Math Pro 數學補給站

標題: 102 台南一中 [打印本頁]

作者: redik 時間: 2013-6-1 17:13 標題: 102 台南一中

目前南一中說計算第5題已經有修正了

也會重新閱卷，放上更新的版本

很抱歉有些題目記錯造成大家麻煩了囧

102.6.4補充
將數學科的題目和答案分割出來

附件: 102台南一中(修正版).rar (2013-6-4 18:14, 143.85 KB) / 該附件被下載次數 12673
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1749&k=ac02edbc8b34d684a59bee2eae921891&t=1732338214

作者: drexler5422 時間: 2013-6-1 17:50 標題: 回復 1# redik 的帖子

第4題是3a9b2/4736為一有限小數，求數對（a,b)=?
我算（7，6）不知道大家的答案是?

作者: bugmens 時間: 2013-6-1 18:14

6.
有一正三角形ABC，令D點為\( \overline{BC} \)邊上一點，則三角形ACD的內切圓半徑為三角形ABD內切圓半徑的兩倍，則請問\( \displaystyle \frac{\overline{BD}}{\overline{AB}}= \)？
[解答]
設正三角形ABC邊長為1，\( \overline{BD}=x \)，\( \overline{DC}=1-x \)
餘弦定理\( \overline{AD}=\sqrt{1^2+x^2-1 \cdot x \cdot cos 60^\circ}=\sqrt{x^2-x+1} \)
三角形ACD的內切圓半徑為\( 2r \)，三角形ABD內切圓半徑為r
\( \displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot (1+x+\overline{AD})\cdot r}{\frac{1}{2}\cdot (1+1-x+\overline{AD})\cdot 2r}=\frac{\Delta ABD}{\Delta ACD}=\frac{x}{1-x} \)

\( \displaystyle \frac{1+x+\sqrt{x^2-x+1}}{2(2-x+\sqrt{x^2-x+1})}=\frac{x}{1-x} \)

平方展開整理後得\( 8x^4-7x^3-2x^2+x=0 \)

\( x(x-1)(8x^2+x-1)=0 \)，\( \displaystyle x=0,1,\frac{-1\pm \sqrt{33}}{16} \)

\( \displaystyle \frac{\overline{BD}}{\overline{AB}}=\frac{\sqrt{33}-1}{16} \)

圖形很像的類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=913&page=1#pid1930

102.6.15補充
感謝YAG提醒，第二行分母少個2
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1628&page=4#pid8520

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-6-15 09:33 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2013-6-1 18:16 標題: 回復 1# redik 的帖子

填充 2. 眼花看錯，刪。答案是 \( 168^\circ \)

更新過的版本，題目不同，答案見 #17 老王老師

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-6 08:04 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2013-6-1 19:50 標題: 回復 1# redik 的帖子

第 5 題，有點難...答案是 \( 2 \ln 2 - 1 \)

主要要用到：假設 \( k,n\in\mathbb{N} \)，滿足 \( 1\leq k< n \)，則有以下：

存在正整數 \( m \)，使得 \( m+\frac{1}{2}\leq\frac{n}{k}<m+1\ \) 若且唯若 \( \left[\frac{2n}{k}\right]-\left[\frac{n}{k}\right]=1 \)。

如此可得到 \( \frac{n}{m+1}<k\leq\frac{n}{m+\frac{1}{2}} \) 時，兩個高斯的差是 1，其它時候，則為 0

也是說 111 都是連續 000也是連續...而 11連續的個數大約正比於 \( \frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m+2} \)

實際上的量是有高斯符號。但有高斯的和比較難算，要先算沒有高斯的，寫下來和交錯的調和級數很像(差2倍和2項)，也就是

\( \sum\limits _{m=1}^{n-1}\left(\frac{1}{m+\frac{1}{2}}-\frac{1}{m+1}\right)=2\sum\limits _{m=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m+2}\right) = 2\cdot\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right) \to 2 (\ln 2 -\frac12) = 2\ln 2-1 \)

