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標題: 102竹東高中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2013-6-18 21:31 標題: 102竹東高中

as title
請各位享用
計算最後一題,算老題目了嗎?

(PS.sorry,我上傳完以為ok了就沒檢查了,感謝dream10的幫忙)

作者: dream10 時間: 2013-6-18 22:29

幫忙上傳一下~~修改囉
計算最後一題
99左中考過一樣的
98玉井跟慈濟、92台中二中有類似的

計算2
今年好像考很多次囉~~~

weiye 補充：官方後來有公告，修正計算第一題答案為 \(\displaystyle f(x)= - \frac{2}{3}X^\frac{3}{2}\)

抱歉~~沒看到~~修訂答案後檔案在下面~~

附件: 102竹東高中1(修訂答案).pdf (2013-6-27 08:12, 276.73 KB) / 該附件被下載次數 10527
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1836&k=89b6050b5bffff614857f3cc857af89e&t=1732293684

作者: bugmens 時間: 2013-6-18 22:33

感謝dream10將檔案縮小

計算4.
設\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{2 & 1 \cr 0 & 2} \Bigg]\; \)，\( A^n \)。

原來A已經是Jordan Form了，所以直接乘就看出規律了

作者: airfish37 時間: 2013-6-22 19:58

是非題3
設\( x \in R \)，\( |\; 2x-3 |\;+|\; x-5 |\; \le |\;x+2 |\; \)恆成立，則\( (2x-3)(x-5) \le 0 \)。
三角不等式的方向掛錯了吧 (命題失誤？)
另外，想請教填充第3題^^

作者: thepiano 時間: 2013-6-22 20:33

引用:

原帖由 airfish37 於 2013-6-22 07:58 PM 發表
是非題3 三角不等式的方向掛錯了吧 (命題失誤？)

≦ 是小於"或"等於，當然有可能是"等於"，題目沒問題

作者: arend 時間: 2013-6-23 09:33

請教填充3與計算1

謝謝

作者: thepiano 時間: 2013-6-23 11:22

計算第 1 題
官方有修正答案，請參考
h ttp://www.ctsh.hcc.edu.tw/main/node/2128　連結已失效

作者: ilikemath 時間: 2013-6-27 05:16

想請教計算第一題
感謝

作者: tsusy 時間: 2013-6-27 21:10 標題: 回復 8# ilikemath 的帖子

計算1.
設曲線\( y=f(x) \)(\( x \ge 0 \))過點\((0,0)\)，且對於任意\(a>0\)，此曲線在\(x=0\)與\(x=a\)間的弧長為\( \displaystyle \frac{2}{3}\Bigg[\; (1+a)^{\frac{3}{2}}-1 \Bigg]\; \)。若對於所有\( x \ge 0 \)，都有\( f'(x) \le 0 \)，則\( f(x)= \)？
[解答]
曲線長 \( = \int_0^a \sqrt{1+(f'(x))^2} dx\)，對 a 微分，用微積分基本定理得

\( (f'(a))^2 = a \)，又 \( f'(a)\leq 0 \) 且 \( f(0) = 0 \) 可得 \( f(x) = -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \)

作者: 阿光 時間: 2013-6-27 21:51

想請教計算2 謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-6-28 14:46 標題: 回復 10# 阿光的帖子

證明2.
請分別利用數學歸納法(9%)與算幾不等式(5%)
證明：設\(n\)為大於1的正整數，不等式\(2^n>1+n \sqrt{2^{n-1}}\)
[解答]
算幾不等式
注意 \( 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1 \), \( n\in\mathbb{N} \)。

由算幾不等式有 \( \frac{2^{n}+1}{n}=\frac{1+2+\ldots+2^{n-1}}{n}\geq\sqrt[n]{1\cdot2\cdot2^{2}\cdots2^{n-1}}=2^{\frac{(n-1)n}{2n}}=\sqrt{2^{n-1}}\Rightarrow2^{n}\geq1+n\sqrt{2^{n-1}} \)。

數學歸納法
若 \( n=2 \), 檢查 \(2^{2}=4, 1+2\sqrt{2}\approx3.8, 4>3.8 \)，故命題於 \( n=2 \) 時成立。

若 \( n=3 \), 檢查 \( 2^{3}=8, 1+3\sqrt{2^{2}}=7, 8>7 \)，故命題於 \( n=3 \) 時亦成立。

設 \( n=k \) (\( k\geq3 \)) 時成立，即 \( 2^{k}\geq1+k\sqrt{2^{k-1}} \)。

而 \( 2^{k+1}=2\cdot2^{k}\geq2+2k\sqrt{2^{k-1}}\geq1+\sqrt{2}k\sqrt{2^{k}}\geq1+(k+1)\sqrt{2^{k}} \)，因此 \( n=k+1 \) 時亦成立。

