標題: 根與係數的關係 [打印本頁]

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作者: weiye    時間: 2006-3-9 00:47     標題: 根與係數的關係

設方程式 \(ax^2+bx+c=0,(a\neq0)\) 有兩根\(\alpha,\beta\)，則


\[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\]
\[\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\]
\[\alpha\beta=\frac{c}{a}\]
\[a\alpha^2+b\alpha+c=0　且　a\beta^2+b\beta+c=0\]



推廣可得


設方程式 \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0,(a_n\neq0)\) 有\(n\)個根\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)，則


\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=a(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n})\]
\[\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\]
\[\mathop\Sigma\limits_{1\leq i<j\leq n}{\alpha_i\alpha_j}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\]
\[\mathop\Sigma\limits_{1\leq i<j<k\leq n}{\alpha_i\alpha_j\alpha_k}=-\frac{a_{n-3}}{a_n}\]
\[\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}\]
\[a\alpha_i^2+b\alpha_i+c=0,\forall 1\leq i\leq n\]

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作者: eggsu1026    時間: 2014-6-29 00:19

推廣可得那行開始(算第1行)
第3行，等式的右邊的a，可以改成a_n

另外，最後一行是錯的
是 a_n × α_i^n + a_n-1 × α_i^(n-1)  + … + a_1 ×α_i + a_0 = 0， for all 1≦i≦n

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