嚴謹一點，應該個關於極限交換的定理，或許晚點再想想吧

-------------------補個證明-----------------------

假設 \( k,n\in\mathbb{N} \)，滿足 \( 1\leq k\leq n \)，則有「存在正整數 \( m \)，使得 \( m+\frac{1}{2}\leq\frac{n}{k}< m+1 \) 若且唯若 \( \left[\frac{2n}{k}\right]-2\left[\frac{n}{k}\right]=1 \) 。」

如此可得到 \( \frac{n}{m+1}<k\leq\frac{n}{m+\frac{1}{2}} \) 時，\( \left[\frac{2n}{k}\right]-2\left[\frac{n}{k}\right]=1 \)，否則即為 0。

故所求 \( =\sum\limits _{m=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\left[\frac{n}{m+\frac{1}{2}}\right]-\left[\frac{n}{m+1}\right]\right)=\sum\limits _{m=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\left[\frac{2n}{2m+1}\right]-\left[\frac{2n}{2m+2}\right]\right)=\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right] \)。

注意此級數交錯遞減，故 \( \sum\limits _{l=3}^{2x+1}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]\geq\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]\geq\sum\limits _{l=3}^{2x+2}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right] \)，對任意 \( x\in\mathbb{N} \)。

上式取極限 \( n\to\infty \)，可得 \( \sum\limits _{l=3}^{2x+1}\frac{(-1)^{l+1}}{l}\geq\limsup\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]\geq\liminf\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]\geq\sum\limits _{l=3}^{2x+2}\frac{(-1)^{l+1}}{l} \)。

而這個式子對任意 \( x\in\mathbb{N} \) 都成立，再取 \( x\to\infty \)，而得 \( 2\ln2-1\geq\ldots\geq2\ln2-1 \)。

故得 \( \limsup\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]=\liminf\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]=2\ln2-1 \)，故其有極限 \( 2\ln2-1 \)。

終於寫完了，我想我走火入魔了。期待高手出現，用個定理砸爛它，直接把這個證明給砸爛過去，

---2013.06.07 補充---

經 weiye 大師開導，此題應該使用黎曼和轉成積分。

令 \( f(x)=\begin{cases}
[\frac{2}{x}]-2[\frac{1}{x}] & ,\, x\neq0\\
0 & ,\, x=0
\end{cases} \)，則 \( f(\frac{k}{n})=
[\frac{2n}{k}]-2[\frac{n}{k}]
, for k,n\in\mathbb{N} \)，故所求極限即 \( \int_{0}^{1}f(x)dx \)。

注意 \( f(x)=1
\Leftrightarrow\exists n\in\mathbb{Z} \)，使得 \( n+\frac{1}{2}\leq\frac{1}{x}<n+1 \)。

因此 \( \int_{0}^{1}f(x)dx=\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+1}\right)=2\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\right)=2\sum\limits _{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-7 02:17 PM 編輯 ]

作者: simon112266 時間: 2013-6-1 20:14

引用:

原帖由 drexler5422 於 2013-6-1 05:50 PM 發表
第4題是3a9b2/4736為一有限小數，求數對（a,b)=?
我算（7，6）不知道大家的答案是?

小弟在考場上沒寫出來

剛剛算到3a9b2要是37倍數

37962=37*1026 OK (a,b)=(7,6)
30932=37*836 OK (a,b)=(0,3)

但是...要怎麼算37的倍數阿...

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-6-1 08:15 PM 編輯 ]

作者: lyingheart 時間: 2013-6-1 20:42 標題: 回復 6# simon112266 的帖子

\( 37 \times 3=111 \)
\( 111 \times 9=999 \)
所以 999 是 37 的倍數，於是 37 倍數的判別法為三位一節然後相加。

\( 3a9b3=3a+9b2 \)
\( 932 \le 3a+9b2 \le 1031 \)
在此範圍內的 37 的倍數只有 962,999 兩個，故得此兩組答案。

