Math Pro 數學補給站

標題: 102南科實中 [打印本頁]

作者: drexler5422 時間: 2013-6-17 13:22 標題: 102南科實中

大家來看看吧~~~
如果有去考的分享一下計算題吧~~~

附件: 102南科實中.pdf (2019-3-2 07:17, 201.37 KB) / 該附件被下載次數 12902
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1783&k=c2e32f87aa9e9c877a286bd914b7af02&t=1732275950

作者: drexler5422 時間: 2013-6-17 15:14 標題: 回復 1# drexler5422 的帖子

1.
設\(a\)為正數且\(a\ne 1\)，則指數函數\(y=a^x\)與對數函數\(y=log_ax\)的圖形會有　　　個交點。(試將所有可能的答案寫出，全對始計分)

我想問一下第一題為什麼會有三個交點?

作者: ichiban 時間: 2013-6-17 15:19 標題: 回復 2# drexler5422 的帖子

https://www.google.com.tw/search ... lla:zh-TW

瑋岳學長講的
點下去第一個
看第一段就是結論~
有興趣再詳看~

作者: dav 時間: 2013-6-17 16:18

第一題好像是這樣
有錯請告知，感謝><
\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1000^2}} \)

\( \displaystyle =\sum_{k=1}^{999}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=\sum_{k=1}^{999} \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}} \)

\( \displaystyle =\sum_{k=1}^{999} \sqrt{\frac{(k^2+k+1)^2}{k^2(k+1)^2}}=\sum_{k=1}^{999}\frac{k^2+k+1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{999} \left( 1+\frac{1}{k(k+1)} \right)=999 \frac{999}{1000} \)

作者: drexler5422 時間: 2013-6-17 16:41 標題: 回復 3# ichiban 的帖子

感謝你的回應~~~

作者: drexler5422 時間: 2013-6-17 16:44

大家看看計算七
有錯說一下嚕~~~~

證明：\( n \in N \)，\( \displaystyle 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}\le 2 \)
PF：
∵\( \displaystyle 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\ldots+\frac{1}{(n-1) \times n}+ \)
且\( \displaystyle 1+\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\ldots+\frac{1}{(n-1) \times n}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}\le 2 \)
∴\( n \in N \)，\( \displaystyle 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}\le 2 \)

作者: ilikemath 時間: 2013-6-17 17:12

請教填充6
我一開始想用點到橢圓的距離
但想不下去了
謝謝

作者: dream10 時間: 2013-6-17 17:49

引用:

原帖由 drexler5422 於 2013-6-17 04:49 PM 發表
這一題想要請教大家一下~~~~

你的題目好像有錯~~

計算2
請參考如下網址
(96學年度中山大學雙週一題第一學期第三題)
https://math.pro/temp/qq53.pdf
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/3ans.pdf

作者: shiauy 時間: 2013-6-17 19:26

數值有錯請告知

以下提供個人的解法提示
#1
\[\sqrt {1 + \frac{1}{{{k^2}}} + \frac{1}{{{{(k + 1)}^2}}}} = \sqrt {{{(1 + \frac{1}{{k(k + 1)}})}^2}} = 1 + \frac{1}{{k(k + 1)}}\]
#5
\[\frac{{{x_n}}}{{{{( - 1)}^n}}} = - 3 \cdot \frac{{{x_{n - 1}}}}{{{{( - 1)}^{n - 1}}}} + 2,let{\rm{ }}{y_n} = \frac{{{x_n}}}{{{{( - 1)}^n}}}\]
#6
我是用旋轉，以L為軸，將Q旋轉至P、L所在的平面
其他作法可參考信欣茗數學園地
#7
\[\frac{1}{{{n^2}}} < \frac{1}{{n(n - 1)}} = \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}\]
99基隆高中考過類似的，是證明3次方的情形

附件: 南科實中102學年度教師甄選數學科計算題.pdf (2013-6-18 20:25, 141.18 KB) / 該附件被下載次數 12101
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1789&k=52944c2403d1fe44152f576cc477331c&t=1732275950

作者: mathelimit 時間: 2013-6-17 19:46 標題: 想問填充6 和計算3

想問填充6 和計算3 這兩題完全沒有頭緒 = =+

作者: zeratulok 時間: 2013-6-17 20:01

引用:

原帖由 shiauy 於 2013-6-17 07:26 PM 發表
數值有錯請告知
另外第六題數值有人記得嗎？

一心老師，第三題數據不是這樣喔〜
分子第二個括號內是x^2n +x

作者: salbaer 時間: 2013-6-17 20:20 標題: 計三

分成0~1跟1~2分別討論函數，再去積分

作者: salbaer 時間: 2013-6-17 20:34 標題: 填六

6.
設\( \displaystyle f(\theta)=\left(\frac{3}{2}-2cos\theta \right)^2+(3-sin \theta)^2 \)，則當\(sin 2 \theta=\)　　　時，\(f(\theta)\)有最小值。

