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標題: 102文華高中 [打印本頁]

作者: weiye    時間: 2013-4-27 19:08     標題: 102文華高中

試題及答案,如附件。

計算題:
(資料來源:http://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1367072177.A.40A.html

1.平面上有三定點ABC及一圓,其圓心為O點,半徑為r,
  若AOBC為平行四邊形,其中直線AB與圓不相交,若圓
  上有一點P,使得(線段PA)^2+(線段PB)^2為最小時,
  (1)試證:P點為OC與圓的交點
  (2)試利用OA、OB、OC、r來表示(線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值


2.橢圓的焦點為AC兩點、橢圓上有BD兩點
  其中四邊形ABCD的四個邊長乘積為2013
  且BAD=60度,BCD=120度,求ABCD面積

附件: 102文華高中_試題.pdf (2013-4-27 19:08, 227.3 KB) / 該附件被下載次數 8158
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1633&k=afb78dc78c376e05e4a9779c31dd1cf1&t=1620576973

附件: 102文華高中_答案.pdf (2013-4-27 19:08, 101.47 KB) / 該附件被下載次數 7399
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1634&k=7dca98513889b5097833101f10bb99ec&t=1620576973
作者: bugmens    時間: 2013-4-27 20:08

2.
求下列的級數和:\( 1 \times 2+(1 \times 2+2 \times 3)+(1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4)+\ldots+(1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4+\ldots+(n-1)\times n) \)

類題
\( 1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+...+17(1+3+6+...+153)= \)?
(101中正高中二招,https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

因為102文華高中這題問的是一般項,用差分來算的話最後會得到\( \displaystyle a \times C_0^n+b \times C_1^n+c \times C_2^n+d \times C_3^n+e \times C_4^n \),整理答案時因式分解反而又變得更麻煩


11.
設\( \displaystyle f(a,b)=(61-a-28b)^2+(62-a-29b)^2+(60-a-30b)^2+(58-a-31b)^2+(59-a-32b)^2 \),當\( f(a,b) \)有最小值時,求此時數對\( (a,b)= \)?
[解答]
對\( f(a,b) \)的a偏微分得
\( 2(61-a-28b)(-1)+2(62-a-29b)(-1)+2(60-a-30b)(-1)+2(58-a-31b)(-1)+2(59-a-32b)(-1) \)
\( =-2[(58+59+60+61+62)-5a-(28+29+30+31+32)b] \)
\( =-2(300-5a-150b)=-10(60-a-30b)=0 \)
得\( a=60-30b \)代入原式
\( (61-60+30b-28b)^2+(62-60+30b-29b)^2+(60-60+30b-30b)^2+(58-60+30b-31b)^2+(59-60+30b-32b)^2 \)
\( =(1+2b)^2+(2+b)^2+(-2-b)^2+(-1-2b)^2 \)
\( \displaystyle =10b^2+16b+10=10(b+\frac{4}{5})^2+\frac{18}{5} \)
當\( \displaystyle b=-\frac{4}{5} \),\( \displaystyle a=60-30\times \frac{-4}{5}=84 \)時,\( f(a,b) \)有最小值


類題
Find the minimum value of \( 2x^2+2y^2+5z^2-2xy-4yz-4x-2z+15 \) for real numbers x, y, z.
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006,http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)

這題可以湊成完全平方式求得最小值,假若一時之間看不出來該怎麼湊的話
分別對x,y,z作偏微分,三個式子解出來的x,y,z就會讓原式有最小值
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1924
作者: weiye    時間: 2013-4-27 21:01     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

第 11 題:(應該可以看得出來題目中的 \(f(a,b)\) 就是用最小平方法求迴歸直線時的「殘差平方和」)

五個數據 \((x_i,y_i) 為 (28, 61), (29,62), (30, 60), (31, 58), (32, 59)\) 以最小平方法所得之迴歸直線 \(y=a+bx\)

此迴歸直線必通過 \((\overline{x}, \overline{y}) = (30, 60)\)

