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標題: 三角函數：a+b+c=0，求 cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)的最小值？ [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2013-9-28 00:45     標題: 三角函數：a+b+c=0，求 cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)的最小值？

已知 \(a+b+c=0\)，求 \(\cos^2 a+\cos^2 b+\cos^2 c\) 的最小值為何？



小弟沒有答案（因為是看到其他題目，隨便亂想修改的題目～）


或是把上題變形，換個方式改問：

已知 \(x+y+z=0\)，求 \(\cos x+\cos y+\cos z\) 的最小值為何？（當然答案就不一樣了～）
作者: Ellipse    時間: 2013-9-28 12:52

引用:
原帖由 weiye 於 2013-9-28 12:45 AM 發表
已知 \(a+b+c=0\)，求 \(\cos^2 a+\cos^2 b+\cos^2 c\) 的最小值為何？



小弟沒有答案（因為是看到其他題目，隨便亂想修改的題目～）


或是把上題變形，換個方式改問：

已知 \(x+y+z=0\)，求 \(\cos x+\cos y+\cos z\) 的最小值為 ...
第一個答案是0.75
第二個答案是-1.5
作者: tsusy    時間: 2013-9-28 13:09     標題: 回復 1# weiye 的帖子

變形的解

\( \cos z = \cos(-x-y) = \cos(x+y) \)

\( \cos x+\cos y+\cos(x+y)=\cos x+2\cos(y+\frac{x}{2})\cos\frac{x}{2} \)

\( \cos x+2\cos(y+\frac{x}{2})\cos\frac{x}{2}\geq2\cos^2(\frac x2)-1-2|\cos\frac{x}{2}|=2(|\cos\frac{x}{2}|-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\geq-\frac{3}{2} \)。
(感謝 weiye 指正 \( \cos x = 2\cos^2(\frac x2)-1 \) ↑)

當 \( (\cos\frac{x}{2},\cos(y+\frac{x}{2}))=\pm(\frac{1}{2},-1) \) 時，有最小值 \( -\frac{3}{2} \) 。

例 \( x=y=\frac{2\pi}{3}, z=-\frac{4}{3}\pi, \cos x=\cos y=\cos z=-\frac{1}{2} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-9-28 08:43 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2013-9-28 15:28

第一題利用第二題來解:
如果已證第二題,可將題目改成
已知2a+2b+2c=0,則cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)的最小值為-3/2-------------(*)

現在回到第一題來
(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2
=(3/2) + (1/2)* [cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)]
>=(3/2) +(1/2)*(-3/2)    (由(*)得)
=3/4
作者: weiye    時間: 2013-9-28 17:34     標題: 回復 3# tsusy, 4# Ellipse 的帖子

感謝各位，讚。 :-D

另外，有個小打字錯誤~ 不過無傷大雅~

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順便祝大家教師節快樂～哈哈！
作者: Ellipse    時間: 2013-9-29 12:29

weiye兄
如果將第一題改成
已知x_1+x_2+.......+x_{2n+1}=0 ,求[cos(x_1)]^2+[cos(x_2)]^2+..............+[cos(x_{2n+1})]^2的最小值
這個答案會是什麼呢?
(是否可以寫出n的函數?)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2013-9-29 12:42 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2013-9-29 14:10     標題: 回復 6# Ellipse 的帖子

變形後也就是問~

設 \(n\) 為正整數，已知 \(a_1+a_2+\cdots+a_n=0\)，求 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值為何？

當 \(n\) 為偶數時，可以容易得知 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值為 \(-n\)，最大值為 \(n\)。

當 \(n\) 為奇數時，？

我沒有想法耶，不知道 ellipse 老師有沒有蝦咪猜測呢？
作者: Ellipse    時間: 2013-9-29 14:49

引用:
原帖由 weiye 於 2013-9-29 02:10 PM 發表
變形後也就是問~

設 \(n\) 為正整數，已知 \(a_1+a_2+\cdots+a_n=0\)，求 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值為何？

當 \(n\) 為偶數時，可以容易得知 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值為  ...
(1)針對 k=cos a_1+cos a_2+..........+cos a_n最小值猜想:
n為正奇數時,當n越大時,k值是遞減的
(i)n=3 ,k= -1.5
(ii)n>=5時 ,-n<k<-n+1
也就是[k]= -n ( [k]表示小於等於k的最大整數)
會不會k值趨近於-n?