作者: simon112266 時間: 2013-6-1 23:37

填充2怎麼算阿...
我研究了一個小時了QAQ

計算第2.3請參考
我覺得我第二題不完整= =

2.
若\( a+b i \)為根則\( a-bi \),\( 1-a-bi \),\( 1-a+bi \),\( \displaystyle \frac{a+bi}{a^2+b^2} \),\( \displaystyle \frac{a-bi}{a^2+b^2} \)為根
k為根則\( 1-k \),\( \displaystyle \frac{1}{k} \)為根，\( \displaystyle k,1-k,\frac{1}{k} \)只有至多2個相同。
\( \Rightarrow \)3實根2虛根
虛根部份：\( a=1-a \)則\( \displaystyle a^2+b^2=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
虛根\( \displaystyle \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \Rightarrow (x^2-x+1)=0 \)
實根部份：若\( \displaystyle k=\frac{1}{k},k=1 \Rightarrow 1,0,1 \)為根\( \Rightarrow \frac{1}{0} \)為根(不合)
　　　　　若\( \displaystyle k=1-k,k=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2},\frac{1}{2},2 \)為根\( \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2},2,-1 \)為根
\( \displaystyle f(x)=(x^2-x+1)(x-\frac{1}{2})(x-2)(x+1) \)

3.
\( f(x)=ax^2+bx-a^2=(x-\alpha)(x-\beta) \)
\( \displaystyle \Rightarrow \alpha+\beta=\frac{-b}{a} \)，\( \alpha \beta=-a \Rightarrow b=\alpha \beta(\alpha+\beta)=\alpha^2 \beta+\alpha \beta^2 \)
又\( a>0 \)故\( \alpha,\beta \)異號，設\( \beta>0 \),\( \alpha<0 \)
\( |\ \alpha |\ + |\ \beta |\ =2 \Rightarrow \beta- \alpha =2 \)，\( \alpha=\beta-2 \)代入b
\( b=(\beta-2)^2 \beta+(\beta-2) \beta^2=2 \beta^3-6 \beta^2+4 \beta \)
\( \displaystyle b=6 \beta^2-12 \beta+4=0 \Rightarrow 3\beta^3-6 \beta+2=0 \Rightarrow \beta=\frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{6}=1\pm \frac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \displaystyle (\alpha,\beta)=(-1+\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3}) \) or \( (-1-\frac{\sqrt{3}}{3},1-\frac{\sqrt{3}}{3}) \)代回b
得b最大值\( \displaystyle \frac{4}{9}\sqrt{3} \)　最小值\( \displaystyle -\frac{4}{9}\sqrt{3} \)

作者: tsusy 時間: 2013-6-2 20:57 標題: 回復 8# simon112266 的帖子

填充 2. 個人做法不好，就當獻醜，還有待其它高手解題。
(更新過的版本，題目不同，答案見 #17 老王老師)

畫圖觀察，猜測 \( P \) 在 \( \overline{AB} \) 的中垂線上，如果猜測正確，則有 \( \angle PAB = \angle PBA =6^\circ \)，因此所求 \( \angle APB = 168^\circ \)。

接下來我們來證明猜測，設 \( \overline{AB} = 1\)，我們僅須證明 \( \overline{PB}\cos 6^\circ =\frac12\)。

而 \( \triangle PBC \) 中，由正弦定理有 \( \overline{PB} = \frac{\sin 24^\circ}{\sin 54^\circ} \)。
( \( \angle PBC = 108^\circ - 6^\circ =102^\circ \Rightarrow \angle BPC = (180-102-24)^\circ =54^\circ \) )

因此 \( \overline{PB}\cos6^\circ = \frac{\sin24^\circ \cos 6^\circ}{\sin 54^\circ} \)。

令 \( x = \sin 18^\circ \)，由積化和差及三倍角公式可得 \( \overline{PB}\cos6^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac12+x}{3x-4x^3} \)。

實際上，\( x = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \) 或者用 \( 4x^2+2x^2-1 = 0 \) 化簡及可得 \( \overline{PB}\cos6^\circ = \frac12\)。

因此 \( P \) 在 \( \overline{AB} \) 的中垂線上，而有 \( \angle PAB = \angle PBA =6^\circ \Rightarrow \angle APB = 168^\circ \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-6 08:05 PM 編輯 ]

