標題: 1987AIME-直角三角形內接正方形 [打印本頁]

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作者: 阿良    時間: 2014-3-11 01:19     標題: 1987AIME-直角三角形內接正方形

13.  有兩個正方形以不同的角度放入一個直角三角形內，第一個正方形的面積為441，第二個正方形的面積為440。試求正三角形的兩股之和?
圖在h ttp://www.jyeoo.com/math/ques/detail/daca5e7a-c99c-4357-b5c7-ecf2f01c42c1　連結已失效


我覺得他的步驟太繁雜  應該有一些較簡潔的解法

請大家幫忙

103.3.11補充
補上出處1987AIME第15題
h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1987　連結已失效
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_15

110.8.15補充
設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形，依下列兩種方式可作出其內接正方形如圖(I)、(II)所示。已知圖(I)的正方形面積為625，則圖(II)的正方形面積為　　　。
(98高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)

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作者: thepiano    時間: 2014-3-11 15:09

令 BC = a，AC = b
AB = √(a^2 + b^2)

由於相似，(b - 21)/21 = b/a
ab = 21(a + b)

再令 AB = x + √440 + y (由左上到右下分別是 x，√440，y)

x/√440 = b/a
y/√440 = a/b

AB = √440 * (b/a + 1 + a/b) = √440 * [(a + b)^2 - ab]/(ab)

√440 * [(a + b)^2 - ab]/(ab) = √(a^2 + b^2)
令 a + b = t
上述方程改寫成
√440 * (t^2 - 21t)/(21t) = √(t^2 - 42t)
√440 * (t - 21)/21 = √(t^2 - 42t)
440 * (t - 21)^2 = 441(t^2 - 42t)
t^2 - 42t - 440 * 441 = 0
(t - 22 * 21)(t + 20 * 21) = 0
所求 = t = 22 * 21 = 462

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作者: 阿良    時間: 2014-3-11 22:24

我一目瞭然   
也不覺得做法複雜
謝謝thepiano

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