且斜率為 \(\displaystyle \frac{\sum\limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}{\sum\limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline{x}\right)^2}=\frac{(-2)\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot0+1\cdot(-2)+2\cdot(-1)}{2^2+1^2+0^2+1^2+2^2}=\frac{-4}{5}\)

因此,此迴歸直線方程式為 \(\displaystyle y-60=\frac{-4}{5}\left(x-30\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow y=84-\frac{4}{5}\)

\(\displaystyle \Rightarrow (a,b)=(84, -\frac{4}{5})\)




註:另外一個求迴歸直線 \(a+bx=y\) 的公式 \(\displaystyle \left\{\begin{matrix} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^n 1\right)a+ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)b=y_i\\ \left(\sum_{i=1}^n 1\cdot x_i\right)a+ \left(\sum_{i=1}^n x_i\cdot x_i\right)b=y_i\cdot x_i \end{matrix}\right.\) 如下篇回覆被寸絲給解走了~XDD
作者: tsusy    時間: 2013-4-27 21:05     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

11. 偏微分被先用了,那就來個另解

令 \(A=\begin{bmatrix}1 & 28\\
1 & 29\\
1 & 30\\
1 & 31\\
1 & 32
\end{bmatrix}, b=[61  62  6  58  59]^T, x = [a  b]^T \)

則 \( A^{T}Ax=A^{T}b \),其中 \( A^T \) 為 A 的轉置

透過平方公式 \( (30+k)^2 \) 和分配律 \( (30+k)(60+l) \),計算上式之矩陣乘法得

\( \begin{bmatrix}5 & 150\\
150 & 4510
\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}300\\
8992
\end{bmatrix} \) 易解得 \( x = [84  -0.8]^T \)
作者: natureling    時間: 2013-4-27 21:27

想先請教5,7,9,13,
作者: lyingheart    時間: 2013-4-27 21:38     標題: 回復 5# natureling 的帖子

第5題
因為x,y,z最多為三位數,所以a的可能值與(x,y,z)解的個數相同
\(\displaystyle 360=2^3 \times 3^2 \times 5 \)
每個質因數必須有人取到最高次,所以是
\(\displaystyle (4^3-3^3)(3^3-2^3)(2^3-1^3)=4921 \)
作者: weiye    時間: 2013-4-27 21:39     標題: 回復 5# natureling 的帖子

第 5 題:

因為 \(x,y,z\) 的最小公倍數為 \(360\),

所以可以知道 \(x,y,z\) 三數皆頂多為三位數,

因此 \(a\) 的可能值個數 與有序數組 \((x,y,z)\) 的可能組數一樣多。

\(360=2^3\cdot3^2\cdot5\)

先來研究 \(2^3\) 的可能分布情形,\(x,y,z\) 中至少有一個數恰含 \(2^3\) 的因數(其他數中 \(2\) 的次方數皆小於或等於 \(3\)),

因此 \(2^3\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (3+1)^2-C^3_2\cdot(3+1)+C^3_3 = 37\) 種

同理,\(3^2\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (2+1)^2-C^3_2\cdot(2+1)+C^3_3 = 19\) 種

   \(5^1\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (1+1)^2-C^3_2\cdot(1+1)+C^3_3 = 7\) 種

所以,滿足條件的有序數組 \((x,y,z)\) 有 \(37\times19\times7=4921\) 組數,

即 \(a\) 的可能值個數有 \(4921\) 個。
作者: lyingheart    時間: 2013-4-27 21:42     標題: 回復 5# natureling 的帖子

第7題
令 \( a,b,c,d,e,p \) 分別表示A,B,C,D,E,P所代表的複數
\(\displaystyle z^5-i=(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)(z-e) \)
所求為
\(\displaystyle |p-a||p-b||p-c||p-d||p-e|=|(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(p-e)|=|p^5-i|=|-4-5i|=\sqrt{41} \)
作者: tsusy    時間: 2013-4-27 21:44     標題: 回復 5# natureling 的帖子

7. \(  z^{5}-i=(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})(z-z_{4})(z-z_{5}) \),

