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標題: 101屏東女中三招 [打印本頁]

作者: weni 時間: 2012-7-25 21:30 標題: 101屏東女中三招

大家請享用

TOTAL共23題，補充計算證明第23題：

三角形ABC，若 $$a=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}，b=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}， c=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}，$$試證：ab+bc+ca>0。

101.7.26補充
將題目重新打字。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-7-26 09:51 PM 編輯 ]

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作者: GGQ 時間: 2012-8-1 09:22 標題: 回復 1# weni 的帖子

請教第3題的解法,謝謝!

作者: weiye 時間: 2012-8-1 12:41 標題: 回復 2# GGQ 的帖子

第 3 題：

因為 $x\neq1$，所以 $\displaystyle 1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^n}{1-x}$

將上式左右兩邊同時對 $x$ 微分，可得 $\displaystyle 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{-nx^{n-1}\cdot(1-x)-(1-x^n)\cdot(-1)}{(1-x)^2}$

即 $\displaystyle 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{nx^n-x^n-nx^{n-1}+1}{(1-x)^2}$

將上式左右兩邊同時乘上 $x$，可得 $\displaystyle x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n=\frac{nx^{n+1}-x^{n+1}-nx^n+x}{(1-x)^2}$

將上式左右兩邊同時對 $x$ 微分，然後左右兩邊同時乘上 $x$，即可得所求。

作者: doordie25 時間: 2012-8-1 16:38

求助高手5、9題，完全沒想法....

作者: weiye 時間: 2012-8-1 19:54 標題: 回復 4# doordie25 的帖子

第 5 題：

將第一、二式表示成 $\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}(x-b)+(y-c)+(z-a)=0\\ b(x-b)+c(y-c)+a(z-a)=0\end{array}\right.$

可得 $\displaystyle (x-b):(y-c):(z-a)=\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ c& a\end{array} \right|:\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ a& b\end{array} \right|:\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ b& c\end{array} \right|=(a-c):(b-a):(c-b)$

令 $x-b=k(a-c), y-c=k(b-a), z-a=k(c-b)$

即 $x=b+k(a-c), y=c+k(b-a), z=a+k(c-b)$

再帶入題目所給之第三式，可得 $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(k+1)=0$

因為 $a,b,c$ 為三相異實數，

所以 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\neq0$

故， $k=-1$

即 $x=b+c-a, y=a+c-b, z=a+b-c$

作者: 老王 時間: 2012-8-2 11:04 標題: 回復 4# doordie25 的帖子

多背點公式吧
$\displaystyle \cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} $
$\displaystyle \cos\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}} $
$\displaystyle \cos\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}} $
$\displaystyle \tan\frac{A}{2}=\frac{r}{s-a} $
$\displaystyle \tan\frac{B}{2}=\frac{r}{s-b} $
$\displaystyle \tan\frac{C}{2}=\frac{r}{s-c} $

$\displaystyle \frac{\sqrt{\tan\frac{B}{2} \tan\frac{C}{2}}}{\cos\frac{A}{2}}+\frac{\sqrt{\tan\frac{C}{2} \tan\frac{A}{2}}}{\cos\frac{B}{2}}+\frac{\sqrt{\tan\frac{A}{2} \tan\frac{B}{2}}}{\cos\frac{C}{2}} $

$\displaystyle =\frac{r \sqrt{bc}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}+\frac{r \sqrt{ac}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}+\frac{r \sqrt{ab}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}} $

$\displaystyle =\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{s} $

又 $\displaystyle a+b \ge 2\sqrt{ab} $
$\displaystyle b+c \ge 2\sqrt{bc} $
$\displaystyle a+c \ge 2\sqrt{ac} $
三式相加得到
$\displaystyle 2(a+b+c) \ge 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}) $
故$\displaystyle \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{s} \le 2 $

[ 本帖最後由老王於 2012-8-2 11:13 AM 編輯 ]

作者: 阿光 時間: 2012-8-2 20:54

想請教第1,2題謝謝

作者: weiye 時間: 2012-8-2 21:19 標題: 回復 7# 阿光的帖子

第 1 題：

任取－沒有選到偶數－沒有選到５＋沒有選到偶數且沒有選到５

＝$H_5^5-H_5^3-H_5^4+H_5^2=55$

作者: weiye 時間: 2012-8-2 21:40 標題: 回復 7# 阿光的帖子

第 2 題：

所求＝$\displaystyle\sum_{k=1}^{15}C^{2k+1}_3$

　　　$\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{(2k+1)\cdot(2k)\cdot(2k-1)}{3!}$

　　　$\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{4k^3-k}{3}$

　　　$\displaystyle=\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{15\times16}{2}\right)^2-\frac{1}{3}\cdot\frac{15\times16}{2}$

　　　$=19160.$

作者: doordie25 時間: 2012-8-2 23:24

感謝瑋老師

作者: doordie25 時間: 2012-8-2 23:26 標題: 回復 6# 老王的帖子

cos的半角公式沒看過...謝謝

作者: jmfeng2001 時間: 2012-8-2 23:45

想請教填充22題:投擲四顆相異的公正骰子一次，求點數和不超過16的機率
想用一個一個慢慢算...結果還是算錯...
想請教各位先進...怎麼去思考...才錯
謝謝!

