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標題: 102板橋高中 [打印本頁]

作者: ilikemath 時間: 2013-5-22 19:35 標題: 102板橋高中

請教附件中的題目
感謝

附件: 102板橋高中部分題目.zip (2016-7-22 13:20, 14.95 KB) / 該附件被下載次數 12007
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1698&k=7bfc6912dc2cb269c0c5e3a78589f40c&t=1732315297

作者: thepiano 時間: 2013-5-22 22:06

第3題
人坐在排成一列的張椅子上，所有人起身再重新坐下，每人坐到原本的位子或隔壁的位子，則重新坐下的方法數有幾種？
[解答]
若\(n\)人坐\(n\)張椅子，重新坐下的方法數是\(a_n\)
小弟猜測一下\( a_n = a_{n-1}+a_{n-2} \)　(\(n \ge 3\))
其中\(a_1=1\)，\(a_2 = 2\)

第4題
座號\(1\sim n\)的\(n\)個人，及編號的頂帽子，每個人恰戴一頂帽子。假設沒有人戴到與自己相同號碼的帽子之方法有\(f_n\)種。已知\(n>2\)，則\(f_n,f_{n-1},f_{n-2}\)的關係式為？
[解答]
\( f_n = (n - 1)[f_{n-1} + f_{n-2}] \)

作者: fuzzydog 時間: 2013-5-23 12:12 標題: 第六題作圖題

如附件，不曉得是不是這樣回答即可，還請老師們幫我看看。

附件: 拋物線找對稱軸.pdf (2013-5-23 12:12, 382.07 KB) / 該附件被下載次數 10062
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1701&k=5be01be5e42cb676b2b8b3455ae0c06b&t=1732315297

作者: tsusy 時間: 2013-5-23 16:04 標題: 回復 3# fuzzydog 的帖子

方法沒有問題，但以考試來說，稍欠細節。

題目很清楚地指定「尺規作圖」

步驟 (2) 中點軌跡 →軌跡這種東西...尺規作圖做不完吧
      (3) (4) 作垂線的敘述還可接受
      (5) 斜率是 2，這不是尺規作圖該有的東西吧。
      心裡可以這樣想，但實際還沒定坐標，寫斜率，有種怪怪的感覺

作者: fuzzydog 時間: 2013-5-23 17:35 標題: 回復 4# tsusy 的帖子

我想步驟(2)若修改成兩平行線的中點連線延伸不知可不可行。(即先個別作中垂線找出個別的中點，再以兩點決定一直線畫出平行對稱軸的線)
(5)我是想利用正交弦長=|4c|與頂點A與P,F形成直角三角形，邊長為

1:2:根號3的特性畫。

還得請教寸絲老師，這題怎麼答會比較完整，謝謝囉!

作者: bugmens 時間: 2013-5-23 17:53

關於圓錐曲線的尺規作圖可以看這篇
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834#10　(連結已失效)

作者: lyingheart 時間: 2013-5-23 19:14 標題: 回復 5# fuzzydog 的帖子

bugmens大所提供的連結中，老王是用光學性質去作；
還可以這樣做:
找到主軸和拋物線的交點\(A\)
在主軸上另取一點\(B\)
作長方形\(ABCD\)使得\(\overline{BC}=2\overline{AB}\)
連接\(\overline{AC}\)與拋物線交於\(E\)
過\(E\)作主軸的垂線垂足為\(F\)，即為拋物線焦點

圖片附件: 拋物線找焦點.jpg (2013-5-23 19:14, 12.52 KB) / 該附件被下載次數 8097
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1704&k=ecc367e55c526aef09d63b69caf19080&t=1732315297

作者: fuzzydog 時間: 2013-5-24 08:28 標題: 回復 7# lyingheart 的帖子

對耶，使用矩形作相似三角形，這樣可以不用煩惱有沒座標化，也較符合尺規作圖。感謝lyingheart老師幫我解惑、bugmens相關連結資料(好完整)、寸絲老師Debug!

[ 本帖最後由 fuzzydog 於 2013-5-24 08:40 AM 編輯 ]

作者: martinofncku 時間: 2013-5-25 21:04 標題: 請問

請問老師，1 該怎麼做呢?

作者: tsusy 時間: 2013-5-28 18:51 標題: 回復 9# martinofncku 的帖子

計算 1.
\(A(1,3,6)\)，\(B(5,6,6)\)，且\(S=\{\; P|\; \Delta PAB之面積大於10且周長小於15 \}\;\)，求\(S\)的體積為多少？
[解答]
首先注意到 \( \overline{AB}=5 \)，因此兩限制條件可轉換成

\( P \) 到 \( \overline{AB} \) 的距離大於 4，以及 \( P \) 在某橢球內，其該該橢球為一轉旋體，以 \( \overline{AB} \) 為轉軸，將某個以  \( A, B \) 為焦點，長軸為 10 的橢圓旋轉一圈。

我們可以平移及轉動這個圖形，其體積保持不變，故可重新假設 \( A(-\frac52,0,0),  B(\frac52,0,0), P(x,y,z) \)

則兩限制條件可轉為 \( y^2+z^2 \geq 16 \) 及 \( \frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{\frac{25}{4}\cdot3}\leq1 \)

令 \( R = \{(x,y,z)\mid\sqrt{y^{2}+z^{2}}\geq4,\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{\frac{25}{4}\cdot3}\leq1\} \)，及同時滿足兩條件的共同區域。