\( z=1+i \) 代入,取絕對值,得所求 \( =|-4-5i|=\sqrt{41} \) 。

填 13. \( f(x)=(x-1)^2 \cdot\frac{1}{1-(x-1)}=(x-1)^2\cdot(1+(x-1)+(x-1)^{2}+\ldots)=\sum\limits _{k=2}^{\infty}(x-1)^{k} \), for 0<|x-1|<1。
(筆誤:漏了平方,已補上)

故 \( f^{(5)}(1)=5! \), \( f^{(7)}(1)=7! \),所求 \( =\frac{7!}{5!}=42 \) 。
(應該要用到泰勒展開式,以及此冪級數的唯一性)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-29 11:01 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2013-4-27 21:48     標題: 回復 5# natureling 的帖子

第 7 題:

令 \(z^5-i=0\) 的五根為 \(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5\),且令 \(z_0=1+i\)

則 \(z^5-i = \left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)\left(z-z_3\right)\left(z-z_4\right)\left(z-z_5\right)\)

\(\Rightarrow \overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\cdot\overline{PE}\)

  \(=\left|z_0-z_1\right|\cdot\left|z_0-z_2\right|\cdot\left|z_0-z_3\right|\cdot\left|z_0-z_4\right|\cdot\left|z_0-z_5\right|\)

  \(=\left|z_0^5-i\right|\)

  \(=\left|\left(1+i\right)^5-i\right|\)

  \(=\left|\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)-i\right|\)

  \(=\left|\left(2i\right)\cdot\left(2i\right)\cdot\left(1+i\right)-i\right|\)

  \(=\left|-5i-4\right|\)

  \(=\sqrt{41}\)


後註:我(回覆)怎麼總慢一步~囧rz......
作者: lyingheart    時間: 2013-4-27 21:54

第9題
\(\displaystyle a_1=1+1+2+1+2=7 \)
\(\displaystyle na_n=C_3^{n+2}+n^3+2n^2+n+2-C_3^{n+1}-(n-1)^3-2(n-1)^2-(n-1)-2 \)
\(\displaystyle =C_2^{n+1}+(3n^2-3n+1)+2(2n-1)+1 \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(7n^2+3n) \)
所以 \(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}(7n+3) \)
所求為
\(\displaystyle 7+\sum_{k=2}^{10}\frac{1}{2}(7k+3) \)
\(\displaystyle =7+\frac{1}{2}(\frac{7}{2} \cdot 10 \cdot 11+30-10)=\frac{419}{2} \)
作者: lyingheart    時間: 2013-4-27 21:58     標題: 回復 10# weiye 的帖子

瑋岳老師回得比較詳細
作者: natureling    時間: 2013-4-27 22:03

嗯謝謝大家!
作者: natureling    時間: 2013-4-27 22:23

想再請教16。謝謝。
作者: t3712    時間: 2013-4-27 22:25

感謝解題的高手。

不好意思,小弟想請教填充12與14題。

謝謝
作者: t3712    時間: 2013-4-27 22:26     標題: 回復 14# natureling 的帖子

填充16,用導函數的定義去做就可以囉。
\( \displaystyle f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle \frac{x(x-2)(x-4)\ldots (x-100)}{(x+1)(x+2)\ldots (x+50)}}{x}=\frac{(-2)(-4)\ldots (-100)}{1 \times 2 \times \ldots \times 50}=2^{50} \)
作者: weiye    時間: 2013-4-27 22:28

填充第 2 題:

先看一般項 \(\displaystyle \sum_{k=1}^m k(k+1) = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^m \Bigg(k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)\Bigg) = \frac{1}{3}m(m+1)(m+2)\)

所求=\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n-1} \Bigg(k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\Bigg) = \frac{1}{12}(n-1)n(n+1)(n+2)\)
作者: lyingheart    時間: 2013-4-27 22:30     標題: 回復 15# t3712 的帖子

第14題
將A點以x軸為轉軸旋轉至xy平面上,得到A'(6,-5,0)

將B點以y軸為轉軸旋轉至xy平面上,得到B'(-5,8,0)