(2)針對 t=(cos a_1)^2+(cos a_2)^2+..........+(cos a_n)^2最小值猜想:
n為正奇數時,當n越大時,t值是遞減的
會不會t值會趨近於0?
(目前猜測 3/(n+1) - t < 0.03 ,當n>=3  )
作者: weiye    時間: 2013-9-29 19:05     標題: 回復 8# Ellipse 的帖子

令 \(k=\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值

當 \(n=3\) 時，由之前的證明可知存在三實數 \(\alpha,\beta,\gamma\)

　　　　　　　使得 \(a_1=\alpha, a_2=\beta, a_3=\gamma\) 滿足 \(a_1+a_2+a_3=0\)

　　　　　　　\(\cos a_1+\cos a_2+\cos a_3=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\frac{-3}{2}\)

當 \(n>3\) 且 \(n\) 為奇數時，因為可取

　　\(a_1=\alpha, a_2=\beta, a_3=\gamma\)，\(a_i=-\pi,a_j=\pi\) 其中 \(i\) 為大於 \(3\) 的偶數，\(j\) 為大於 \(3\) 的奇數，

　　使得 \(a_1+a_2+\cdots+a_n=0\) 且 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n=-\frac{3}{2}+\left(n-3\right)=\frac{3}{2}-n\)

　　可知 \(\displaystyle-n\leq k\leq \frac{3}{2}-n\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{k}{-n}=1\)
作者: tsusy    時間: 2013-9-29 21:15     標題: 回復 9# weiye 的帖子

以下有一些小錯誤，把這個想法實現的證明在 #13 處

(1) \( \cos(x+2\pi)=\cos x \)，可將已知條件改為 \( \sum\limits _{i=1}^{n}a_{i}=2k\pi \), for some \( k\in\mathbb{Z} \)。
(這個其實可以不用做，只是為了(2)說明方便)

(2) \( \cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \)，可取 \( y \) 的同界角，使得 \( \cos(\frac{x+y}{2})<0 \)。

則有 \( \cos(x+y)\geq2\cos(\frac{x+y}{2})\cdot1=\cos(\frac{x+y}{2})+\cos(\frac{x+y}{2}) \)。

由 (1)(2) 知，若有最小值，必發生在 \( a_{i}=a_j =\frac{2k\pi}{n}, \forall i,j\) 這類的點上。

(3) \( S=\{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\mid\sum a_{i}=2k\pi,k\in\mathbb{Z}\} \) 為 \( \mathbb{R}^{n} \) 中的緊緻集，\( f(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})=\sum\limits _{i=1}^{n}\cos(a_{i}) \) 為 \( \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} \) 的連續函數。由連續函數最大最小值定理知 \( f \) 在 \(S\) 上必有最大最小值。

綜合以上，選取 \(k\) 接近 \(\frac{n}{2}\)，使得 \(\cos(\frac{2k\pi}{n})\) 最接近 \(-1\)，可達最小值。

即當 \(n=2k+1\) 時，取 \(a_{i}=\frac{2k\pi}{2k+1}\)，可得最小值 \(n\cos(\frac{2k\pi}{2k+1})\)。
(感謝 Ellipse 提醒 修正負號)

偶數 \( n=2k \)，weiye 老師已給出相同結果 \( a_i = \pi \)，最小值 \(-n \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-9-30 11:24 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2013-9-29 21:31     標題: 回復 10# tsusy 的帖子

n=2k+1 ,有最小值-n*cos(2k*Pi/(2k+1))
好像有點問題
當k>=2時 ,-n*cos(2k*Pi/(2k+1))會大於0
應再加個負號~
作者: weiye    時間: 2013-9-30 08:19