由數學歸納法得證。

作者: arend 時間: 2013-6-28 15:32

請教填充3
想不出來,
請不吝指教
謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-6-28 19:08 標題: 回復 12# arend 的帖子

填充3.
在銳角\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AD} \)垂直\(\overline{BC}\)於\(D\)，\(\overline{CE}\)垂直\(\overline{AB}\)於\(E\)。以\(\overline{DE}\)為直徑畫圓，此圓與\(\overline{AB}\)交於另一點\(Q\)。若\(\overline{AC}=25\)，\(\overline{AE}=7\)，\(\overline{CD}=15\)，則\(\overline{BQ}=\)　　　。
[解答]
由垂直和畢氏定理可得 \( \overline{AD}=20 \), \( \overline{EC}=24 \)。

注意 \( \angle ADC=\angle AEC=90^{\circ} \Rightarrow AEDC \) 共圓 (以 \( \overline{AC} \) 為直徑的圓)。

由托勒密定理得 \( 20\cdot24=25\cdot\overline{ED}+7\cdot15 \Rightarrow\overline{ED}=15=\overline{CD} \)，由此知 \( D \) 為直角 \( \triangle EBC \) 之斜邊 \( \overline{BC} \) 之中點且 \( \overline{DB}=\overline{DE}=\overline{DC}=15 \)。

而 \( Q \) 即為 \( D \) 對 \( \overline{BE} \) 作垂線之垂足 (半圓圓周角直角) (亦為 \( \overline{BE} \) 中點)，故 \( \overline{BQ}=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\sqrt{30^{2}-24^{2}}=9 \)。

作者: arend 時間: 2013-6-28 20:18

引用:

原帖由 tsusy 於 2013-6-28 07:08 PM 發表
填充 3.

由垂直和畢氏定理可得 \( \overline{AD}=20 \), \( \overline{EC}=24 \)。

注意 \( \angle ADC=\angle AEC=90^{\circ} \Rightarrow AEDC \) 共圓 (以 \( \overline{AC} \) 為直徑的圓)。

由托勒密定理得 ...

謝謝tsusy老師
感激

作者: wdemhueebhee 時間: 2013-7-2 20:44 標題: 想請教証明1，謝謝

作者: airfish37 時間: 2013-7-3 12:21

引用:

原帖由 wdemhueebhee 於 2013-7-2 08:44 PM 發表

證明1.
證明：對於所有正整數\(n\)，\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (4-\frac{2}{k}) \)都是正整數。
[解答]
我只想到直接暴力乘開!! 也許有其他方法..
\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{4k-2}{k}=\frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \ldots (4n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}=2^n \times \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots (2n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}\times \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)} \)

\( \displaystyle =2^n \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots (2n)}{2^n (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n)^2}=\frac{(2n)!}{n! \cdot n!}=C_n^{2n} \)

作者: wdemhueebhee 時間: 2013-7-3 15:40 標題: 感謝airfish37

再請教是非第一題, 謝謝

作者: airfish37 時間: 2013-7-3 16:18

引用:

原帖由 wdemhueebhee 於 2013-7-3 03:40 PM 發表

再請教是非第一題, 謝謝

我是從資深老師口中得知：教師手冊有反例 @@ (參閱龍騰版教師手冊P.58)

作者: tsusy 時間: 2013-7-3 19:11 標題: 回復 18# airfish37 的帖子

是非 1.
\(a>1\)時，\(y=a^x\)與\(y=log_a x\)的圖形對稱於直線\(y=x\)並且不會相交。
[解答]
反例不難湊，要有交點的話，圖形一定要穿過對稱軸 \( y = x \) (不然分隔兩邊就沒交點)

而圖形對稱，所以指數函數圖形和對數函數圖形會和 \( y = x \) 相交於同一點。

這個點的坐標設為 \( (x,x) \)，則 \( a^x = x \Rightarrow a = x^{\frac1x} \)。

隨意選個 \( x =2 \), \( a = \sqrt{2} \)，兩圖形就會交於 \( (2,2) \) 就是一組反例。

作者: wdemhueebhee 時間: 2013-7-4 10:39 標題: 感謝以上兩位老師

作者: yuhui 時間: 2013-7-5 09:41

請問計算第三題,答案為232那一題要怎麼算呢??
謝謝!