所求即為 \( A'B'=\sqrt{11^2+13^2}=\sqrt{290} \)
作者: lyingheart    時間: 2013-4-27 22:37     標題: 回復 15# t3712 的帖子

第12題
三數相加後減25為此數的倍數
\( 63+91+129-25=258 \)
\( 258=2 \times 3 \times 43 \)
檢查一下知此數為43
作者: weiye    時間: 2013-4-27 22:41     標題: 回復 15# t3712 的帖子

第 12 題:

設題目所求之數為 \(a\),且三次除法的商數與餘數分別為 \(q_1,q_2,q_3\) 與 \(r_1, r_2, r_3\),則

\(63 = a\cdot q_1 + r_1\)
\(91 = a\cdot q_2 + r_2\)
\(129 = a\cdot q_3 +r_3\)

\(\Rightarrow 283 = a(q_1+q_2+q_3) + 25\)

\(\Rightarrow a(q_1+q_2+q_3) = 258\)

\(\Rightarrow a \Bigg| 258\)

且因為 \(258=2\cdot3\cdot43\) 以及 \(a\leq 63\)(否則餘數 \(r_1\) 就會是 \(63\),超過 \(25\) 了)

且由 \(25=r_1+r_2+r_3<3a\Rightarrow a>8\),可得 \(a=43\)
作者: t3712    時間: 2013-4-27 23:02

感謝  lyingheart 與 瑋岳 老師

我了解了,謝謝。
作者: natureling    時間: 2013-4-27 23:34     標題: 回復 13# natureling 的帖子

@@能否在說明,我一直算不存在。感恩
作者: t3712    時間: 2013-4-27 23:40     標題: 回復 22# natureling 的帖子

16題,請看新增的附件,因為用定義寫出來的時候,分子分母的x約掉,所以可以算出來。
作者: poemghost    時間: 2013-4-28 00:43

計算一的第一小題用中線定理即可簡單證明出來,
    第二小題的答案我是算「OA平方 + OB平方 + 2*(R的平方) - 2*R*OC」
作者: lyingheart    時間: 2013-4-28 07:36

計算二
由角度關係知道ABCD為圓內接四邊形
且由橢圓定義有 AB+BC=AD+DC
半周長 s 即為 s=AB+BC=AD+DC
圓內接四邊形面積
\(\displaystyle \sqrt{(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-AD)}=\sqrt{BC \times AB \times AD \times CD}=\sqrt{2013} \)

附註:
因為是圓內接四邊形,假定圓心是O,把扇形OAB和扇形OAD剪下交換,那麼新的四邊形ADBC就滿足對邊和相等,
也就是它是雙心四邊形,那麼面積就是四邊乘積再開根號。

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-28 07:47 PM 編輯 ]
作者: uhepotim01    時間: 2013-4-28 12:16     標題: 回復 24# poemghost 的帖子

請教一下利用中線定理是什麼意思
我是利用向量內積去證 (改為以O為起點,\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=\overline{AB}^2+2 \vec{PA} \cdot \vec{PB}\))

[ 本帖最後由 uhepotim01 於 2013-4-28 12:23 PM 編輯 ]
作者: poemghost    時間: 2013-4-28 12:37     標題: 回復 26# uhepotim01 的帖子

【第一小題】(圖再麻煩你自己畫一下 ^^)

假設K為平行四邊形的對角線交點
  P為圓與 \(\overline{OC}\) 的交點
  Q為圓上任一點 (Q\(\neq\)P)

因為K是 \(\overline{AB}\) 的中點

由中線定理可以得知 \(\overline{QA}^2+\overline{QB}^2=2(\overline{QK}^2+\overline{AK}^2)\) 且 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=2(\overline{PK}^2+\overline{AK}^2)\)

因為P為圓上最接近K的點,即 \(\overline{PK}^2<\overline{QK}^2\)

所以由上述可知 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2<\overline{QA}^2+\overline{QB}^2\)



【第二小題】

由第一小題的 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=2(\overline{PK}^2+\overline{AK}^2)\) 即可求得答案

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-4-28 01:06 PM 編輯 ]
作者: 喬峰    時間: 2013-4-28 12:55

