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標題: 102大直高中 [打印本頁]

作者: tacokao    時間: 2013-4-17 13:24     標題: 102大直高中

計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。

[ 本帖最後由 tacokao 於 2013-4-17 04:49 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1604&k=da8d6a5e6645e0297a78faabbd0ad1fb&t=1534882839
作者: 阿光    時間: 2013-4-17 21:53

想請教填充第8題 謝謝
作者: weiye    時間: 2013-4-17 23:53     標題: 回復 2# 阿光 的帖子

填充第 8 題:

拋磚引玉一下,小弟的作法有點繁瑣~而且答案有兩個~==? 

有勞大家幫忙 debug 了!:P

-----------------------------------------------------------------------------------

令 \(a_2 = r\),則

觀察一下數列:

\(a_1 = 1\)

\(a_2 = r\)

\(\displaystyle a_3 = \frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}=r^2\)

\(a_4=2a_3-a_2 = r\left(2r-1\right)\)

\(\displaystyle a_5=\frac{\left(a_4\right)^2}{a_3}=\left(2r-1\right)^2\)

\(a_6=2a_5-a_4 = \left(2r-1\right)\left(3r-2\right)\)

\(\displaystyle a_7=\frac{\left(a_6\right)^2}{a_5}=\left(3r-2\right)^2\)

\(a_8=2a_7-a_6 = \left(3r-2\right)\left(4r-3\right)\)

\(\displaystyle a_9=\frac{\left(a_8\right)^2}{a_7}=\left(4r-3\right)^2\)

\(a_{10}=2a_9-a_8 = \left(4r-3\right)\left(5r-4\right)\)

可以找到規律是 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2, a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right),\forall n\geq 2\)

(應該可以用數學歸納法證明這件事~:P)

由 \(a_9+a_{10}=646\),可得 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\) 或 \(r=5\)

若 \(r=5\),則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000 \Rightarrow n\leq 7\)

        \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq8\)

        \(\Rightarrow k=2\times8=16\)

若 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\),則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000  \Rightarrow n\leq 7\)

        \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq7\)

        \(\Rightarrow k=2\times7+1=15\)
作者: dav    時間: 2013-4-18 12:55

引用:
原帖由 weiye 於 2013-4-17 11:53 PM 發表
觀察一下數列:
...
第八題我的算法也是這樣耶~
算出來的r 值也一樣
4分而已....好少....
作者: casanova    時間: 2013-4-18 13:13

引用:
原帖由 tacokao 於 2013-4-17 01:24 PM 發表
計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。
有去考試的老師們能提供一下計算題是哪些題目嗎?
作者: bugmens    時間: 2013-4-18 21:18

8.有一個數列,\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列,第二、第三、第四項成等差數列;且一般而言,對所有的\( n \ge 1 \),\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列,\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項,試求\( k= \)?

A sequence of positive integers with \( a_1=1 \) and \( a_9+a_{10}=646 \) is formed so that the first three terms are in geometric progression, the second, third, and fourth terms are in arithmetic progression, and, in general, for all \( n \ge 1 \), the terms \( a_{2n-1} \), \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \) are in geometric progression, and the terms \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \), and \( a_{2n+2} \) are in arithmetic progression. Let \( a_{n} \) be the greatest term in this sequence that is less than 1000. Find \( n+a_{n} \).
(2004AIME第九題,http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2004)
點題號會跳到討論文章

中文題目應該是從這裡抄出來的,檔案就少了正整數這個條件
http://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=866
作者: tacokao    時間: 2013-4-18 22:19     標題: 回復 5# casanova 的帖子

計算題總共八題,細節有點記不太住了,真是抱歉,不過最後一題為101全國聯招,計算第2題,(https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&highlight=101) 。重點應該是如何引導學生,而非解題。
作者: tacokao    時間: 2013-4-18 22:21

另外還記得一題,圓內接四邊形ABCD,四邊長依順時針方向為1、4、8、7,求圓的半徑。
作者: Joy091    時間: 2013-4-20 16:34     標題: 回復 1# tacokao 的帖子

填充第4 (向量那題) 答案應該給錯了...

舉個特別的例子:
A(0,0), B(0,5), C(5,0)
則依題意 P(4,6)
a(ABC)=25/2
a(ABP)=24/2
得到 a(ABP):a(ABC)=24:25   (答案給4:5)

另外一提,最近在登錄 mathpro 時,一直遇到驗證碼錯誤而無法登入的問題,
不知大家是否也有相同的困擾??
作者: ichiban    時間: 2013-4-20 17:20     標題: 回復 9# Joy091 的帖子

我依你的數據算了
a(ABP)是5*4/2=20/2
比完之後確實是4:5
答案應該沒錯~
作者: Joy091    時間: 2013-4-20 17:22     標題: 回復 10# ichiban 的帖子

我發現我哪裡算錯了,謝謝!
作者: kpan    時間: 2013-4-20 17:46     標題: 回復 9# Joy091 的帖子

如果照您的方式
a(ABP)  的底 為5  高為4才對  所以面積 為10

答案 也是 4:5
作者: 王保丹    時間: 2013-4-20 20:49

想請問填充題第9題如何解?