計算3.
設\(5^{100}=a_n \cdot 2^n+a_{n-1} \cdot 2^{n-1}+a_{n-2} \cdot 2^{n-2}+\ldots+a_1 \cdot 2+a_0\)，其中\( n \in N \)，\( a_i \in \{\;0,1 \}\; \)，\(i=0,1,2,\ldots,n\)，但\(a_n \ne 0\)，求\(n\)之值。

作者: weiye 時間: 2013-7-8 23:48 標題: 回復 21# yuhui 的帖子

計算第 3 題：

思考：題目就是把 \(5^{100}\) 以二進位表示之後，此二進位表示法為 \(n+1\) 位數字，求 \(n\) 之值。

解題：

\(\displaystyle \log_2 5^{100}=100\log_2 5 = 100\cdot\frac{1-\log_{10} 2}{\log_{10} 2}\)

　　\(\displaystyle \approx 100\cdot \frac{1-0.3010}{0.3010}\approx 232.225\)

　　\(=232+0.225\)

　　\(=\log_2 2^{232} + \log_2 a\)　，其中 \(1<a<2\)

\(\Rightarrow 5^{100}=a\cdot 2^{232}\) （其中 \(1<a<2\)）

故，\(n=232\)

註：依題意，可知 \(2^n\leq 5^{100}<2^{n+1}\)

作者: idontnow90 時間: 2013-7-17 12:53

想請教填充 2 和 5 以及計算2 怎麼算?
另外計算1.我看了寸絲的解答仍然不太懂@@.---它的微分是在根號內ㄟ?這樣怎麼算
感謝~

填充2.
若不等式\(5x^2-log_a x<0\)在\( \displaystyle x \in (0,\frac{1}{5}) \)內恆成立，則\( a \)的取值範圍為　　　。

填充5.
若函數\(f(x)=sin 2x+2a cos^2 x-a\)(\(a\)為實數)的圖形對於直線\( \displaystyle x=-\frac{\pi}{8} \)對稱，則\( a= \)　　　。

計算2.
\( A(7,6,3) \)，\( B(5,-1,2) \)，\(L\)：\( \displaystyle \frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2} \)，\(P\)為\(L\)上的動點，求使得\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值的\(P\)點坐標。

作者: weiye 時間: 2013-7-17 22:24 標題: 回復 23# idontnow90 的帖子

填充第 5 題：

\(\displaystyle f(x)=\sin2x+2a\cos^2 x-a=\sin2x+2a\cdot\frac{1+\cos2x}{2}-a\)

　　\(\displaystyle =\sin2x+a\cos2x=\sqrt{1+a^2}\sin\left(2x+\theta\right)\)

其中 \(\displaystyle \sin\theta=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}, \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\)

因為正弦函數 \(y=\sin x\) 的圖形對稱於 \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) 其中 \(k\) 為任意整數

可知 \(f(x)\) 的圖形對稱於 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)-\theta\right)\)

依題意，

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{-\pi}{8}=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)-\theta\right)\)，其中 \(k\) 為整數

\(\displaystyle \Rightarrow \theta=k\pi+\frac{3\pi}{4}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a=\tan\theta=\tan\left(k\pi+\frac{3\pi}{4}\right)=-1\)

作者: weiye 時間: 2013-7-17 22:39 標題: 回復 23# idontnow90 的帖子

計算題第 2 題：
\(A(7,6,3)\)，\(B(5,-1,2)\)，\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2}\)，\(P\)為\(L\)上的動點，求使得\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值的\(P\)點坐標。
[解答]
令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)

則

\(\displaystyle \overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(7-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(6-t\right)^2+\left(3-\left(3-2t\right)\right)^2}+\sqrt{\left(5-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(-1-t\right)^2+\left(2-\left(3-2t\right)\right)^2}\)

　　\(\displaystyle =\sqrt{9t^2-36t+72}+\sqrt{9t^2-18t+18}\)

　　\(\displaystyle =3\left(\sqrt{\left(t-2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-1\right)^2+1^2}\right)\)

令 \(Q(t,0),A(2,2),B(1,-1)\)

則 \(\displaystyle \overline{QA}+\overline{QB}=\sqrt{\left(t-2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-1\right)^2+1^2}\)

可知當 \(Q,A,B\) 共線時，\(\overline{QA}+\overline{QB}\) 有最小值，

此時 \(\displaystyle t=\frac{4}{3}\)