那時候想說用約到最簡一下或是長除法,醬去偏微就很漂亮了


102.4.28版主補充
將式子重新輸入
\( \displaystyle y=-\frac{(x-2)^2+2x-3}{x-2}=-\Bigg[\; x-2+\frac{2(x-2)+1}{x-2} \Bigg]\;=-[\; x-2+2+\frac{1}{x-2} ]\;=-x-(x-2)^{-1} \)
輸入的指令
\( \displaystyle y=-\frac{(x-2)^2+2x-3}{x-2}=-\Bigg[\; x-2+\frac{2(x-2)+1}{x-2} \Bigg]\;=-[\; x-2+2+\frac{1}{x-2} ]\;=-x-(x-2)^{-1} \)
全形的\(和\)要改成半形的\(和\)
作者: Yoga-Lin    時間: 2013-4-28 17:16

寫教甄最得心應手的一間

填充全對!!!!   計算也都有寫出來

靜待今天結果

謝謝板上的高手老師們

之前都潛水看著大家解題,覺得獲益匪淺   謝謝各位高手老師
作者: Yoga-Lin    時間: 2013-4-28 17:27

計算一
(1)
我是假設P(x,y)直接下去做   P點會滿足x^2+y^2=r^2
再將(PA)^2+(PB)^2利用配方法求得
P(x,y)<圓上一點>到((x1+x2)/2 , (y1+y2)/2) <AB中點>距離最小時會產生最小值
所以P為OM與圓的交點,又OMC共線  所以P亦為OC與圓的交點
(2)
瘋狂代換就可以

計算二
我沒想到海龍公式,僅一個一個代換,找出各關係式
設BA=a  AD=b  DC=c  CB=d
[1] abcd =2013
[2] 所求=(1/2)absin60度+(1/2)cdsin120度=[(根號3)/4](ab+cd)
[3] 餘弦定理:a^2+b^2-2abcos60度=c^2+d^2-2cdcos120度
     得:a^2+b^2-c^2-d^2=ab+cd
[4] 橢圓定義:a+d=b+c    得  a-b=c-d   平方得   a^2+b^2-2ab=c^2+d^2-2cd
     得a^2+b^2-c^2-d^2=2ab-2cd
由[3][4]得:ab+cd=2ab-2cd   所以   ab=3cd
代入(1)得3(cd)^2=2013   cd=(671)^(1/2)
所求=[(根號3)/4](ab+cd)=[(根號3)/4](3cd+cd)=(根號3)(cd)=(2013)^(1/2)

計算二的方法可能有點愚笨,獻醜了
作者: 王保丹    時間: 2013-4-28 20:04

成績出來了
有滿分的
厲害
作者: hinetsndb    時間: 2013-4-29 03:17

不好意思,想起問一下第十一題,我把它想成柯西
f(a,b)乘於{(-2)^2+1^2+2^2+1^2+(-2)^2}大於等於(-122+62+120+58-118)^2
然後等號成立時,用比例求出a=162  b=-3.5,請問這算法錯在哪裡
謝謝大家
作者: tsusy    時間: 2013-4-29 08:29     標題: 回復 32# hinetsndb 的帖子

有四個等號,只有 \( a,b  \) 兩個自由變數,應該只能滿足兩個

所以,沒意外的話,根本是等號永遠不成立

----------------------------------------------------------------------------

樓下的也太神了吧!令人讚嘆的解法!

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-29 08:34 AM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2013-4-29 08:30     標題: 回復 17# weiye 的帖子

填充第 2 題另解,


\(\displaystyle\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m k\left(k+1\right) = 2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\frac{k\left(k+1\right)}{2}=2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^k i = 2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^k \sum_{p=1}^i 1\)


\(\displaystyle= 2\times\)(對於固定正整數 \(n\),計算滿足條件 \(1\leq p\leq i\leq k\leq m\leq n-1\) 的有序數組 \((p,i,k,m)\) 整數解之組數)

\(\displaystyle= 2H^{n-1}_4= 2 C^{n+2}_4 = \frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n\left(n-1\right)}{12}\)
作者: hinetsndb    時間: 2013-4-29 13:02     標題: 回復 33# tsusy 的帖子

