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標題: 102竹山高中 [打印本頁]

作者: YAG    時間: 2013-7-18 14:57     標題: 102竹山高中

試題.pdf (134.3 KB)

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作者: YAG    時間: 2013-7-18 14:58     標題: 請問填充5的答案是否怪怪的!

請問填充5的答案是否怪怪的!
作者: smallwhite    時間: 2013-7-18 15:04

請問填充8、證明2。

填充5答案沒問題!

[ 本帖最後由 smallwhite 於 2013-7-18 03:34 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2013-7-18 15:07

附上 word 檔試題及答案,如附件。

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作者: 阿光    時間: 2013-7-18 22:04

想請教填充4,8題 謝謝
作者: weiye    時間: 2013-7-18 22:38     標題: 回復 5# 阿光 的帖子

填充第 4 題:

\(2\left(10x+13\right)^2\left(5x+8\right)\left(x+1\right)=1\)

\(\Rightarrow 2\left(100x^2+260x+169\right)\left(5x^2+13x+8\right)-1=0\)

令 \(t=5x^2+13x\)

\(\Rightarrow 2\left(20t+169\right)\left(t+8\right)-1=0\)

\(\Rightarrow \left(2t+17\right)\left(20t+159\right)=0\)

\(\Rightarrow \left(10x^2+26x+17\right)\left(100x^2+260x+159\right)=0\)


檢查判別式,可知 \(10x^2+26x+17=0\) 有兩虛根且 \(100x^2+260x+159=0\) 有兩實根

因為 \(pq+rs\) 為實數,可知 \((p,q)\) 與 \((r,s)\) 分別為上述兩方程式的根(或是  \((r,s)\) 與 \((p,q)\) ),  

\(\displaystyle pq+rs=\frac{17}{10}+\frac{159}{100}=\frac{329}{100}.\)
作者: weiye    時間: 2013-7-18 23:24     標題: 回復 3# smallwhite 的帖子

計算證明題第 2 題:

設 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 皆為不超過 \(n\) 次的多項式,

且都通過 \((x_0,y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)\)

令 \(h(x)=f(x)-g(x)\)

則 \(h(x)\) 為一個不超過 \(n\) 次的多項式,

且 \(h(x_i)=f(x_i)-g(x_i)=y_i-y_i=0, \forall i=0,1,2,\cdots, n\)

可知不超過 \(n\) 次的多項式方程式 \(h(x)=0\) 有 \(n+1\) 個相異實根

由代數基本定理可推知,

\(\Rightarrow h(x)\) 為零多項式

(或是由 \(h(x_i)=0, \forall i=1,2,\cdots, n\) 且 \(h\) 次數不超過 \(n\) 次

 可令 \(h(x)=k(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\)

 再由 \(h(x_0)=0\) 且 \((x_0-x_1)(x_0-x_2)\cdots (x_0-x_n)\) 非零

 可知 \(k=0\Rightarrow h(x)\) 為零多項式)

故 \(f(x)-g(x)=0\) 恆成立

亦即 \(f(x)=g(x)\) 恆成立
作者: weiye    時間: 2013-7-18 23:30     標題: 回復 5# 阿光 的帖子

第 8 題:

先分析題目:

\(A\) 落在直線 \(y=\sqrt{3} x\) 上

\(B\) 落在直線 \(y=0\) 上

若將圓 \(C:(x-3)^2+(y-4)^2=1\) 對稱 \(y=\sqrt{3} x\) 直線可得圓 \(C_1\)

若將圓 \(C:(x-3)^2+(y-4)^2=1\) 對稱 \(y=0\) 直線可得圓 \(C_2\)

\(C\) 上的點 \(P\) 對稱 \(y=\sqrt{3} x\) 直線可得點 \(P_1\)

\(C\) 上的點 \(P\) 對稱 \(y=0\) 直線可得圓 \(P_2\)

\(\triangle PAB\) 周長= \(\overline{PA}+\overline{AB}+\overline{BP}\)

           = \(\overline{P_1A}+\overline{AB}+\overline{BP_2}\)

           \(\geq\overline{P_1P_2}\)

不過....