[ 本帖最後由 王保丹 於 2013-4-20 08:51 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2013-4-20 21:01     標題: 回復 13# 王保丹 的帖子

第 9 題:

已知 \(a>0, b>0\)

由柯西不等式,可得

\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a+1}\right)^2+\left(\sqrt{b+3}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\geq\left(1\cdot\sqrt{a+1}+1\cdot\sqrt{b+3}\right)^2\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\right)^2}{a+b+4}\leq 2\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\leq \sqrt{2}\)

且當等號成立時,\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{1}=\frac{\sqrt{b+3}}{1}\Leftrightarrow a=b+2\)
作者: shiauy    時間: 2013-4-20 21:04     標題: 回復 13# 王保丹 的帖子

令\(a+1=x , b+3=y\)
則原式=\(\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}\)
設\(f(x) = \sqrt x \)
由jensen不等式,對於\(x,y > 0\)
則有\(\displaystyle\sqrt {\frac{{x + y}}{2}}  \ge \frac{1}{2}(\sqrt x  + \sqrt y )\)
即\(\displaystyle\frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }} \le \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)

[ 本帖最後由 shiauy 於 2013-4-25 10:09 PM 編輯 ]
作者: ichiban    時間: 2013-4-20 21:05     標題: 回復 13# 王保丹 的帖子

被學長搶先了一步
還好方法不一樣


圖片附件: 1111.JPG (2013-4-20 21:05, 18.29 KB) / 該附件被下載次數 806
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1612&k=624fd7dbc0644d1d9732b7eef2a9874f&t=1534882839


作者: 王保丹    時間: 2013-4-20 21:12

謝謝各位大大的解答
我反應真的太慢了
我也解出來了
整份考卷只有第八題算不出來
還是看各位的解答才會的
還好有這網站
作者: Sandy    時間: 2013-4-26 14:01     標題: 回復 1# tacokao 的帖子

可以舉手問第一題嗎?!
想了很久,除了一個一個帶數字外,還有其他辦法嗎?!
作者: weiye    時間: 2013-4-26 17:40     標題: 回復 18# Sandy 的帖子

第 1 題:

依題意可令 \(\displaystyle n^2+3n+11 = (2k-1)(2k+1)\),其中 \(k\) 正整數,

\(\displaystyle \left(n+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4} = 4k^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(4k\right)^2 - \left(2n+3\right)^2= 39\)

可得 \(\displaystyle \left(4k-2n-3\right)\left(4k+2n+3\right)=39\)

且因為 \(n,k\) 皆為正整數,所以 \(4k+2n+3>4k-2n-3\) 且兩者皆為正整數,

所以

case 1: \(\displaystyle 4k-2n-3=1, 4k+2n+3=39 \Rightarrow k=5, n=8\)

case 2: \(\displaystyle 4k-2n-3=3, 4k+2n+3=13 \Rightarrow k=1, n=1\) (不合)
作者: ho9o9o9    時間: 2013-5-2 13:02     標題: 回復 13# 王保丹 的帖子

第九題提供另一個想法
看成點(1,1)至直線(a+1)^(1/2)*x+(b+3)^(1/2)*y=0上一點的最大值
代 點到直線距離公式即可得所求式子~最大值為(1,1)到(0,0)距離

不知怎打語法~抱歉~
作者: panda.xiong    時間: 2014-4-17 11:57

我想請教一下填充第6題....
作者: tsusy    時間: 2014-4-17 15:22     標題: 回復 21# panda.xiong 的帖子

填充 6.
五位數,數字和 42, 99996, 99987, 99888,及交換數字順字
99996,排列 5 種,僅 1 種為 4 的倍數
99987,排列 20 種,皆非 4 的倍數
99888,排列 10 種,有 3 種為 4 的倍數
故所求機率  \( \frac{1+3}{5+20+10} = \frac4{35}\)
作者: yi4012    時間: 2018-3-21 21:46     標題: 回復 13# 王保丹 的帖子

第九題:
我的解法是
根號(a+1)=x=rcosk,根號(b+3)=y=rsink
k介於0~90度之間
原式=(x+y)/根號(x^2+y^2)=(rcosk+rsink)/r=cosk+sink
簡而易見最大值為根號2




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