瞭解了。

謝謝寸絲老師。
作者: poemghost    時間: 2013-4-29 22:08

引用:
原帖由 weiye 於 2013-4-29 08:30 AM 發表
填充第 2 題另解,


\(\displaystyle\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m k\left(k+1\right) = 2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\frac{k\left(k+1\right)}{2}=2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^k i = \) ...
呃,這解法.....有神快拜 >"<
http://youtu.be/dxyvbZfRGJA?t=10s
作者: weiye    時間: 2013-4-29 22:51     標題: 回復 36# poemghost 的帖子

學弟,沒那麼誇張吧,哈~只是碰巧想到的而已。 ==

幫我一起來想看看還有沒有什麼題目也有其它有趣的另解吧。:D
作者: 王保丹    時間: 2013-4-30 15:08

請問一下填充第8,15題
作者: tacokao    時間: 2013-4-30 16:38     標題: 回復 38# 王保丹 的帖子

填充第8題:就長期而言趨於穩定,分母為C6取3(總共有6球),分子為C3取3(3白球),故答案為1/20
作者: tacokao    時間: 2013-4-30 16:40     標題: 回復 38# 王保丹 的帖子

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3012 ,鋼琴老師已有解。

[ 本帖最後由 tacokao 於 2013-4-30 05:45 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2013-4-30 17:56     標題: 回復 38# 王保丹 的帖子

第 15 題:
雅妮參加擲骰子比賽,遊戲規則如下:每次投擲二顆相同的公正骰子,
(1)若擲出點數和為7點,可得獎金100元,並可以繼續投擲;若再擲出點數和為7點,則再得100元,並可以繼續投擲,以此類推,
(2)若擲出點數和不是7點,則得30元,並結束比賽。
則雅妮參賽的獎金期望值為[u]   [/u]。
[解答]
丟兩顆骰子,點數和為 \(7\) 的機率=\(\displaystyle \frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}\)

設所求期望值為 \(x\),則 \(\displaystyle x=\frac{1}{6}\left(100+x\right)+\frac{5}{6}\cdot30\Rightarrow 50\)
作者: 王保丹    時間: 2013-4-30 18:00

謝謝大家的詳解
十分清楚
作者: syui912    時間: 2013-5-8 11:25     標題: 回復 39# tacokao 的帖子

老師您好
有關於填充第8題:就長期而言趨於穩定,分母為C6取3(總共有6球),分子為C3取3(3白球),故答案為1/20
請問可以這麼做的原因是為何?
有點想不通呢
ㄏㄏ雖然很快
還有如果題目改
各交換一球
可以再這麼做嗎
麻煩一下 謝謝您

[ 本帖最後由 syui912 於 2013-5-8 11:26 AM 編輯 ]
作者: homma    時間: 2013-5-8 23:11     標題: 麻煩各位先進

我想請問第10題該如何解

小弟駑鈍不會解

拜託各位老師前輩了^^
作者: tsusy    時間: 2013-5-8 23:53     標題: 回復 44# homma 的帖子

令 \( \overline{DP} =x \), \( y = \overline{CQ} \) 則由 \( \triangle ADP \sim \triangle QCP \),有

\( 1:x=y:(4-x)   \Rightarrow y=\frac{4-x}{x} \)。

面積和 \( \frac{1}{2}\left(x+(4-x)\cdot\frac{4-x}{x}\right)=x+\frac{8}{x}-4 \)。

由算幾不等式有 \(\frac{x+\frac{8}{x}}{2}\geq\sqrt{8}=2\sqrt{2} \Rightarrow x+\frac{8}{x}\geq4\sqrt{2} \)。

故 \( x=2\sqrt{2} \) 時,有最小值 \( 4\sqrt{2}-4 \)。
作者: YAG    時間: 2013-5-9 09:52     標題: 請問填充三

謝謝!
作者: homma    時間: 2013-5-9 10:37     標題: 回復 45# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師回覆
問完後發現其實直接微分也可以
自己好搞笑 XD

