標題:
2013澳洲AMC
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作者:
ferng
時間:
2013-10-8 05:57
標題:
2013澳洲AMC
題目如下：
在一場曲棍球比賽中，如果在比賽中兩支交手球隊的進球數之差從未超過2
時，則稱這兩支球隊「實力相當」。若兩支球隊共進12 球且兩支球隊一直處
於「實力相當」的情況，請問整個球賽共有多少種不同可能的賽況？
在兩隊：7比5、6比6，及5比7等三種情形下，如何做不盡相異物排列？
麻煩各為前提點指導，謝謝！
102.10.9補充
題目下載
http://www.chiuchang.org.tw/modules/news/article.php?storyid=496
作者:
ferng
時間:
2013-10-8 11:16
不好意思！
我想到用catalan number的方式，在7X5的路徑可求得243X2=486，在6X6的路徑可求得486，合計為972種方法。
請大家多多指教！
作者:
bugmens
時間:
2013-10-8 12:13
比賽過程比分的差距不能超過2分
所以棋盤格能走的只有中間部份而已
最後終點為\( (5,7),(6,6),(7,5) \)
答案\( 243+486+243=972 \)
圖片附件:
2013澳洲AMC高級卷第26題.png
(2013-10-8 12:13, 17.46 KB) / 該附件被下載次數 5277
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1972&k=3e71cb25ac08ede18d206f772da77ad1&t=1732518078
作者:
ferng
時間:
2013-10-13 09:37
標題:
2013澳洲AMC第30題
麻煩各位先進幫忙；
這一題是2013澳洲AMC第30題：
在座標平面上，一個銳角三角形的三個頂點的座標都是不同的整數且沒有任
何一條邊與座標軸平行。若此三角形的面積為348 且其中一條邊的邊長為
29，請問另二條邊的邊長之乘積是多少？
想說和皮克公式有關嗎？但是不知如何計算內部點數？
請大家不吝指導，謝謝！
作者:
thepiano
時間:
2013-10-13 10:36
20^2 + 21^2 = 29^2
定坐標 A(1，0)，B(22，20)，C(a，b)
△ABC 面積 = (21b - 20a + 20)/2 = 348
a = (21b - 676)/20
易知 a = 4，b = 36
所求為 870
[
本帖最後由 thepiano 於 2013-10-13 10:38 AM 編輯
]
作者:
tsusy
時間:
2013-10-13 10:57
標題:
回復 1# ferng 的帖子
邊長、格子點：\( x^{2}+y^{2}=29^{2} \) 之正整數解為 \( x=20,y=21 \) 或 \( x=21,y=20 \)
不失一般性(平移、對稱) 可假設，其中兩點坐標為 \( A(0,0),B(20,21) \)
由面積為 348，可知另一頂點 C 在 \( 21x-20y=\pm2\cdot348 \)
其整數解有 \( (x,y)=\pm(16+20n,-18+21n) \)，這些格子點兩兩對稱於 \( \overline{AB} \) 中點，與 A, B 所連成的三角形全等，
故僅需檢驗一組 \( (x,y)=(16+20n,-18+21n) \), n 太大或太小時，圖形上明顯 \( \angle A \) 或 \( \angle B \) 為鈍角，
故僅需檢驗 n=0,1 (其它圖一看，就鈍角)。兩者僅 \( C(36,3) \) 合，因此 \( \overline{AC}=\sqrt{36^{2}+3^{2}}=3\sqrt{145}
, \overline{BC}=\sqrt{16^{2}+18^{2}}=2\sqrt{145} \)，故所求 \( =6\cdot145=870 \)。
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