圖片附件: 102TainanFirt2.png (2013-6-3 10:08, 21.1 KB) / 該附件被下載次數 9545
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1742&k=e6dc061a21a22e45c12ca0d2a884e308&t=1732338214

作者: simon112266 時間: 2013-6-2 21:16

感謝寸絲老師

原來要猜測...這就不好猜了XD

另外 PBcos6=sin24cos6/sin54

應該是您打錯了

作者: tsusy 時間: 2013-6-2 21:35 標題: 回復 10# simon112266 的帖子

哈~的確是筆誤，但前兩行有正確的 \( 24^\circ \)，感謝指正。

至於是不是只能猜，我也不知道，只是未猜之前，我做不出來...所以只好猜了

還是慢慢等待神人出現好了

作者: ichiban 時間: 2013-6-3 10:12

那個計算第一題
我記得是問A^(n+2)－2A^(n+1)+A^n
好像第二項前面是負的

作者: zeratulok 時間: 2013-6-3 12:39 標題: 回復 12# ichiban 的帖子

題目的確是這樣，另外，正五邊形我記得是要求角PAC....

作者: smallwhite 時間: 2013-6-3 14:29

填充1、9組
填充3、45
填充6、6^10-6*5^10+15*4^10-20*3^10+15*2^10-6*1^10
計算5、a最小值40
請問有答錯嗎？

填充2、我也記得是求角PAC

作者: ahliang6897 時間: 2013-6-3 16:20

試題及答案在此

http://w3.tnfsh.tn.edu.tw/teacher_exam/index.asp

應該考不好吧

作者: smallwhite 時間: 2013-6-3 17:36 標題: 回復 15# ahliang6897 的帖子

感謝！沒發現有放答案在上面 ><

請教填充1、6，計算5

[ 本帖最後由 smallwhite 於 2013-6-3 06:19 PM 編輯 ]

作者: lyingheart 時間: 2013-6-3 19:21

填充二，原來題目不一樣
我們只要求出 \( \angle{PAB} \) 即可。
像這種題目可以這樣做
假設 \( \angle{PAB}=x \) ，那麼 \( \angle{PAE}=108^o-x \)

\(\displaystyle \frac{PE}{PA}=\frac{\sin (108^o-x)}{\sin 12} \)

\(\displaystyle \frac{PA}{PB}=\frac{\sin 6^o}{\sin x} \)

\(\displaystyle \frac{PB}{PE}=\frac{\sin 24^o}{\sin 30^o} \)

三式相乘會得到

\(\displaystyle \sin (108^o-x) \sin 6^o \sin 24^o=\sin 12^o \sin x \sin 30^o \)

\(\displaystyle \sin (108^o-x) \sin 6^o \sin 24^o=\sin 6^o \cos6^o \sin x \)

\(\displaystyle \cos (x-18^o) \sin 24^o= \sin x \cos 6^o \)

\(\displaystyle \sin (x+6^o) + \sin (42^o-x)=\sin (x+6^o) + \sin (x-6^o) \)

\(\displaystyle 42^o-x=x-6^o \)

\(\displaystyle x=24^o \)

底下的做法就不建議
若 \( F \) 為 \( BE \) 中點

\(\displaystyle \frac{BE}{PE}=\frac{\sin 126^o}{\sin 30^o}=2\sin 126^o \)

\(\displaystyle \frac{BE}{AE}=\frac{2FE}{AE}=2\sin 54^o=2\sin 126^o \)

所以 \( PE=AE \)
剩下就簡單了。

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-6-3 07:22 PM 編輯 ]

圖片附件: 102台南一中填充二.jpg (2013-6-3 19:21, 21.02 KB) / 該附件被下載次數 5293
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1746&k=ad629bcfb98b4467c442bb2ebeccc035&t=1732338214

作者: ahliang6897 時間: 2013-6-3 20:10

填充6

(10!乘Ç9取5）除以（15！除以5！）=143分之6

作者: thepiano 時間: 2013-6-3 20:12

填充第 6 題
把 5 個 ○ 插入 10 個 ★ 中
例：○★★★○★○★★★○★★○★
表示 6 根旗桿的旗面數分別是 0，3，1，3，2，1
所有情形數 = (5 + 10)!/5!

