標題: ΔABC三邊5,a,b，求a^2*cos2B+2ab cos(A-B)+b^2*cos2A 之值 [打印本頁]

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作者: thankyou    時間: 2013-2-5 11:00     標題: ΔABC三邊5,a,b，求a^2*cos2B+2ab cos(A-B)+b^2*cos2A 之值

在 \(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{AC}\) 長度各別為 \(5,a,b\) ，則求 \(a^2\cos 2B+2ab\cos \left(A-B\right)+b^2\cos 2A\) 之值＝？
請教一題三角函數，謝謝!!

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作者: weiye    時間: 2013-2-5 13:13     標題: 回復 1# thankyou 的帖子

題目：在 \(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{AC}\) 長度各別為 \(5,a,b\) ，則

　　　求 \(a^2\cos 2B+2ab\cos \left(A-B\right)+b^2\cos 2A\) 之值＝？

解答：

在 \(\triangle ABC\) 中，由正弦定理可得 \(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow a\sin B - b\sin A=0\)

由投影定理，可得 \(a\cos B+b\cos A = \overline{AB}=5\)



所求＝\(a^2\cos 2B+2ab\cos \left(A-B\right)+b^2\cos 2A\)

　　　\(=a^2\left(\cos^2 B-\sin^2 B\right)+2ab\left(\cos A\cos B+\sin A\sin B\right)+b^2\left(\cos^2 A-\sin^2 A\right)\)

　　　\(=\left(a\cos B+b\cos A\right)^2-\left(a\sin B-b\sin A\right)^2\)

　　　\(=5^2-0^2=25\)

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