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標題: 例題:多項式方程式根與係數的關係,應用例題 [打印本頁]

作者: weiye    時間: 2007-1-25 00:44     標題: 例題:多項式方程式根與係數的關係,應用例題

引用:
x^3-3x-4=0之三根為a,b,c,求(a-b)(b-c)(c-a)之值?
我下面的過程,原理很簡單,可是手續很繁雜,僅供參考,拋磚引玉,期待其他人更短的解答!

x^3-3x-4=0之三根為a,b,c ,由根與係數關係(Viète's formulas)可得

a+b+c = 0
ab+bc+ca=-3
abc=4

另外還有的關係式有
(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4

以及
a^3-3a-4=0
b^3-3b-4=0
c^3-3b-4=0


((((下面進入主題))))

第一區塊

由於 a+b+c=0 ,

所以 -a=b+c, -b=a+c, -c=a+b

因此

本題所求=
(a-b)(b-c)(c-a) = (a+(a+c)) (b+(a+b))(c+(b+c))
         = (2a+c)(2b+a)(2c+b) ....................*


第二區塊

本題所求=
(a-b)(b-c)(c-a) = (a+b+c-(2b+c))(a+b+c-(2c+a))(a+b+c-(2a+b))
        = (0-(2b+c))(0-(2c+a))(0-(2a+b))
         = -(2b+c)(2c+a)(2a+b) ....................**


由 * 跟 ** 的相乘,可得

(本題所求)^2=
((a-b)(b-c)(c-a))^2 = -(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b)
          ..............................................***

第三區塊

利用 (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4
將 x 以 -2a 帶入可得 -3a(2a+b)(2a+c) = (-2a)^3-3(-2a)-4
                  = -8a^3+6a-4
(利用a^3-3a-4=0 將 a^3=3a+4 帶入)   = 18(-2-a)

將上式左右同除 -3a
可得 (2a+b)(2a+c) = 18(-2-a) / (-3a)

同理,將以上步驟改成將 x 以 -2b 帶入,可得
= 18(-2-b) / (-3b)

同理,將以上步驟改成將 x 以 -2c 帶入,可得
(2c+a)(2c+b) = 18(-2-c) / (-3c)

將以上三式相乘,可得
(2a+b)(2a+c)(2b+a)(2b+c)(2c+a)(2c+b) = (18^3)*(-2-a)(-2-b)(-2-c) / (-27abc)
                  = (18^3)*((-2)^3-3(-2)-4) / (-27*4)
                  = 18^2

上式帶入 *** ,可得
(本題所求)^2=
((a-b)(b-c)(c-a))^2 = -(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b)
            = -18^2

所以,本題所求 = (a-b)(b-c)(c-a) = ±18 i

(你沒看錯,有 i ~是虛數~)




再補充一下正負兩個都是答案的原因

設 x^3-3x-4=0 實際解出之後的三根為 x1,x2,x3 ,


若取 a = x1, b=x2, c=x3 ,則
(a-b)(b-c)(c-a) = (x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)

若取 a = x1, b=x3, c=x2 ,則
(a-b)(b-c)(c-a) = (x1-x3)(x3-x2)(x2-x1)
         =-(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)

a,b,c 取值不同可能剛好導致有負號差異(剛好對調奇數次),
所以 18 i 與 -18 i 都是答案。

原討論串在: http://www.student.tw/db/showthread.php?t=96491




另一種解法:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13822

      (推廣:『設 p, q 是實數,且 a,b,c 是 x^3+px+q=0 的三根,則判別式=[(a-b)(b-c)(c-a)]^2=-4p^3-27q^2』)
作者: Ellipse    時間: 2014-5-30 15:41

剛好搜尋到這個主題
假設x=a,b,c為x^3+px+q=0的三根
證明:   (a-b)²(b-c)²(c-a)²= -4p^3-27q²
應該會有比較精簡的證法

您們想看嗎?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-30 03:42 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2014-5-30 16:58     標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

看到橢圓兄說有個精簡的證法,不禁想起我上次做的真是慘不忍堵

再想想,我也想一個好方法,哈~今日之我,已非昨日,我用做其它教甄題的方法

98師大附中:設 \( f(x)=x^{12}+7x^{11}+1 \), \( x_{1},x_{2},\ldots,x_{12} \) 為 \( f(x)=0 \) 的 12 個相異根,則 \( \prod\limits _{i=1}^{12}(x_{i}^{2}-x_{i}+1)=\underline{\qquad\qquad} \)。