每一根旗桿上都有旗子的情形數 = H(6，4) * 10!

所求 = [H(6，4) * 10!] / [(5 + 10)!/5!]

作者: smallwhite 時間: 2013-6-3 21:31 標題: 回復 19# thepiano 的帖子

好詳細！感謝！
填充1已解決。
還剩計算5有問題 ><

作者: redik 時間: 2013-6-4 08:11

引用:

原帖由 ahliang6897 於 2013-6-3 04:20 PM 發表
試題及答案在此

http://w3.tnfsh.tn.edu.tw/teacher_exam/index.asp

應該考不好吧

有公布那我就功成身退了，最麻煩的是害寸絲老師走火入魔了，真不好意思囧

作者: tsusy 時間: 2013-6-4 08:48 標題: 回復 20# smallwhite 的帖子

計算 5.

原圖形相交，投影後亦相交。

考慮正立體和直線對 \( xy \) 平面的投影分別為 \( [0,a]\times[0,a] \) 和 \( x+4y=200 \) ( \( z=0 \))

由圖形易得 \( a+4a\geq200 \Rightarrow a\geq40 \)。

檢驗 \( a=40 \) 是否為最小值 \( \begin{cases}
x=y & =a\\
x+y+z & =100\\
2x-y+3z & =100
\end{cases}\Rightarrow(x,y,z)=(40,40,20) \) (合， \( 0\leq z\leq 40 \) )。

故 \( a=40 \) 為最小值

作者: smallwhite 時間: 2013-6-4 09:12 標題: 回復 22# tsusy 的帖子

感謝寸絲大神！

官方答案給 200/7 ><

不過會找到(200/7, 300/7, 200/7)

所以我才一直有問題，不知道是不是哪邊想錯了！

作者: tsusy 時間: 2013-6-4 09:40 標題: 回復 23# smallwhite 的帖子

計算 5. 是他的錯。

因為如果 \( a=\frac{200}{7} \)，點 \( Q(x,y,z) \) 若為兩圖形之交點，

則 \( y = 100 -x - z \geq \frac{300}{7} >a \)，而得 Q 不在立方體內，矛盾。

現在提疑還來得及嗎？有沒有考生要去提一下

作者: ichiban 時間: 2013-6-4 10:10 標題: 回復 22# tsusy 的帖子

我也算40
我是用線性規畫做的
沒得分就算了 , 好歹跟大神算出一樣的答案
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^場面話啦~~

作者: ahliang6897 時間: 2013-6-4 13:16

正確答案的確是40

作者: redik 時間: 2013-6-4 15:31

引用:

原帖由 ahliang6897 於 2013-6-4 01:16 PM 發表
正確答案的確是40

官方有修正了，於頂樓放上更新的版本

感謝寸絲老師、simon112266老師的回答 =w=

作者: simon112266 時間: 2013-6-4 15:58

填充2的幾合解

GOOGLE到似乎是2005日本數奧

所以三角形EAP為等腰三角形

又角AEP=12 → 角EAP=84

所以角BAP=108-84=24

所求角PAC=36-24=12

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-6-4 04:01 PM 編輯 ]

圖片附件: 未命名 2.jpg (2013-6-4 15:58, 29.5 KB) / 該附件被下載次數 6003
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1750&k=b51f0aecdffea84601f9e09479ef0ecc&t=1732338214

作者: ichiban 時間: 2013-6-4 19:36

填充一
我當場並沒有算出來 , 一直在期待神人的解答 ,
可是悶壞了 , 硬算 , 不小心算出了答案 ,
請幫我看看有無錯誤 , 也請提供更好的方法 , 再碰一次 , 我想我還是會算不出來 .
字醜我知道 =.= 哪有心情管字醜

[ 本帖最後由 ichiban 於 2013-6-4 08:58 PM 編輯 ]