即當 \(\displaystyle P(\frac{11}{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{3})\) 時，\(\overline{PA}+\overline{PB}\) 會有最小值。

作者: weiye 時間: 2013-7-17 22:57 標題: 回復 23# idontnow90 的帖子

填充第 2 題：
若不等式\(5x^2-log_a x<0\)在\(\displaystyle x \in \frac{1}{5}\)內恆成立，則\(a\)的取值範例為　　　。
[解答]
當 \(a>1\) 時，因為 \(y=5x^2\) 通過原點且當 \(x\to0^+\)時，\(y=\log_a x\to -\infty\)

所以顯然 \(\displaystyle a>1\) 題述之不等式必然不成立。

當 \(0<a<b<1\) 時，因為 \(\displaystyle \log_a x<\log_b x, \forall 0<x<1\)

因此，只需要確認當 \(a\) 值為何時，會使得 \(y=5x^2\) 與 \(y=\log_a x\) 交點的 \(x\) 坐標是 \(\frac{1}{5}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \log_a\left(\frac{1}{5}\right)=5\left(\frac{1}{5}\right)^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow a^\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\Rightarrow a=\frac{1}{5^5}=\frac{1}{3125}\)

即當 \(\displaystyle \frac{1}{3125}\leq a<1\) 時，恆有 \(\displaystyle 5x^2<\log_a x, \forall x\in\left(0,\frac{1}{5}\right)\)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1903&k=9969913d497873c41f56fcc0d270e8a7&t=1732293684

圖片附件: qq2.png (2013-7-17 23:15, 40.54 KB) / 該附件被下載次數 7633
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1904&k=f7762d5c147e98c3f0573c34f039a404&t=1732293684

作者: idontnow90 時間: 2013-7-18 16:54

謝謝瑋岳老師~
只是填充5 我有試著用\(\displaystyle f(-\frac{\pi}{8}+t)=f(-\frac{\pi}{8}-t)\)下去做.但是做不出來...是這題無法用這方法做嗎?
要怎麼知道什麼題目可以用我講的這種方法做..什麼題目不行呢?
謝謝指教~

作者: airfish37 時間: 2013-7-18 17:26

填充5.
若函數\(f(x)=sin2x+2acos^2x-a\)(\(a\)為實數)的圖形對於直線\(\displaystyle x=-\frac{\pi}{8}\)對稱，則\(a=\)　　　。
[解答]
參考看看~
令\( f(u)=sin u+a cos u \)對稱於\( \displaystyle u=-\frac{\pi}{4} \)，則\( \displaystyle f(-\frac{u}{4}+u)=f(-\frac{\pi}{4}-u) \)

\( \displaystyle \Rightarrow sin(-\frac{\pi}{4}+u)-sin(-\frac{\pi}{4}-u)=a \cdot [cos(-\frac{\pi}{4}-u)-cos(-\frac{\pi}{4}+u)] \)

\( \displaystyle \Rightarrow 2 cos(-\frac{\pi}{4})sin u=-2 a sin(-\frac{\pi}{4})sin(-u) \)

\( \displaystyle \Rightarrow a=cot(-\frac{\pi}{4})=-1 \)

作者: martinofncku 時間: 2013-9-4 15:29 標題: 回復 28# airfish37 的帖子

請教老師，是如何知道\( f(u)=sinu + acosu \)?

作者: tsusy 時間: 2013-9-4 21:09 標題: 回復 29# martinofncku 的帖子

兩倍角公式，但記號應該稍微注意一下，不要重複用 \( f \)

作者: martinofncku 時間: 2013-9-5 00:08 標題: 回復 30# tsusy 的帖子

不好意思，還是不懂，可以麻煩老師再多說明一下嗎?
還有，填充 1 ，我是用建立座標系算出來的，想知道較佳的算法。

填充1.
設\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，直線\(L\)過\(G\)且分別交\(\overline{AB}\),\(\overline{BC}\)於\(M,N\)。若\( \vec{BM}=a \vec{BA} \)，\( \vec{BN}=b \vec{BC} \)(其中\(a>0\)，\(b>0\))，則\(ab\)的最小值為　　　。

作者: weiye 時間: 2013-9-5 08:08 標題: 回復 31# martinofncku 的帖子

你可以先看一下 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1652&page=3#pid8927 回覆的前半段就是了。（令\(u=2x\)）