順便回一下46F
這我直接硬算
加上 N需在CD線段 找CD的直線方程式即可
不過我想應該還要更漂亮的作法
煩請其他先進說明
作者: thepiano    時間: 2013-5-9 12:15

填充第 3 題
在找到更漂亮的方法前,硬算已經算完了

M(4,8),令 N(t,3t/2)
ABCD = △ABD + △BCD = 2 + 5 = 7
AMND = △AMD + △MND = 1 + (t - 4) = 7/2
t = 13/2
N(13/2,39/4)
作者: acc10033    時間: 2013-5-9 12:46     標題: 回復 43# syui912 的帖子

第八題也可用轉移矩陣

只是比教費時

是4×4的矩陣
作者: syui912    時間: 2013-5-9 14:18     標題: 回復 49# acc10033 的帖子

OK
謝謝您的的回應唷
作者: panda.xiong    時間: 2013-5-10 10:58

請問填充第6
作者: thepiano    時間: 2013-5-10 12:57

第 6 題
x_1 □ □ x_2 □ □ □ □ x_3
4 個間隔插入剩餘的 11 個數字
所求 = H(4,11)/C(20,3)
作者: panda.xiong    時間: 2013-5-10 15:14     標題: 回復 18# lyingheart 的帖子

為什麼這樣算出來是最小值啊??
作者: panda.xiong    時間: 2013-5-10 15:23     標題: 回復 41# weiye 的帖子

請問為什麼100要加x啊??
作者: thepiano    時間: 2013-5-10 18:32

引用:
原帖由 panda.xiong 於 2013-5-10 03:23 PM 發表
請問為什麼100要加x啊??
有 1/6 的機會"拿到 100 元,又可繼續擲,這時跟第一次擲時一樣,期望值也是 x"
作者: lyingheart    時間: 2013-5-10 20:20     標題: 回復 53# panda.xiong 的帖子

簡單的說,就是兩點連線段為最短。
如果題目是:A(6,5),B(5,8),想在x軸上找一點P以及y軸上找一點Q,
使得AP+PQ+QB為最短,那麼應如何做??
我想你應該知道做法就是取A關於x軸的對稱點A',以及B關於y軸的對稱點B',
連接A'B'分別與x軸、y軸交於P、Q兩點即為所求(當然,這還有條件),
而最短距離就是A'B'。
但是現在的問題是在空間中,如果做A關於x軸的對稱點和B關於y軸的對稱點,
其連線不一定會通過x軸與y軸,所以用對稱的想法在此不行。
換一種想法,在平面上的問題,作關於x軸的對稱點這件事,放在空間中,
可以看成是以x軸為轉軸旋轉180度,這提供了空間中的解法,也就是我所用的方法。
你也可以假設P(x,0,0),Q(0,y,0)進去用代數方式,會發現就變成平面的問題了。
作者: cefepime    時間: 2016-9-27 23:58

填充題 2. 求下列的級數和:

(1×2)+(1×2+2×3)+(1×2+2×3+3×4) +...+ (1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n) = ?

(在 17# 與 34# 有解法)


另解:

先提出 "2" 後,每個乘積皆為 C(k, 2) 之形式。

運用二次巴斯卡定理,所求 = 2 * [ C(3,3) + C(4,3) +…+ C((n+1),3) ] = 2 * C((n+2),4) = n(n-1)(n+1)(n+2) / 12

此結果亦可如下詮釋: 提出 "2" 後,級數可與 "由數字 1, 2, ..., (n+2) 當中選取 4 個的組合數" 對應: 第 k 個 (...) 表示選取的最大數為 (k+3)



填充題 10.

非計算題或許可用如下的 "觀察法"。

考慮 P 點在 CD 上移動時,△ADP 與 △CPQ 面積變化值的比值,其為一連續函數。

由此可體會,△ADP 與 △CPQ 的面積和為最小時,AP/AQ = 1/√2 = DP/CD

故所求 DP = CD/√2 = 2√2


作者: XINHAN    時間: 2021-3-26 21:19     標題: 分享手寫詳解

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