圖片附件: 11212.JPG (2013-6-4 20:58, 45.66 KB) / 該附件被下載次數 5901
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1751&k=d8e5824eb4a8a1c31dccd704b05e8eb1&t=1732338214

作者: tsusy 時間: 2013-6-4 20:03 標題: 回復 29# ichiban 的帖子

填 1. 請參考，不過方法大同小異(有些小細節沒寫)

從 \( 1\leq a\leq b\leq c \) 及 a,b,c 皆整除 \( a+b+c+1 \) 可得 \( a+b+c+1=2c,3c \), 或 \( 4c \)。

1. 若 \( a+b+c+1=4c \)，則 \( (a,b,c,)=(1,1,1) \)。

2. 若 \( a+b+c+1=3c \)，則 \( (a,b,c)=(c-1,c,c) \)
又 \( a\mid3c\Rightarrow(a,b,c)=(1,2,2), (3,4,4) \)。

3. 若 \( a+b+c+1=2c \)，則 \( a+b=c-1 \)，

(a) 若 \( b<\frac{c}{2} \)，則 \( a=b=\frac{c-1}{2} \)。又 \( a\mid2c\Rightarrow a\mid4\Rightarrow(a,b,c)=(1,1,3), (2,2,5) \)。

(b) 若 \( b\geq\frac{c}{2} \)，則 \( b\mid2c=3b \), 或 \( 4b \)

i. 若 \( c=2b \), 則 \( a=b-1, a\mid4b\Rightarrow(1,2,4), (2,3,6), (4,5,10) \)。

ii. 若 \( c=\frac{3}{2}b \), 則 \( a=\frac{b}{2}-1, a\mid3b\Rightarrow(1,4,6), (2,6,9), (3,8,12), (6,14,21) \)。

綜合以上共 12 組

作者: ilikemath 時間: 2013-6-8 05:44

想請教填充第3,7,8題
謝謝

[ 本帖最後由 ilikemath 於 2013-6-8 05:45 AM 編輯 ]

作者: zeratulok 時間: 2013-6-8 16:56

引用:

原帖由 ilikemath 於 2013-6-8 05:44 AM 發表
想請教填充第3,7,8題
謝謝

第3題：
P=10!
Q=C(10,1)*C(10,2)*C(9,8)*8!

作者: lyingheart 時間: 2013-6-8 20:49 標題: 回復 31# ilikemath 的帖子

第七題
令 \( M(0,-2),N(6,4) \)
直線 \( MN \) 與 \( x \) 軸交於點 \( P(2,0) \)
那麼會有 \( PA \times PB=PM \times PN=16 \)
顯然 \( A,B \) 兩點在 \( P \) 的兩側，
所以 \( AB=PA+PB \ge 2\sqrt{PA \times PB}=8 \)

作者: yuanzhi 時間: 2013-6-9 00:12

承瑋岳老師和寸絲老師的想法，我用下列的方式做，不曉得有沒有問題。

圖片附件: 102南一中.jpg (2013-6-9 00:12, 122.97 KB) / 該附件被下載次數 6376
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1758&k=0e4a20f0ad7079986f787e84cc4021bc&t=1732338214

作者: redik 時間: 2013-6-10 00:18

引用:

原帖由 yuanzhi 於 2013-6-9 12:12 AM 發表
承瑋岳老師和寸絲老師的想法，我用下列的方式做，不曉得有沒有問題。

1758

這兩天看了寸絲老師與yuanzhi老師對這題的說明

但我不懂的地方如下，希望能再不吝指教

圖片附件: 未命名.png (2013-6-10 00:18, 60.46 KB) / 該附件被下載次數 5677
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1759&k=dc3c50f3c24526bb555c6dd3c585c006&t=1732338214