看成\(\displaystyle A(\frac{3}{2},3)\)到橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1\)的最短距離，設切點\((2cos\theta,sin\theta)\)，則切線\(cos\theta x+2sin\theta y=2\)，過\(A\)與切線垂直的方程式為\(2sin\theta x-cos\theta y=3sin\theta-3cos\theta\)，切點帶入可得\(sin\theta cos\theta=sin\theta-cos\theta\)，由\(cos\theta^2+sin\theta^2=(sin\theta-cos\theta)^2+2sin\theta cos\theta\)
，\((sin\theta cos\theta)^2+sin\theta cos\theta=1\)，則\(sin2\theta^2+4sin2\theta-4=0\)，\(sin2\theta=-2\pm2 \sqrt{2}\)(負不合)

作者: dav 時間: 2013-6-18 15:10

這第六題～我覺得此方式還蠻簡當明瞭的，可參考看看

有問題也要讓我知道唷~謝謝

圖片附件: 1.jpg (2013-6-18 19:03, 59.32 KB) / 該附件被下載次數 5360
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1795&k=e459768fd82f81815d873b78be97df4f&t=1732275950

作者: dav 時間: 2013-6-18 19:04

引用:

原帖由 thepiano 於 2013-6-18 06:39 PM 發表

第三行有問題

哈~少打一個負號~已修正
感謝鋼琴老師~

作者: shiauy 時間: 2013-6-18 19:46

有人可以把計算第三詳細的寫出解法嗎？微積分有點生疏了
極限積分交換後要怎麼處理？

作者: tsusy 時間: 2013-6-18 19:53 標題: 回復 17# shiauy 的帖子

一心兄，你被欺騙了... 這題沒有要做極限交換

就 \( f(x) \) 在 \( (0,1) \) 和在 \( (1,2) \) 的極限直接算出來就好了

然後很 Easy 地積分

作者: dream10 時間: 2013-6-18 19:58

計算第三答案是7/6

[ 本帖最後由 dream10 於 2013-6-19 01:21 AM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2013-6-18 20:14 標題: 回復 11# zeratulok 的帖子

計算 3. 找到的考古題，所以 #11 樓的說法很可能正確，因為常常都不改數字的

\( \int_{0}^{2}\lim\limits _{n\to\infty}\frac{(2-x)(x+x^{n})}{1+x^{n}}dx \) 之值為 ________。 (99彰化女中、99中正預校)

如果是這組數字，答案的確是 \( \frac76 \)

解. \( \frac{x+x^{n}}{1+x^{n}}\to\begin{cases}
1 & ,\,x>1\\
x & ,\,0<x<1
\end{cases} \) as \( x \to \infty \) 之後積分，即得 \( \frac76 \)。

作者: thepiano 時間: 2013-6-18 20:39

出題教授有努力的把 n 次方改成 (2n)次方啦

不過答案都一樣

作者: airfish37 時間: 2013-6-21 14:51

感謝一心老師提供試題：
填充7 我是用黎曼下和與積分去看
\( \displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}<1+\int_1^n \frac{1}{x^2}dx=1+(1-\frac{1}{n})=2-\frac{1}{n}<2 \)

作者: Herstein 時間: 2013-7-14 21:34

請問一下填充第2題，謝謝!

作者: weiye 時間: 2013-7-14 22:32 標題: 回復 22# Herstein 的帖子

填充第 2 題：
設有\(A\)、\(B\)、\(C\)三艘渡船，每艘一次至多可搭載四人且不得有空船。今有六人欲同時乘船渡河，其中恰有一對夫婦，若欲安全過渡，且該夫婦又必須同船過渡，則有　　　種過渡法。

按兩夫妻另與 \(0,1,2\) 人同船的三種情況，都先分成三堆，再對應到三艘船：
\(\displaystyle\left(C^4_0\left(2^4-C^2_1\cdot 1^4\right)\cdot\frac{1}{2}+C^4_1\left(2^3-C^2_1\cdot 1^3\right)\cdot\frac{1}{2}+C^4_2\left(2^2-C^2_1\cdot 1^2\right)\cdot\frac{1}{2}\right)\cdot3!=150\)

作者: anyway13 時間: 2016-9-2 00:35 標題: 填充3

請問版上的老師填充3要怎麼對\(AC\)線段積分? 怎樣都積不到\(\displaystyle \frac{224\pi}{15}\)? 謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-9-2 09:28 標題: 回復 24# anyway13 的帖子

填充第3題
將拋物線\(y=x^2\)與兩鉛直線\(x=0\)、\(x=2\)、以及\(x\)軸所圍成的陰影區域，繞直線\(AC\)旋轉一周後之旋轉體的體積=　　　。(其中\(C\)點坐標為\((0,4)\))

\(\displaystyle \pi \int_{0}^{2}{{{4}^{2}}}dx-\pi \int_{0}^{2}{{{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx\)

作者: anyway13 時間: 2016-9-3 00:01 標題: 回復 25# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師,終於懂了!

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0