+a+b}{2}\)
當 \(x=-1\) 時，\(\displaystyle f(-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(-1\right)^{2n-1}-a+b}{\left(-1\right)^{2n}+1}=\frac{-1-a+b}{2}\)
因為 \(f(x)\) 為連續函數，
所以 \(\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}f(x)=f(1)\) 且 \(\displaystyle \lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=f(-1)\)
\(\displaystyle \Rightarrow 1=a+b=\frac{1+a+b}{2}\) 且 \(\displaystyle -a+b=-1=\frac{-1-a+b}{2}\)
可解得 \(a=1, b=0\)
作者:
weiye
時間:
2014-3-18 20:58
標題:
回復 2# weiye 的帖子
第 1 題補充觀察的方法：
易知 \(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|\) 在 \(10<x<11\) 之間，折線段斜率為 \(0\)
且每往右邊通過一個折點，斜率增加 \(2\)，每往左邊通過一折點，斜率減少 \(2\)，
故 \(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2\) （那個常數不是重點，重點是所有折線段的斜率都加 \(3\) 了）
會在 \(x>9\) 時，折線段斜率都為正，且當 \(x<9\) 時，折線段斜率都為負。
即當 \(x=9\) 時，圖形有最低點。
第 2 題另解：
令 \(f(x)=2x^2+a-\left(x-b\right)^2\)
因為 \(\left(x-1\right)^2\Bigg| f(x)\)
所以 \(f(1)=f\,'(1)=0\)
可解得 \(b=-1, a=2.\)
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