寫到一半發現 thepiano 老師已經先寫完了,而且寫得更簡潔。(所以後半段就不寫了...)

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3079
作者: Herstein    時間: 2013-7-19 05:10

請教填充 7、9 二題,謝謝!
作者: weiye    時間: 2013-7-19 13:48     標題: 回復 9# Herstein 的帖子

填充第 7 題:

第 7 題:

旋轉完後,看起來會像是兩個有相同底面的直圓錐且底面接合在一起,

底面圓的半徑=\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

旋轉體的體積=\(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\left(\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\cdot\sqrt{x^2+y^2}\)

     \(\displaystyle =\frac{4\pi}{3\sqrt{x^2+y^2}}\)

已知三角形面積 \(\displaystyle \frac{1}{2}xy=1\Rightarrow xy=2\)

由算幾不等式,可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}\geq\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}\geq2\)

\(\Rightarrow\) 旋轉體的體積 \(\displaystyle \frac{4\pi}{3\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{2\pi}{3}\)

可知當直角三角形的兩股相等時,旋轉體體積會有最大值為 \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}.\)
作者: weiye    時間: 2013-7-19 13:55     標題: 回復 9# Herstein 的帖子

填充第 9 題:

對於七題中的任意一題而言,

該題被答對的機率=\(\displaystyle \frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{25}{49}\)

該題答對數目的的期望值=\(\displaystyle 1\cdot\frac{25}{49}=\frac{25}{49}\)

此七題被答對數目的期望值=\(\displaystyle 7\cdot\frac{25}{49}=\frac{25}{7}\)
作者: 阿光    時間: 2013-7-19 21:47

想請教填充3 謝謝
作者: spiralshells    時間: 2013-7-19 23:26

請教填充2 謝謝!!
作者: weiye    時間: 2013-7-19 23:35     標題: 回復 13# spiralshells 的帖子

填充第 2 題:

請參考

https://math.pro/db/thread-62-1-4.html

https://math.pro/db/thread-401-1-1.html

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=2#pid2916

另外,不久前看過寸絲用二項分配(\(X\sim B(n, 1/2)\)

   求 \(2^n\cdot E(X^2)=2^n\cdot \left(Var(X)+E^2(X)\right)\) 來解這個的作法,更快,但是我忘了是哪一篇了。
作者: weiye    時間: 2013-7-19 23:39     標題: 回復 12# 阿光 的帖子

填充第 2 題:

見 thepiano 老師在美夢成真的解答

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=9684#p9684
作者: spiralshells    時間: 2013-7-19 23:45

感謝瑋岳大師!!
作者: arend    時間: 2013-7-20 12:40

引用:
原帖由 weiye 於 2013-7-19 01:55 PM 發表
填充第 9 題:

對於七題中的任意一題而言,

該題被答對的機率=\(\displaystyle \frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{25}{49}\)

該題答對數目的的期望值= ...
請教瑋岳老師
關於"該題被答對的機率 ..."這裡看不懂
想不出來,可否告知
謝謝
作者: arend    時間: 2013-7-20 12:43

請教第6與10
謝謝
(第6題我嘗試用遞迴解,結果...)
作者: weiye    時間: 2013-7-20 13:39     標題: 回復 17# arend 的帖子

該題被答對的機率=(該題正確答案是○的機率)*(作答者該題答○的機率)+(該題正確答案是×的機率)*(作答者該題答×的機率)
作者: weiye    時間: 2013-7-20 13:48     標題: 回復 18# arend 的帖子

填充第 6 題:

易知 \(f(1)=\alpha+\beta=1>0,   f(2)=\left(\alpha+\beta\right)^2-2\alpha\beta=3>0\)

且 \(\displaystyle f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0,\forall n\in\mathbb{N}\)

\(\Rightarrow f(n+2)=f(n+1)+f(n)>0,\forall n\in\mathbb{N}\)


令 \(\displaystyle p=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}\)

則 \(\displaystyle f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0\Rightarrow \frac{f(n+2)}{f(n+1)}-1-\frac{f(n)}{f(n+1)}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p-1+\frac{1}{p}=0\Rightarrow p^2-p-1=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