作者: tsusy 時間: 2013-6-10 08:09 標題: 回復 35# redik 的帖子

5 樓我的回覆中，的確有這個式子，但我不敢寫等號。

因為那不顯然，找不到什麼直接的理由說明它，而需要另外證明。所以想不出個所以然，是很正常的。

若再仔細看 5 樓處，有兩個分割線和一些 #34 樓沒有的文字，在說明我在做什麼：

第一部分析我們需要的式子和猜測，做些計算化簡，如果答案是對的，那或許猜測正確，再回來證明，如果化簡不出來，那也許根本就猜錯了。

第二部分，則是我後來對那個式子給了一個證明，不過這個證明的手法不是初微以前的手段，倒是在高微裡會做的方式。

所以讀起來，不太容易。比較好的證明方式，是第三部分，weiye 老師所給的方法：黎曼和。

作者: tuhunger 時間: 2013-6-10 10:35

引用:

原帖由 ilikemath 於 2013-6-8 05:44 AM 發表
想請教填充第3,7,8題
謝謝

PS:第8題參考看看

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2013-6-10 10:38 AM 編輯 ]

圖片附件: 未命名.png (2013-6-10 10:38, 39.06 KB) / 該附件被下載次數 4899
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1760&k=c562f980a5e55a536bcf16de6b1305a7&t=1732338214

作者: yuanzhi 時間: 2013-6-10 11:05 標題: 回復 36# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師的講解，我的過程太多都是推測，應補齊證明比較恰當...^^

作者: YAG 時間: 2013-6-14 07:57 標題: 關於南一中 200/7 的錯誤產生原因

因為看到一般討論區一篇文章有提到，故分享給大家: (好像在一般討論區不能發表附件?)
https://math.pro/db/thread-1636-1-1.html

圖片附件: 擷取.GIF (2013-6-14 07:57, 15.28 KB) / 該附件被下載次數 4870
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1777&k=8077dbaf4c09aa0f9e05166c05b5d001&t=1732338214

作者: YAG 時間: 2013-6-14 17:35 標題: 回復 3# bugmens 的帖子

解答過程第二行分母好像少個2

[ 本帖最後由 YAG 於 2013-6-14 05:36 PM 編輯 ]

圖片附件: 11.GIF (2013-6-14 17:35, 4.23 KB) / 該附件被下載次數 5925
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1778&k=d5738f29649191bb1f8127c338c23195&t=1732338214

作者: Jacob 時間: 2013-7-1 17:01 標題: 想請問計算第二四題

想請問計算第二和第四題，謝謝

[ 本帖最後由 Jacob 於 2013-7-1 05:29 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2013-7-1 19:57 標題: 回復 41# Jacob 的帖子

計算 4. 見數學傳播星空燦爛的數學(II)一一托勒密定理蔡聰明

50 頁圖. 22 下方有證明

計算 2. 可參考 #8

前半段：三實二虛，和虛根的討論沒什麼問題

後面實根的部分可以修正為：令 \( k \) 為 \( f(x)=0 \) 之一實根，則 \( k, \frac1k, 1-k, \frac1{1-k} \) 皆為 \( f(x)=0 \) 之實根。

而已知三實根，至多三相異實根，因此四者之中至少兩個相等，解出有限個 \( k \) 的可能值，再檢驗之。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-1 08:10 PM 編輯 ]

作者: Jacob 時間: 2013-7-2 07:57 標題: 回復 42# tsusy 的帖子

感謝寸絲大的幫忙，終於搞定了。

作者: poemghost 時間: 2013-7-12 21:18 標題: 回復 34# yuanzhi 的帖子

原所求整理到最後應該是
\(\displaystyle\huge=1+2\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots)\)
yuanzhi老師似乎少了一個1

另外，yuanzhi老師在寫兩個函數的函數值時，
少寫了一小部份就是函數f的值為零和1的時候

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-7-12 09:51 PM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2013-7-24 11:30 標題: 回復 1# redik 的帖子

整理一下
有解答:
填1.2.3.4.5.6.7.8.
計2.4.5.6.
未解出
計1.3.