令 \( f(x) = x^3+px +q \), \( a,b,c \) 為 \( f(x) = 0 \) 之三根,以上題的方法計算 \( f'(a)f'(b)f'(c) = - (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \) 的值
(原本想說,要和橢圓兄一樣走神秘路線,但還是補點東西,以免看不懂)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-31 02:01 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2014-5-30 17:16

寸絲的寫法越來越高深
小弟有時都要看許久~
的確這題若放在教甄證明題,一定慘不忍睹
還記得往年有一陣子很愛考這題計算題(給數據)
後來這考題就慢慢消失了
剛看原發文是在2007年weiye兄po的
距今也7年了~
作者: Ellipse    時間: 2014-5-30 18:14

寸絲利用微分這個想法不錯~
那小弟也給點提示好了~不要弄得太神祕~
小弟用的方法是"凡得爾夢行列式"
作者: hua0127    時間: 2014-5-30 18:25     標題: 回復 4# Ellipse 的帖子

其實小弟還挺喜歡思考各位高手們的一些想法~
剛看到寸絲兄PO的神想法就馬上拿筆算了一下,
只能說怎麼會想到要這樣去做(思索中)XD~~又學了一招~

小弟來個延伸反思,所以這個題目這樣下去,
\({{\left( a-b \right)}^{n}}{{\left( b-c \right)}^{n}}{{\left( c-a \right)}^{n}}\) 都可以透過\({{\left( a-b \right)}^{2}}{{\left( b-c \right)}^{2}}{{\left( c-a \right)}^{2}}\)的值反求
若\(n\)為奇數,如weive老師所說,答案應該有兩個並且都合,
若\(n\)為偶數,直接用\({{\left( a-b \right)}^{2}}{{\left( b-c \right)}^{2}}{{\left( c-a \right)}^{2}}\)的值做運算即可,
這樣的結論不知有沒有什麼遺漏?
作者: whzzthr    時間: 2015-6-14 12:44

可以跟橢圓老師 請教你的證明嗎
謝謝
作者: cefepime    時間: 2015-6-17 23:57

x³ - 3x - 4 = 0 之三根為 a, b, c, 求 (a-b)(b-c)(c-a) 之值。

我利用乘法公式來試解這題。

p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω) ; ω = (-1+√3 i)/2

由於本題根的排列順序不同,可得兩個等值異號的所求值,因此可任擇一順序,最後再掛 "±"。

由上式,知 x 的三次方程: x³ - 3qrx + (q³ + r³) = 0 之三根為 -q-r,-qω-rω²,-qω²-rω;
在本題 qr = 1,q³ + r³ = - 4,則 q³ - r³ = ±√[(- 4)² - 4] = ± 2√3

  (a-b)(b-c)(c-a)

= (qω-q+rω²-r)(qω²-qω+rω-rω²)(q-qω²+r-rω)   [以下三個"(...)"依序分別提出(ω-1),ω(ω-1),(ω-1)]

= ω(ω-1)³(q+rω+r)(q-r)(-q-qω-r)

= ω(ω-1)³(q-rω²)(q-r)(qω²-r)   [以下最後一個"(...)"提出ω²]

= (ω-1)³(q-rω²)(q-r)(q-rω)

= (ω-1)³(q³ - r³)    [直接乘,或用公式: q³ - r³ = (q-r)(q-rω)(q-rω²) ]

= (ω-1)³ * 2√3 (取一即可)

= 6√3*(-ω²+ω)

= 6√3*(√3 i)

= 18 i

故所求 = ±18 i


[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-6-18 04:05 PM 編輯 ]
作者: 瓜農自足    時間: 2015-6-18 23:16

『設 p, q 是實數,且 a,b,c 是 x^3+px+q=0 的三根,則判別式=[(a-b)(b-c)(c-a)]^2=-4p^3-27q^2』
嘗試用凡德夢行列式,終於做出結論,要用到det(AB)=det(A)*det(B)
\({{\left( a-b \right)}^{2}}{{\left( b-c \right)}^{2}}{{\left( c-a \right)}^{2}}\)
=\(det
\left (\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{array} \right)  *
det
\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right)
\)
=\(det
\left(\begin{array}{ccc}
3 & s_1 & s_2 \\
s_1  & s_2 &  s_3 \\
s_2 &  s_3 &  s_4
\end{array}\right)
\)
=\(det
\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & -2p \\
0  & -2p &  -3q \\
-2p &  -3q &  2p^2
\end{array}\right) \)

