標題: 請教三角函數 [打印本頁]

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作者: thankyou    時間: 2012-10-10 19:44     標題: 請教三角函數

請教三角函數題目三題 謝謝!!
(1)\(\Delta ABC\)中\(\displaystyle cscA=\frac{cosA+cosB}{sinA+sinB}\),則\(\Delta ABC\)的形狀為？
(2)\(\Delta ABC\)中\(a^4+b^4+c^4+a^2b^2=2c^2(a^2+b^2)\),則\(∠C=\)？
(3)\(\Delta ABC\)中\(b^2sin^2C-c^2cos^2B=2bc\cdot cosBcosC\),則\(\displaystyle \frac{a^2+3ab+b^2}{a^2-ab+b^2}=\)？
答案：(1)直角三角形 (2)\(60^{\circ}\)或\(120^{\circ}\)  (3)5

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作者: arend    時間: 2012-10-10 20:50

2. 化為(a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+C^4=a^2b^2
    (a^2+b^2-c^2)^2=a^2b^2
    所以a^2+b^2-c^2=+ab 或-ab
   餘弦定理可得 cosC=+1/2 或-1/2

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作者: arend    時間: 2012-10-10 21:02

3.
化為\( b^2=b^2cos^2C+2bccosBcosC+c^2cos^2B=(bcosC+ccosB)^2=a^2\)
得\(a=b\)
帶入得所求為5

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作者: weiye    時間: 2012-10-11 11:40     標題: 回復 1# thankyou 的帖子

題目應該有誤，不然答案似乎不會是直角三角形。~~

\(\displaystyle\frac{1}{\sin A}=\frac{\cos A+\cos B}{\sin A+\sin B}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{1}{\sin A}=\frac{2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{1}{\sin A}=\cot\left(\frac{A+B}{2}\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{1}{\sin A}=\cot\left(\frac{\pi-C}{2}\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{1}{\sin A}=\tan\frac{C}{2}\)

因為 \(\displaystyle\tan\frac{C}{2}=\frac{1}{\sin A}\geq1\)，所以 \(\displaystyle45^\circ\leq \frac{C}{2}\leq90^\circ\)

\(\displaystyle\Rightarrow 90^\circ\leq C\leq 180^\circ\)

若 \(C=90^\circ\)，則 \(\sin A=1\Rightarrow A=90^\circ\) 且 \(B=0^\circ\)，無法形成三角形。

若 \(C>90^\circ\)，則 \(\triangle ABC\) 為鈍角三角形。

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