來求教了～
引用:
原帖由 tsusy 於 2013-9-29 09:15 PM 發表
由 (1)(2) 知，若有最小值，必發生在 \( a_{i}=a_j =\frac{2k\pi}{n}, \forall i,j\) 這類的點上。  ...
請問上面這句話是可以證明，或是猜測呢？

^__^
作者: tsusy    時間: 2013-9-30 09:49     標題: 回復 12# weiye 的帖子

修正 #10 想法的一些瑕疵

1. 利用「連續函數在緊緻集上，必有最大最小值」，說明最小值存在。

注意 \( \cos(x+2\pi)=\cos x \)，可將已知條件改為 \( \sum\limits _{i=1}^{n}a_{i}=2k\pi \), for some \( k\in\mathbb{Z} \) 且 \( a_{i}\in[0,2\pi] \)。

如此 \( S=\{\vec{x}\in[0,2\pi]^{n}\mid\sum x_{i}=2k\pi\mbox{, for some }k\in\mathbb{Z}\} \) 在 \( \mathbb{R}^{n} \) 是一個緊緻集，而 \( f:\begin{array}{c}
\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\\
x\mapsto\sum\cos(x_{i})
\end{array} \) 為 \( \mathbb{R}^{n} \) 中的連續函數，

故在 \( S \) 上有最大最小值，即存在 \( \vec{a}\in S \)，使得 \( f(\vec{a})\leq f(\vec{x})  \forall\vec{x}\in S \)。

由 \( \cos(x) \) 的週期性，可將 \( S \) 改成 \( S'=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid\sum x_{i}=2k\pi\mbox{, for some }k\in\mathbb{Z}\} \)。

2. 「利用 \( \cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \) 刻劃極值發生之所有點 \( \vec{a}\) 的形式」

取 \( x=a_{1} \), \( y=a_{i} \) 或 \( a_{i}+2\pi \) 其中之一，使得 \( \cos(\frac{x+y}{2})\leq0 \)。

則有 \( \cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})\geq2\cos(\frac{x+y}{2})\cdot1=\cos(\frac{x+y}{2})+\cos(\frac{x+y}{2}) \)。

又 \( f(\vec{a}) \) 為最小值，故上式 \( "=" \) 成立，而得 \( \cos(\frac{x+y}{2})=0 \) 或 \( \cos(\frac{x-y}{2})=1 \)。

故 \( \vec{a} \) 滿足 \( a_{i}=a_{1} \) 或 \( \pi-a_{1} \) (mod \( 2\pi \))。

3. 「若 \( n\geq3 \)，則 \( f(\vec{a})<0 \)」：\( f(\pi,\pi,\pi,\ldots,\pi,-(n-1)\pi)\leq-n+2<0\Rightarrow f(\vec{a})<0 \)。

4. 「設 \( n\geq3 \)，說明 \( a_{1}=a_{i}\,\forall i \)。」

若 \( a_{2}=\pi-a_{1} \) (mod \( 2\pi \))，取 \( \vec{b}=(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},a_{3},\ldots,a_{n}) \)，

則 \( f(\vec{b})=f(\vec{a}) \)，即在 \( \vec{x}=\vec{b} \) 時，亦達最小值。

由 2. 得 \( \vec{b}=(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\ldots,\frac{\pi}{2}) \) (mod \( 2\pi \))，

但 \( f(\vec{b})=0 \) 與最小值為矛盾，故 \( a_{2}=a_{1} \)

同理推得 \( a_i =a_1, \forall i \)，故當 \( n =2k+1 \), \( a_i = \frac{2k\pi}{2k+1} \) 可達最小值。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-9-30 11:22 PM 編輯 ]



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