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標題: 102大直高中 [打印本頁]

作者: tacokao 時間: 2013-4-17 13:24 標題: 102大直高中

計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1604&k=34fc3acb04a895221830ae48cabd3398&t=1732249138

作者: 阿光 時間: 2013-4-17 21:53

想請教填充第8題謝謝

作者: weiye 時間: 2013-4-17 23:53 標題: 回復 2# 阿光的帖子

填充第 8 題：
有一個數列，\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列，第二、第三、第四項成等差數列；且一般而言，對所有的\( n \ge 1 \)，\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列，\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項，試求\( k= \)？
[解答]
拋磚引玉一下，小弟的作法有點繁瑣～而且答案有兩個～＝＝？　

有勞大家幫忙 debug 了！：Ｐ

-----------------------------------------------------------------------------------

令 \(a_2 = r\)，則

觀察一下數列：

\(a_1 = 1\)

\(a_2 = r\)

\(\displaystyle a_3 = \frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}=r^2\)

\(a_4=2a_3-a_2 = r\left(2r-1\right)\)

\(\displaystyle a_5=\frac{\left(a_4\right)^2}{a_3}=\left(2r-1\right)^2\)

\(a_6=2a_5-a_4 = \left(2r-1\right)\left(3r-2\right)\)

\(\displaystyle a_7=\frac{\left(a_6\right)^2}{a_5}=\left(3r-2\right)^2\)

\(a_8=2a_7-a_6 = \left(3r-2\right)\left(4r-3\right)\)

\(\displaystyle a_9=\frac{\left(a_8\right)^2}{a_7}=\left(4r-3\right)^2\)

\(a_{10}=2a_9-a_8 = \left(4r-3\right)\left(5r-4\right)\)

可以找到規律是 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2, a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right),\forall n\geq 2\)

（應該可以用數學歸納法證明這件事～：Ｐ）

由 \(a_9+a_{10}=646\)，可得 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\) 或 \(r=5\)

若 \(r=5\)，則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000 \Rightarrow n\leq 7\)

　　　　　　　 \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq8\)

　　　　　　　　\(\Rightarrow k=2\times8=16\)

若 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\)，則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000 \Rightarrow n\leq 7\)

　　　　　　　 \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq7\)

　　　　　　　　\(\Rightarrow k=2\times7+1=15\)

作者: dav 時間: 2013-4-18 12:55

引用:

原帖由 weiye 於 2013-4-17 11:53 PM 發表
觀察一下數列：
...

第八題我的算法也是這樣耶~
算出來的\(r\)值也一樣
4分而已....好少....

作者: casanova 時間: 2013-4-18 13:13

引用:

原帖由 tacokao 於 2013-4-17 01:24 PM 發表
計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。

有去考試的老師們能提供一下計算題是哪些題目嗎？

作者: bugmens 時間: 2013-4-18 21:18

8.
有一個數列，\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列，第二、第三、第四項成等差數列；且一般而言，對所有的\( n \ge 1 \)，\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列，\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項，試求\( k= \)？

A sequence of positive integers with \( a_1=1 \) and \( a_9+a_{10}=646 \) is formed so that the first three terms are in geometric progression, the second, third, and fourth terms are in arithmetic progression, and, in general, for all \( n \ge 1 \), the terms \( a_{2n-1} \), \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \) are in geometric progression, and the terms \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \), and \( a_{2n+2} \) are in arithmetic progression. Let \( a_{n} \) be the greatest term in this sequence that is less than 1000. Find \( n+a_{n} \).
(2004AIME第九題，http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2004)
點題號會跳到討論文章

中文題目應該是從這裡抄出來的，檔案就少了正整數這個條件
h ttp://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=866　連結已失效

作者: tacokao 時間: 2013-4-18 22:19 標題: 回復 5# casanova 的帖子

計算題總共八題，細節有點記不太住了，真是抱歉，不過最後一題為101全國聯招，計算第2題，(https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&highlight=101) 。重點應該是如何引導學生，而非解題。

作者: tacokao 時間: 2013-4-18 22:21

另外還記得一題，圓內接四邊形ABCD，四邊長依順時針方向為1、4、8、7，求圓的半徑。

作者: Joy091 時間: 2013-4-20 16:34 標題: 回復 1# tacokao 的帖子

填充第4 (向量那題) 答案應該給錯了...

舉個特別的例子:
A(0,0), B(0,5), C(5,0)
則依題意 P(4,6)
a(ABC)=25/2
a(ABP)=24/2
得到 a(ABP):a(ABC)=24:25 (答案給4:5)

另外一提，最近在登錄 mathpro 時，一直遇到驗證碼錯誤而無法登入的問題，
不知大家是否也有相同的困擾??

作者: ichiban 時間: 2013-4-20 17:20 標題: 回復 9# Joy091 的帖子

我依你的數據算了
a(ABP)是5*4/2=20/2
比完之後確實是4:5
答案應該沒錯~

作者: Joy091 時間: 2013-4-20 17:22 標題: 回復 10# ichiban 的帖子

我發現我哪裡算錯了，謝謝!

作者: kpan 時間: 2013-4-20 17:46 標題: 回復 9# Joy091 的帖子

如果照您的方式
a(ABP) 的底為5 高為4才對所以面積為10

答案也是 4:5

作者: 王保丹 時間: 2013-4-20 20:49

想請問填充題第9題如何解?