作者: tsusy 時間: 2013-7-24 18:44 標題: 回復 45# nanpolend 的帖子

計算 1. 矩陣 \( A \) 之特徵多項式為 \( x^2-4x+3 = (x-3)(x-1) \)

令 \( x^n(x-1)^2 \) 除以 \( x^2-4x+3 \) 之餘式為 \( a_nx+b_n \)，

即有多項式 \( q(x) \) 使得 \( x^{n}(x-1)^{2}=q(x)(x^{2}-4x+3)+a_{n}x+b_{n} \)...(☆)。

將 \( x=1, 3 \) 分別代入(☆)，可解得 \( a_n= -b_n = 2\cdot3^{n} \)

由 Cayley-Hamilton 定理使 \( A^2 -4A + 3I =O \)

以 \( x = A \) 代入 (☆) 得 \( A^{n+2} - 2A^{n+1} + A^n = a_{n}A+b_{n}I = \begin{bmatrix}8\cdot3^{n} & 8\cdot3^{n}\\
-4\cdot3^{n} & -4\cdot3^{n}
\end{bmatrix} \)

作者: nanpolend 時間: 2013-7-25 23:15 標題: 回復 46# tsusy 的帖子

請教一下計算5
==實在看不懂解法?

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2013-7-25 11:25 PM 編輯 ]

作者: Joy091 時間: 2013-7-30 11:03 標題: 回復 45# nanpolend 的帖子

計算3.
設實係數多項式 \( \displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2-a^2x \) (其中 \( \displaystyle a>0 \)) ，若 \( \displaystyle x=\alpha, \beta \) 時 \( \displaystyle f(x) \) 有極值，且\( \displaystyle |{\alpha}|+|{\beta}|=2 \)，求 \( \displaystyle b \) 的最大值。

解: \( \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} \)

\( \displaystyle \alpha, \beta \) 為 \( \displaystyle f '(x)=0 \) 之兩實根，即 \( \displaystyle ax^2+bx-a^2=0 \) 之兩實根，故有

\( \displaystyle b^2-4a(-a^2)\geq 0 \) ...(1)
\( \displaystyle \alpha+\beta=\frac{-b}{a} \) ...(2)
\( \displaystyle \alpha\beta=-a<0 \) ...(3)

再將 \( \displaystyle |{\alpha}|+|{\beta}|=2 \) 兩邊平方整理，得到

\( \displaystyle 4=(|{\alpha}|+|{\beta}|)^2=\alpha^2+\beta^2+2|\alpha\beta| \)
\( \displaystyle =\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\) by (3)
\( \displaystyle =(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)
\( \displaystyle =\frac{b^2}{a^2}-4(-a) \)

故 \( \displaystyle \frac{b^2}{a^2}+4a=4 \)，

而得到 \( b^2=(4-4a)a^2 \)

最後再利用微分或是算幾不等式得出 \( \displaystyle b \) 的最大值為 \( \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} \)。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-7-30 11:23 AM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2013-7-30 14:04 標題: 回復 48# Joy091 的帖子

感謝

作者: conecone123 時間: 2014-3-24 21:13 標題: 回復 42# tsusy 的帖子

請問(x^2-x+1)(x-2)(x-1/2)^2
這樣重根的答案不行嗎?
三實二虛中，實根不能重根嗎?

作者: tsusy 時間: 2014-3-24 22:46 標題: 回復 50# conecone123 的帖子

您給的 \( (x^2-x+1)(x-2)(x-\frac12)^2 = 0 \) 是三實二虛沒錯，但是不符合題意的要求: \( f(\alpha) = 0 \Rightarrow f(1-\alpha) = f(\frac1\alpha) = 0 \)

作者: conecone123 時間: 2014-3-26 23:35 標題: 回復 51# tsusy 的帖子

感謝你~
這樣我懂題目的要求了。

作者: johncai 時間: 2014-3-30 14:37

不好意思。我想請教一下填充5的一個觀念
ln(1+x)的馬克勞林展開不是只有在x介於1到-1間才成立嗎？
為甚麼x可以代入1？
謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-3-30 19:40 標題: 回復 53# johncai 的帖子

Abel's Theorem (一般在高微裡會學到)

述敘證明請見 http://www.proofwiki.org/wiki/Abel's_Theorem

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0