標題: 請教遞迴一題！（費氏數列與分項對消） [打印本頁]

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作者: judy75    時間: 2013-4-12 15:53     標題: 請教遞迴一題！（費氏數列與分項對消）

滿足\(a_1=a_2=1\)，\(a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\)的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)稱為費氏數列，則\(\displaystyle \frac{1}{a_1a_3}+\frac{1}{a_2a_4}+\ldots+\frac{1}{a_na_{n+2}}+=\)　　　。
請教大家，感謝！

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作者: weiye    時間: 2013-4-12 17:24     標題: 回復 1# judy75 的帖子

一般項 \(\displaystyle\frac{1}{a_k a_{k+2}}=\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+2}}\right)\frac{1}{a_{k+2}-a_k}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+2}}\right)\frac{1}{a_{k+1}}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{1}{a_k a_{k+1}}-\frac{1}{a_{k+1}a_{k+2}}\)

　　　　　　　　其中 \(k=1,2,3,\cdots\)

因此，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k a_{k+2}}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a_k a_{k+1}}-\frac{1}{a_{k+1}a_{k+2}}\right)\)

　　　　　　　　　　\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{a_1 a_2}-\frac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}\right)\)

易知 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_{n+2}=\infty\)［可證 \(a_k\geq n, \forall n\geq5\)］

因此，所求＝\(\displaystyle\frac{1}{a_1 a_2}=1\)

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作者: judy75    時間: 2013-4-13 13:28     標題: 回復 2# weiye 的帖子

了解了！感謝您的答覆！辛苦了！

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