作者: weiye 時間: 2013-4-20 21:01 標題: 回復 13# 王保丹的帖子

第 9 題：
若\(a>0,b>0\)，則\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\)的最大值為　　　。
[解答]
已知 \(a>0, b>0\)

由柯西不等式，可得

\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a+1}\right)^2+\left(\sqrt{b+3}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\geq\left(1\cdot\sqrt{a+1}+1\cdot\sqrt{b+3}\right)^2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\right)^2}{a+b+4}\leq 2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\leq \sqrt{2}\)

且當等號成立時，\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{1}=\frac{\sqrt{b+3}}{1}\Leftrightarrow a=b+2\)

作者: shiauy 時間: 2013-4-20 21:04 標題: 回復 13# 王保丹的帖子

令\(a+1=x , b+3=y\)
則原式=\(\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}\)
設\(f(x) = \sqrt x \)
由jensen不等式，對於\(x,y > 0\)
則有\(\displaystyle\sqrt {\frac{{x + y}}{2}} \ge \frac{1}{2}(\sqrt x + \sqrt y )\)
即\(\displaystyle\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }} \le \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)

作者: ichiban 時間: 2013-4-20 21:05 標題: 回復 13# 王保丹的帖子

被學長搶先了一步
還好方法不一樣

圖片附件: 1111.JPG (2013-4-20 21:05, 18.29 KB) / 該附件被下載次數 6296
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1612&k=dc0514fccf8acfc318afb67f6171080f&t=1732249138

作者: 王保丹 時間: 2013-4-20 21:12

謝謝各位大大的解答
我反應真的太慢了
我也解出來了
整份考卷只有第八題算不出來
還是看各位的解答才會的
還好有這網站

作者: Sandy 時間: 2013-4-26 14:01 標題: 回復 1# tacokao 的帖子

可以舉手問第一題嗎？！
想了很久，除了一個一個帶數字外，還有其他辦法嗎？！

作者: weiye 時間: 2013-4-26 17:40 標題: 回復 18# Sandy 的帖子

第 1 題：
設\(n\)為大於1的正整數，若\(n^2+3n+11\)為兩相鄰正奇數的乘積，則\(n=\)　　　。
[解答]
依題意可令 \(\displaystyle n^2+3n+11 = (2k-1)(2k+1)\)，其中 \(k\) 正整數，

\(\displaystyle \left(n+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4} = 4k^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(4k\right)^2 - \left(2n+3\right)^2= 39\)

可得 \(\displaystyle \left(4k-2n-3\right)\left(4k+2n+3\right)=39\)

且因為 \(n,k\) 皆為正整數，所以 \(4k+2n+3>4k-2n-3\) 且兩者皆為正整數，

所以

case 1: \(\displaystyle 4k-2n-3=1, 4k+2n+3=39 \Rightarrow k=5, n=8\)

case 2: \(\displaystyle 4k-2n-3=3, 4k+2n+3=13 \Rightarrow k=1, n=1\) （不合）

作者: ho9o9o9 時間: 2013-5-2 13:02 標題: 回復 13# 王保丹的帖子

第九題
若\(a>0,b>0\)，則\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\)的最大值為　　　。
[解答]
提供另一個想法
看成點\((1,1)\)至直線\(\sqrt{a+1}x+\sqrt{b+3}y=0\)上一點的最大值
代點到直線距離公式即可得所求式子~最大值為\((1,1)\)到\((0,0)\)距離

作者: panda.xiong 時間: 2014-4-17 11:57

我想請教一下填充第6題....

作者: tsusy 時間: 2014-4-17 15:22 標題: 回復 21# panda.xiong 的帖子

填充 6.
從各位數和等於42的五位數中隨機選出一個數，這個數恰為4倍數的機率為　　　。
[解答]
五位數，數字和 42, 99996, 99987, 99888，及交換數字順字
99996，排列 5 種，僅 1 種為 4 的倍數
99987，排列 20 種，皆非 4 的倍數
99888，排列 10 種，有 3 種為 4 的倍數
故所求機率 \( \frac{1+3}{5+20+10} = \frac4{35}\)

作者: yi4012 時間: 2018-3-21 21:46 標題: 回復 13# 王保丹的帖子

第九題：
我的解法是
根號(a+1)=x=rcosk，根號(b+3)=y=rsink
k介於0~90度之間
原式=(x+y)/根號(x^2+y^2)=(rcosk+rsink)/r=cosk+sink
簡而易見最大值為根號2

作者: enlighten0626 時間: 2022-4-6 15:44

請問第七題

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-6 15:49 標題: 回復 24# enlighten0626 的帖子

7.
試求\(1!\times 1+2!\times 2+3!\times 3+4!\times 4+\ldots+101!\times 101\)除以1212之餘數為　　　。
[解答]
\(\displaystyle \sum_{k=1} ^{101} n\times n! = \sum_{k=1}^{101} (n+1)!-n! \)
所求為\(\displaystyle M=102!-1 \Rightarrow M \equiv -1 \equiv 1211 \ (mod \ 1212)\)

111.7.3補充
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

作者: enlighten0626 時間: 2022-4-7 10:06 標題: 回復 25# satsuki931000 的帖子

感謝解惑

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