作者: weiye 時間: 2013-9-5 08:21 標題: 回復 31# martinofncku 的帖子

填充第 1 題：
填充1.
設\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，直線\(L\)過\(G\)且分別交\(\overline{AB}\),\(\overline{BC}\)於\(M,N\)。若\( \vec{BM}=a \vec{BA} \)，\( \vec{BN}=b \vec{BC} \)(其中\(a>0\)，\(b>0\))，則\(ab\)的最小值為　　　。
[解答]
設 \(\overline{AC}\) 的中點為 \(D\)，

則 \(\displaystyle \vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{BD}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{BA}+\frac{1}{2}\vec{BC}\right)=\frac{1}{3}\vec{BA}+\frac{1}{3}\vec{BC}=\frac{1}{3a}\vec{BM}+\frac{1}{3a}\vec{BN}\)

因為 \(G,M,N\) 共線，所以 \(\displaystyle \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}=1\)

由算幾不等式，可知 \(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{3a}\cdot\frac{1}{3b}}\Leftrightarrow ab\geq\frac{4}{9}\)

且當 "\(=\)" 成立時， \(\displaystyle a=b=\frac{2}{3}\)

因此，\(ab\) 的最小值為 \(\displaystyle\frac{4}{9}.\)

作者: martinofncku 時間: 2013-9-5 12:16

想請教老師是非題 2、3，兩題的做法。

是非題2.
長短軸頂點、中心點、兩焦點，這7點之中有可能給三個點就決定橢圓。

是非題3.
設\( x \in R \)，\( |\; 2x-3 |\;+|\; x-5 |\; \le |\;x+2 |\; \)恆成立，則\( (2x-3)(x-5) \le 0 \)。

作者: eyeready 時間: 2016-1-10 17:17

請教各位老師，是非第五題想法！

是非5.
設\(a,b \in R\)，已知\( -3<a<5 \)且\( -7<b<1 \)，則存在實數\(a\)、\(b\)使得\(a+b+ab=12\)。

作者: tsusy 時間: 2016-1-10 17:54 標題: 回復 36# eyeready 的帖子

是非5. 分解(好像也有人稱強迫分解)

\( a+b+ab = (a+1)(b+1)-1\)

作者: eyeready 時間: 2016-1-10 20:35 標題: 回復 37# tsusy 的帖子

謝謝tusy大大！簡單清楚，自已用根與係數反而更複雜！

作者: cut6997 時間: 2021-3-11 08:10

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-17 22:39 發表
計算題第 2 題：

令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)

則

\(\displaystyle \overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(7-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(6-t\right)^2+\left(3-\left(3-2t\right)\right)^2}+\sqrt{\left(5-\l ...

想請問老師，此題目能將所求PA+PB改為比例不相同嗎?
例如: 2PA+3PB

亦即是想請問
若一有條件限制之動點P，至兩定點A、B之不同比例距離和的極值問題，該如何處理?

作者: satsuki931000 時間: 2021-3-11 09:44 標題: 回復 39# cut6997 的帖子

若一有條件限制之動點P，至兩定點A、B之不同比例距離和的極值問題，該如何處理?

以下純粹個人臨時想法

如果是平面的情形,給定A,B兩定點且一動點P, 要求\(\displaystyle m\overline{PA}+n\overline{PB}\)的極值
因為平面上所有滿足\(\displaystyle \overline{PA}:\overline{PB}=n:m\)的動點P軌跡為一個圓
所以可以用圓的參數式,直接參數式假設P,硬算\(\displaystyle m\overline{PA}+n\overline{PB}\)的極值
不過這方法看起來很難算就是了如果改成平方就有可行的空間了

空間的話應該就是軌跡是一個球,球座標爆下去做吧,不過感覺也是很難做.....

淺見分享有錯還請指教

作者: cut6997 時間: 2021-3-11 17:02

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2021-3-11 09:44 發表
若一有條件限制之動點P，至兩定點A、B之不同比例距離和的極值問題，該如何處理?
以下純粹個人臨時想法
如果是平面的情形,給定A,B兩定點且一動點P, 要求\(\displaystyle m\overline{PA}+n\overline{PB}\)的極值
因為平 ...

老師您好，小弟就是卡在參數式造完後
初步試了一下基礎的方法，微分處理不掉根號，算幾和科西似乎也沒辦法消出定值
然後就卡住了
百度文庫有一則平面上二次曲線動點與兩定點的整理
https://wenku.baidu.com/view/fc3242184431b90d6c85c737.html
其中距離和、差與對應的限制動點，有時需要一定的轉化
所以才想問這類題若加入不同之係數後，是否可以計算

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