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標題: 102明倫高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2013-6-13 23:37 標題: 102明倫高中

　

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作者: tuhunger 時間: 2013-6-14 13:48

引用:

原帖由 bugmens 於 2013-6-13 11:37 PM 發表
　

第6,7題答案給錯了 (顛倒了)
這份考題本人認為不錯,
都是考一些高中觀念的應用!

作者: drexler5422 時間: 2013-6-16 22:39 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

想請教大家，其中有一題三角形三邊平方和大於等於4根號3倍的三角形面積要如何證明?

作者: tsusy 時間: 2013-6-16 22:50 標題: 回復 3# drexler5422 的帖子

剛好逛到這個證明法蘭克的數學世界外森比克(Weitzenböck's)不等式

101 台師大數學系的甄試也考過此題，題目如下：
設 \( \triangle ABC \) 的三邊長分別為 \( a, b, c \)，而 \( \triangle \) 是此三角形的面積。試證：

(a) \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)
(b) \( \sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C\leq\frac{9}{4} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-16 10:58 PM 編輯 ]

作者: drexler5422 時間: 2013-6-16 23:31 標題: 回復 4# tsusy 的帖子

感謝寸絲大大~~~
我弄懂第一題了

作者: weiye 時間: 2013-6-16 23:39 標題: 回復 5# drexler5422 的帖子

補上 Weitzenböck 不等式的其他證明方法供參考： https://math.pro/db/viewthread.php?tid=666&page=1#pid1089

作者: tsusy 時間: 2013-6-16 23:51 標題: 回復 6# weiye 的帖子

那我也補個證明好了：

先證 \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq\frac{4}{3}s^{2} \)，其中 \( s =\frac{a+b+c}{2} \)。

由柯西不等式有 \( \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)(1+1+1)\geq(2s)^{2}=4s^{2} \)，再除以 3 即得上式。

\( a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{4s^{2}}{9}\geq4\sqrt{\frac{2}{3}sabc} \) (算幾)。

由算幾不等式有 \( a=s-b+s-c\geq2\sqrt{(s-a)(s-b)}, b\geq2\sqrt{(s-a)(s-c)}, c\geq\sqrt{(s-a)(s-b)} \)。

因此 \( \frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq4\cdot\sqrt{\frac{16}{3}}\triangle \) (海龍公式) \( \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)。

作者: tuhunger 時間: 2013-6-18 00:28 標題: 第1,2,3,...,8題

獻醜

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2013-6-18 08:28 AM 編輯 ]

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作者: tuhunger 時間: 2013-6-18 00:44 標題: 第12,15題

請教高手, 16題怎下手呢?

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作者: tsusy 時間: 2013-6-18 08:21 標題: 回復 8# tuhunger 的帖子

第 4 題. \( \vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CP} \) 而 \( \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} \)，且 \( \overline{CP} \perp \overline{AB} \)

故 \( \vec{OP} \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB})\cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac12(\overline{OA}^2 - \overline{OB}^2) = 6 \)

作者: panda.xiong 時間: 2013-6-20 17:09

請問各位高手第 9 , 16 , 17如何解?其中17要如何解釋比較OK啊?

作者: thepiano 時間: 2013-6-20 19:55

第 9 題
令 f(x) = 3x^4 - 4mx^3 + 1
f'(x) = 12x^3 - 12mx^2 = 0
x = m or 0 時，f(x) 有極值

f(0) = 1 ＞ 0
由於 f(x) = 0 無實根，故 f(x) 恆正

f(m) = -m^4 + 1 ＞ 0
-1 ＜ m ＜ 1

作者: Jacob 時間: 2013-7-7 20:17 標題: 只剩下第16題了

只剩下第16題還沒算出來，請各位高手幫忙了，感謝!

作者: weiye 時間: 2013-7-7 20:41 標題: 回復 13# Jacob 的帖子

第 16 題：

邊長為 \(\sqrt{2}\) 的正三角形有 \(8\times8=64\) 個

邊長為 \(2\sqrt{2}\) 的正三角形有 \(8\) 個

邊長為 \(\sqrt{6}\) 的正三角形有 \(8\) 個

正三角形共有 \(64+8+8=80\) 個，\(k=80\)

邊長為 \(\sqrt{2}\) 的正四面體有 \(2\times8=16\) 個

邊長為 \(2\sqrt{2}\) 的正四面體有 \(2\) 個

正四面體共有 \(16+2=18\) 個，\(t=18\)

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作者: Jacob 時間: 2013-7-8 08:09 標題: 回復 14# weiye 的帖子

感謝瑋岳大的幫忙，這份終於結束了！

作者: meifang 時間: 2013-7-15 15:22 標題: 回復 8# tuhunger 的帖子

想請問一下第五題和第十題
第五題我看了老師的寫法
但還是不懂為什麼原本的三角形面積和以中線為三邊的三角形面積有倍數關係
第十題是用x=-1代入算嗎? 應該不是用這個方法吧?
謝謝!!

作者: thepiano 時間: 2013-7-15 15:49

第 10 題
代進去 OK 啦
-2 * 5^7 - 4 * 5^6 + 61 * 5^5 + ...
= (-50 - 20 + 61) * 5^5 + ...
= -9 * 5^5 + ... 往下合併

作者: meifang 時間: 2013-7-16 20:17 標題: 回復 18# thepiano 的帖子

喔~真的ㄟ只要整理一下是可以算的
我考試的時候真的一個一個算果然算錯

作者: anyway13 時間: 2016-8-9 01:46 標題: 請問第十一題的第三小題

請問版上的老師,這一分第十一題的第三小題

在問兩變數x,y的相關係數為何? 請問是指回歸線y=-4/5x+18的斜率嗎?

如果是這樣,依據數學101 p322 和 p323 相關係數和回歸線b的公式(分母不同)

使用x,y的相關係數的基本定義下去算 r=0.5.(和答案-4/5不同) 這樣是不是我觀念弄錯了

還是題目是要用斜率的觀念去解釋! 謝謝指教!

作者: thepiano 時間: 2016-8-9 09:12 標題: 回復 19# anyway13 的帖子

\(b=r\times \frac{{{S}_{y}}}{{{S}_{x}}}\)
而這題的\({{S}_{x}}\)和\({{S}_{y}}\)恰好相等

作者: anyway13 時間: 2016-8-9 10:29 標題: 回復 20# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師,是我把相關係數算錯了, 感謝指正!

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