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標題: 請教一題計算 [打印本頁]

作者: arend 時間: 2013-8-13 17:55 標題: 請教一題計算

(今天做題時遇到的一個困擾)
求以下聯立解
\(y^2+24^2=(x+15)^2\)
\((y+7)^2=x^2+20^2\)

以上聯立解\((x=15,y=18)\)
有甚麼方法計算比較好算
(帶入消去法太繁瑣)
另外可有幾和解?

謝謝

作者: weiye 時間: 2013-8-13 19:21

構造如下三角形，

（思考～先構造 "\(7,24,25\)" 與 "\(15,20,25\)" 兩個直角三角形，使兩者的斜邊重合，

　如下圖，自一股 \(\overline{BD}\) 延伸長度 \(x\)，則

　由題述，可知另一股 \(\overline{CF}\) 要延伸 \(y\) ，可使之相交於下圖之 \(A\) 點。）

可知 \(\triangle ACE\) 三邊比為 \(7:24:25\)

且 \(\triangle ABE\) 三邊比為 \(3:4:5\)

合併以上二者，可知 \(\overline{CE}:\overline{EB}=7:18\)

\(\Rightarrow \overline{CE}=7, \overline{EB}=18\)

（利用上述的兩個三角形三邊長比例，可得）

\(\Rightarrow \overline{AB}=30, \overline{AC}=25\)

\(\Rightarrow x=15, y=18\)

圖片附件: qq.png (2013-8-13 19:21, 26.97 KB) / 該附件被下載次數 4522
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作者: arend 時間: 2013-8-14 00:31 標題: 回復 2# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師

作者: weiye 時間: 2013-8-14 08:16

因為一直想用幾何去解，解完才發現有一個盲點，

就是題目沒有說 \(x,y\) 是正數，

（兩個雙曲線至多可能會有四個交點～）

剛剛用軟體幫我算了一下，

發現還有另一組解 \(\displaystyle x=\frac{585}{11}, y=\frac{-702}{11}.\)

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