標題: 請教一題級數 [打印本頁]

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作者: Ellipse    時間: 2013-9-29 21:44     標題: 請教一題級數

證明Sigma {k=1 to n}  (-1)^(k+1) * (1/k) * C(n,k) =1+1/2 +1/3+.......+1/n
(其中C(n,k)為 n中取k的組合數)

這題有沒有比較快的證法,小弟用歸納法搞得很複雜~

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作者: tsusy    時間: 2013-9-29 22:02     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

好像在哪看過，直覺就是二項式定理

\( \sum\limits _{k=0}^{n-1}(1+x)^{k}=\frac{(1+x)^{n}-1}{x}=\sum\limits _{k=1}^{n}C_{k}^{n}x^{k-1} \)，

積分得 \( \int\sum\limits _{k=0}^{n-1}(1+x)^{k}dx=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k}C_{k}^{n}x^{k}+c \)

而得 \( \sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}(1+x)^{k+1}=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k}C_{k}^{n}x^{k}+c \)

\( x=0 \) 代入得 \( c=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k} \),

\( x=-1 \) 代入得 \( \sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\cdot\frac{C_{k}^{n}}{k}=c=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k} \)

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作者: Ellipse    時間: 2013-9-30 11:50     標題: 回復 2# tsusy 的帖子

漂亮!簡潔有力~
感謝~

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