所求體積  \(V = \int_R 1 dzdydx \)，將 \( y, z \) 用極坐標代愌之，可得

\( V = \displaystyle \int_{-\sqrt{\frac{11}{3}}}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}\int_{4}^{s}\int_{0}^{2\pi}rd\theta drdx \)，其中 \( s=\sqrt{\frac{75-3x^{2}}{4}} \)。

積分可得 \( V = \displaystyle 2\pi\int_{0}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}r^{2}\Big|_{4}^{s}dx=2\pi\int_{0}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}\frac{11-3x^{2}}{4}dx=2\pi(\frac{11}{4}\sqrt{\frac{11}{3}}-\frac{11}{12}\sqrt{\frac{11}{3}})=\frac{11}{3}\sqrt{\frac{11}{3}}\pi \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-28 06:53 PM 編輯 ]

作者: martinofncku 時間: 2013-5-30 00:28

請問第 3 題

作者: weiye 時間: 2013-5-30 09:43 標題: 回復 11# martinofncku 的帖子

第 3 題：thepiano 老師在 #2 的回覆已解，

至於說明，只要考慮坐在最前面的第一個人，看他重新坐下之後，只有兩種入座的情況，就可以得到遞迴關係式。

作者: simon112266 時間: 2013-5-30 15:19

引用:

原帖由 thepiano 於 2013-5-22 10:06 PM 發表
第 3 題
若 n 人坐 n 張椅子，重新坐下的方法數是\( a_n\)
小弟猜測一下\( a_n = a_{n-1}+a_{n-2}\)　(\(n \ge 3\))
其中\( a_1 = 1\)，\(a_2 = 2\)

第 4 題
\(f_n = (n - 1)[f_{n-1} + f_{n-2}]\)

想請問第4題的想法

我是用排容把\(f_n\)算出來
\(\displaystyle f_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \frac{n!}{k!}\)

然後再把\(f_{n-1}\),\(f_{n-2}\) 列出來...

作者: tsusy 時間: 2013-5-30 15:57 標題: 回復 13# simon112266 的帖子

還是一樣的遞迴想法討論：

1 號拿到某到人的帽子，假設是 2 號的好了，那就分成兩種情形：① 2 號也拿到 1 號的帽子 ② 2 號沒有拿到 1 號的帽子。

① 之情形，就是剩下 \( n-2 \) 的原問題，也就是 \( f_{n-2} \)

② 2 號沒有拿到 1 號的帽子，下的是問題是 2 號不拿 1 號帽，3 號不會拿 3 號帽.... n 號不能拿 n 號帽。
其實就是原來 n-1 個人的問題了(偷偷重新編號)，所以這種情形有 \( f_{n-1} \)

綜合兩情形，再考慮 1 號可拿其它帽子，就是 \( f_n = (n-1) ( f_{n-1} + f_{n-2}) \)

作者: ilikemath 時間: 2013-6-3 18:07

請教第二提該怎麼做?
感謝

作者: tsusy 時間: 2013-6-3 19:28 標題: 回復 15# ilikemath 的帖子

第 2 題
\( A=\{\; w |\; w^{40}=1 \}\; \)，\( B=\{\; y |\; y^{42}=1 \}\; \)，\( C=\{\; z |\; z^{24}=1 \}\; \)
若\( D=\{\; wyz |\; w \in A,y \in B,z \in C \}\; \)，則\(D\)有幾個元素？
[解答]
忘記在哪邊好像看到兩個集合的版本了

將集合內的元素寫成 \( e^{i\theta} \) 之形式。考慮 \( \displaystyle D_{\theta}=\{n\cdot\frac{2\pi}{40}+m\cdot\frac{2\pi}{42}+p\cdot\frac{2\pi}{24}+q\cdot2\pi\mid n,m,p,q\in\mathbb{Z}\} \)

如果把裡面的數看作正整數的即 \( \{na+mb+pc+qd\mid n,m,p,q\in\mathbb{Z}\}=\{n\gcd(a,b,c,d)\mid n\in\mathbb{Z}\} \)，其中 \( a,b,c,d\in\mathbb{N} \)。

\( \displaystyle 840\cdot D_{\theta}=2\pi\cdot\{21n+20m+35p+840q\mid n,m,p\in\mathbb{Z}\}=2\pi\cdot\mathbb{Z}\Rightarrow D_{\theta}=\{\frac{2n\pi}{840}\mid n\in\mathbb{Z}\} \)，其中 \( a\cdot S:=\{as\mid s\in S\} \)。

故 \( |D|=840 \)。

作者: johncai 時間: 2013-10-1 14:46 標題: 回復 2# thepiano 的帖子

請問第3題
寸絲整理的那本.給的答案是55
是不是給錯了?
謝謝.

作者: tsusy 時間: 2013-10-1 17:49 標題: 回復 18# johncai 的帖子

印象中，是我給錯答案，差一項的樣子，抱歉

作者: mathca 時間: 2016-1-9 16:33 標題: 回復 10# tsusy 的帖子

請問計算第1題詳解第四行中，
「則兩限制條件可轉為 ..A..and..B...」
第二個限制條件<1如何得到？
感謝。

作者: tsusy 時間: 2016-1-9 17:45 標題: 回復 19# mathca 的帖子

實心橢球的所對應的不等式，就是橢圓拿去轉出來的

作者: mathca 時間: 2016-1-9 18:03 標題: 回復 20# tsusy 的帖子

了解!! 原來是橢圓式+旋轉。感謝!!

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