\(Hence, result. \)
其中\(s_1=a+b+c, \;s_2=a^2+b^2+c^2,\; s_3=a^3+b^3+c^3,\; s_4=a^4+b^4+c^4 \)
橢圓兄的招都頗巧

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2015-6-18 11:34 PM 編輯 ]
作者: tzhau    時間: 2015-6-19 23:39     標題: 小弟拙見

小弟覺得根與係數比較和藹可親

圖片附件: 77589.PNG (2015-6-19 23:39, 39.38 KB) / 該附件被下載次數 1188
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2950&k=3b19b256f158fe89901c68c2a155579e&t=1573841002


作者: whzzthr    時間: 2015-6-25 13:20

謝謝  cefepime老師 瓜農自足老師  tzhau老師的解答!!

tzhau老師的解答 我看懂了 但我還是想學

cefepime老師  你的方法
我利用乘法公式來試解這題。

p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω) ; ω = (-1+√3 i)/2    (我記的這公式不是長這樣  你是把w帶入得到左式的嗎)

由於本題根的排列順序不同,可得兩個等值異號的所求值,因此可任擇一順序,最後再掛 "±"。  (這是怎麼想的)

由上式,知 x 的三次方程: x³ - 3qrx + (q³ + r³) = 0 之三根為 -q-r,-qω-rω²,-qω²-rω;   (不懂為何可以改成左邊的方程式)
在本題 qr = 1,q³ + r³ = - 4,則 q³ - r³ = ±√[(- 4)² - 4] = ± 2√3你的   (從這開始都懂了)

瓜農自足老師   可以跟你問一下
你的s_4=a^4+b^4+c^4=2p^2 是如何得到的  其他我都看懂了

小弟剛來版上學習  若問的問題太簡單 希望各位老師包含一下  謝謝各位老師
作者: cefepime    時間: 2015-6-25 18:49     標題: 回復 11# whzzthr 的帖子

p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω) ; ω = (-1+√3 i)/2
這個公式是不久前書上看到的,剛好這個題目浮上來,聯想到可以利用之。

至於怎麼導出它,書上沒提(當然乘開即知成立),不過應該可以:
p³ + q³ + r³ - 3pqr
= (p + q + r)(p² + q² + r² - pq - qr - rp)  (這個公式應該很常見)
= (p + q + r) [p² - (q + r)p + (q² + r² - qr)] (把後式整理為 p 的一元二次式型態)
以下套用一元二次方程式的公式解 p,即得 p = -qω-rω² 或 -qω²-rω
所以 p² + q² + r² - pq - qr - rp = (p+qω+rω²)(p+qω²+rω),完成。

" 由於本題根的排列順序不同,可得兩個等值異號的所求值,因此可任擇一順序,最後再掛 "±"。  "
因為減法沒有交換律,這個應該會想到。如果題目是一元二次方程式的兩根,應該很明朗吧! 可參考一樓 weiye 老師最後部分的說明。

" 由上式,知 x 的三次方程: x³ - 3qrx + (q³ + r³) = 0 之三根為 -q-r,-qω-rω²,-qω²-rω "
把最上面公式的 p 改寫為習慣上的 x,左式視為 x 的一元三次式,右式視為該三次式的因式分解,就可以得到這個結論了。
作者: whzzthr    時間: 2015-6-25 21:15

先謝謝cefepime老師 那麼快就回復了

再謝謝cefepime老師 那麼詳細的解說  我終於了解了
這方法沒你講解  是不可能想得出來  小弟只能"跪著佩服"你能想出這解法

再次謝謝cefepime老師
作者: 瓜農自足    時間: 2015-7-8 18:19     標題: 回復 11# whzzthr 的帖子

把方程推高一次方,再各代根得三等式,再用已知值就推的出來了。
作者: peter0210    時間: 2018-7-14 11:38

有錯再請各位大師指正,謝謝

圖片附件: 未命名.jpg (2018-7-14 11:38, 93.73 KB) / 該附件被下載次數 504
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4632&k=6034954d9efc64612b9ed174df6234c9&t=1573841002






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