Board logo

標題: 試教完口試問的機率問題 [打印本頁]
作者: larson    時間: 2013-5-1 09:33     標題: 試教完口試問的機率問題

第(2)小題，樣本空間為何不是擲3次+4次+…+13次？當下沒答出來…

重複擲一粒骰子，直到有一種點數出現三次為止，再將到結束為止所出現的點數全部加起來作為得分。例如：依次擲得點數為3,6,5,3,3，則結束且得分為20分。
(1)最大可能得分為何？
(2)恰擲三次就結束的機率是多少？
(3)到結束為止，恰得6分的機率是多少？
[解答]
(1)最大可能得分情形為6出現3次，其他數字各出現2次，得分為\( 6 \times 3+(1+2+3+4+5)\times 2=48 \)。
(2)恰擲三次就結束的情形是三次點數均相同，機率\( \displaystyle \frac{C_1^6}{6^3}=\frac{1}{36} \)。
(3)恰得6分的情形有：
連擲出3次2點，機率為\( \displaystyle \frac{1}{6^3}=\frac{1}{216} \)，擲出1次3點，3次1點(且第四次為1點)，機率為\( \displaystyle \frac{C_1^3}{6^4}=\frac{3}{1296} \)，
故恰得6分的機率是\( \displaystyle \frac{1}{216}+\frac{3}{1296}=\frac{9}{1296}=\frac{1}{144} \)
作者: weiye    時間: 2013-5-1 10:02     標題: 回復 1# larson 的帖子

(3)

可能出現的點數情形有 \(2+2+2, \) 或 \(3+1+1+1\)

機率＝\(\displaystyle \left(\frac{1}{6}\right)^3+\frac{3!}{1!2!}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^4\)



註：感謝 s8911409 提醒我沒有 \(2+1+1+1+1\)（任何數字最多只能出現三次） ，哈！：Ｄ
作者: larson    時間: 2013-5-1 10:06     標題: 回復 2# weiye 的帖子

謝謝！這個我有答出來，口試委員問的是第(2)小題恰擲三次為何樣本空間不是擲3次+4次+…+13次？
作者: thepiano    時間: 2013-5-1 10:32

"恰"擲三次就是"剛好"擲三次，樣本空間當然不包含四次以上或二次以下
作者: poemghost    時間: 2013-5-1 22:06

我想評審是想考LARSON：要成為一機率試驗的樣本空間必須滿足

「樣本空間中的每一個元素出現的機會均等」這個條件。

明顯的，擲3次結束或4次或5次或……13次，機會不同，所以樣本空間不是這個。


我猜評審是想聽到這個，不過就像THEPIANO所說，

這樣的問法似乎怪怪的，因為題目要問的就是擲三次，

所以樣本空間當然是擲三次所有的情況 ^^!!
作者: tsusy    時間: 2013-5-1 22:34     標題: 回復 5# poemghost 的帖子

誠如  poemghost 所說，這樣的問法怪怪的

我想樣本空間不是一個亂問的問題

但，其實樣空間，根本沒有要符合這樣的條件，這只是古典機率所習慣用的樣本空間。

因為樣本空間，本是不可見，摸不到的。即使在大學之後的機率課，也只是說它是個集合，然後在上面定給機率測度。

然後，可能在構造一些很直覺覺得存在的隨機變數時，把它硬用我們認識的實數子集，去把它硬構造出來，比如說，真的很可寫成無限可數個獨立的隨機變數。

回到這個問題，樣本空間當然不只一種，比如將所有記錄數字所成的序列。只不過這個樣本空間，我們不能用古典機率去計算，因為這些樣本點，因為我們在這裡的認定的隨機性質是公平且每次結果獨立的骰子。

所以，我的答案是可以是也可以不是
作者: poemghost    時間: 2013-5-2 09:55     標題: 回復 6# tsusy 的帖子

因為是高中數學教甄，所以評審應該是設定在所謂的「古典機率」上，

我想高中的題目中，樣本空間都只有一種，除非題目敘述不佳，

因為此題說「點數出現三次就結束」和「恰擲三次」，

所以樣本空間很自然的就是「擲前面三次所有可能的點數情形」，

然後所求事件就是「這三次都是同點數」。

這是很自然的想法，所以我才說這個問法怪怪的，

原PO   LARSON老師當時可能也是因為這樣所以才突然卡住。

評審應該換個更好的問法 (如果我沒有誤會評審要問的原意^^!!)

「有學生是這樣想的，這個試驗的結果可分為擲三次結束、四次結束、
五次結束，……，十三次結束，所以該生認為樣本空間的情況數就是11，
因此，此題的機率為1/11。請問LARSON老師，這樣的想法錯在哪裡？」

我想如果評審是這樣問的話，會比較清楚 ^_____^

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-2 09:56 AM 編輯 ]
作者: larson    時間: 2013-5-2 11:10     標題: 回復 7# poemghost 的帖子

謝謝各位的回覆^____^



歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0