因為 \(\displaystyle f(n)>0,\forall n\in\mathbb{N}\),所以 \(p\geq0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

註:因為是填充題,所以略掉了 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}\) 的存在性討論。
作者: arend    時間: 2013-7-20 15:47

引用:
原帖由 weiye 於 2013-7-20 01:39 PM 發表
該題被答對的機率=(該題正確答案是○的機率)*(作答者該題答○的機率)+(該題正確答案是×的機率)*(作答者該題答×的機率)
謝謝瑋岳老師
作者: weiye    時間: 2013-7-20 20:11     標題: 回復 18# arend 的帖子

填充第 10 題:

因為拋物線 \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2\) 的焦點為 \(Q(0,\sqrt{2})\) 且其準線為 \(y=-\sqrt{2}\)

因此 \(\overline{QB}+\overline{BC}=d(B, y=-\sqrt{2})+\overline{BC}\)

        \(=d(C, y=-\sqrt{2})=2+\sqrt{2}\)

因為 \(A\) 滿足 \(y^2=x^2+1\) 且 \(y>0\)

所以 \(A\) 位在雙曲線 \(-x^2+y^2=1\) 的上半分支,

且因為 \(P,Q\) 為雙曲線 \(-x^2+y^2=1\) 的兩焦點

\(\Rightarrow \overline{PA}-\overline{AQ}=\mbox{雙曲線的貫軸長}=2\)


因此,\(\displaystyle \overline{PA}+\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{PA}-\overline{AQ}+\overline{QB}+\overline{BC}=2+\left(2+\sqrt{2}\right)=4+\sqrt{2}.\)



註: 1. 因為是填充題,如果只要答案的話,令 \(a=0\) 求得各點坐標,亦可快速知道此"定值"。

   2. 感謝 arend 老師以私訊告訴我前半段 \(\overline{QB}+\overline{BC}=2+\sqrt{2}\) 的想法,

    提供小弟一個很好的切入點。 :D

圖片附件: qq.png (2013-7-20 21:53, 15.2 KB) / 該附件被下載次數 5299
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1915&k=9a8f89d8c2ac27865ee2729c172ec4f6&t=1732339160


作者: 阿光    時間: 2013-7-20 22:16

想請教計算1  謝謝
作者: weiye    時間: 2013-7-20 22:33     標題: 回復 23# 阿光 的帖子

計算第 1 題:

設 \(A, B, C, D, E\) 在複數平面上剛好對應到 \(x^5-1=0\) 的五個根為 \(\omega_0, \omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\)

則 \(x^5-1=\left(x-\omega_0\right)\left(x-\omega_1\right)\left(x-\omega_2\right)\left(x-\omega_3\right)\left(x-\omega_4\right)\)

\(\Rightarrow \overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\cdot\overline{PE}=\left|\left(1+i\right)-\omega_0\right|\cdot\left|\left(1+i\right)-\omega_1\right|\cdot\left|\left(1+i\right)-\omega_2\right|\cdot\left|\left(1+i\right)-\omega_3\right|\cdot\left|\left(1+i\right)-\omega_4\right|\)

    \(=\left|\left(\left(1+i\right)-\omega_0\right)\cdot\left(\left(1+i\right)-\omega_1\right)\cdot\left(\left(1+i\right)-\omega_2\right)\cdot\left(\left(1+i\right)-\omega_3\right)\cdot\left(\left(1+i\right)-\omega_4\right)\right|\)

    \(=\left|\left(1+i\right)^5-1\right|\)

    \(=\left|\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)-1\right|\)

    \(=\left|2i\cdot 2i\cdot\left(1+i\right)-1\right|\)

    \(=\left|-4\cdot\left(1+i\right)-1\right|\)

    \(=\left|-5-4i\right|=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}.\)
作者: johncai    時間: 2014-3-17 07:21     標題: 回復 6# weiye 的帖子

請教一下
第四行到第五行
是乘開後再分解嗎?
還是有什麼特殊的方法嗎?
先謝謝喔
作者: weiye    時間: 2014-3-17 11:24     標題: 回復 25# johncai 的帖子

我沒蝦咪特殊的方法,純用十字交乘法拆開。 (\(2703=3\times17\times53\))




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