作者: arend 時間: 2012-8-3 00:01

請教第11與12題
另外請教第6題是否有快速解法

謝謝

作者: Ellipse 時間: 2012-8-3 00:31

引用:

原帖由 arend 於 2012-8-3 12:01 AM 發表
請教第11與12題
另外請教第6題是否有快速解法

謝謝

#12
假設O1(0,0,0) ,O2(2,-5,3) ,令Q點為兩球的外公切平面與直線O1O2的交點,
利用分點公式可得Q(-1,5/2,-3/2),
而P(-1,4,0),則通過PQ的平面族可設 E: (x+1)+k(y-z-4)=0
整理E:x+ky-kz+1-4k=0 ,再利用 d(Q1,E)=1
可求出k=0或4/7

#6
代x=0就求出來了~

#11
考古題,之前有人有寫過
請先爬文一下
不懂再問~

作者: tsusy 時間: 2012-8-3 09:36 標題: 回復 12# jmfeng2001 的帖子

22 題，反著算，點數和不超 16 和點數和 12 以上是一樣

再去計算點數和 11 以下的機率

$ H^5_7-4H^5_1 = 330 - 20 =310 $

因此所求 $ = 1- \frac{310}{6^4}=\frac{493}{648} $

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-9-27 10:30 PM 編輯 ]

作者: jmfeng2001 時間: 2012-8-3 11:21

感謝寸絲老師...
原來這樣簡單多了...
謝謝!

作者: 阿光 時間: 2012-8-3 21:18

想請教第7和10題謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-8-3 21:28 標題: 回復 17# 阿光的帖子

第 7 題

以兩點兩半徑做兩圓，則直線必為兩圓相切，即公切線

兩條外公切線、一條內公切，剩下的應該不難算

第 10 題

以圖形觀之或者令 $ z_{1}=x+yi $, $ z_{1}-a=(z_{1}+a)ki $ 可得 $ z_{1}=\pm ai$

由方程式可得 $ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1\pm\sqrt{5}i}{3}\Rightarrow z_{2}=\frac{1\mp\sqrt{5}i}{2} $

旋轉不影響面積，$ P_{1}'(a,0) $, $ P_{2}'(\frac{a}{2},\mp\frac{\sqrt{5}}{2}) $

$ \triangle P_{1}OP_{2}=\triangle P'_{1}OP'_{2}=\frac{1}{2}|\begin{vmatrix}a & \frac{a}{2}\\
0 & \frac{\sqrt{5}}{2}a
\end{vmatrix}|=\frac{\sqrt{5}}{4}a^{2} $

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-8-3 09:43 PM 編輯 ]

作者: arend 時間: 2012-8-4 00:05

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-8-3 12:31 AM 發表

#12
假設O1(0,0,0) ,O2(2,-5,3) ,令Q點為兩球的外公切平面與直線O1O2的交點,
利用分點公式可得Q(-1,5/2,-3/2),
而P(-1,4,0),則通過PQ的平面族可設 E: (x+1)+k(y-z-4)=0
整理E:x+ky-kz+1-4k=0 ,再利用 d(Q1,E)=1
可 ...

謝謝Ellipese老師
#12用懂了
#6 的確是好方法,謝謝

#11還沒想通,我在想想

謝謝你的指教,感激

作者: 阿光 時間: 2012-8-5 19:50

想再請教16和20題謝謝

作者: weiye 時間: 2012-8-5 22:22 標題: 回復 20# 阿光的帖子

第 16 題：

令 $F(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，則

$F(x+1)-F(x)=3ax^2+(3a+2b)x+(a+b+c)$

解 $3a=-6,3a+2b=-4,a+b+c=4$

可得 $a=-2,b=1,c=5$

因此，$F\,'(x)=-6x^2+2x+5$

$\Rightarrow F\,'(2)=-15$

作者: Ellipse 時間: 2012-8-5 22:28

引用:

原帖由阿光於 2012-8-5 07:50 PM 發表
想再請教16和20題謝謝

#20

2^10*S_30- (2^10+1)*S_20 +S_10=0
整理得2^10*(S_30 -S_20)=(S_20 -S_10)

因為S_n為等比級數,所以,S_10 ,S_20 -S_10 ,S_30-S_20 成等比數列 (公比= 1/2^10)
則S_20 -S_10 = (1/2^10)*S_10

令{a_n}的公比為r
(1/2)*[r^20-1]/[r-1] - (1/2)*[r^10-1]/[r-1] = (1/2^10 ) * (1/2)*[r^10-1]/[r-1]
整理得1024* r^20 -1025*r^10+1=0
r^10=1/1024 或 r^10=1
r=1/2 (1不合)

所求=S_1+2*S_2+3*S_3+...............+n*S_n
=(1-1/2) +2 *[1- (1/2)^2]+3*[1-(1/2)^3]+..............................+n*[1-(1/2)^n]
=(1+2+3+...............+n)- [(1/2)+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+....................+n*(1/2)^n]
=n(n+1)/2 -2 + 1/2^(n-1) +n /2^n

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-8-5 10:47 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2012-8-5 22:49 標題: 回復 20# 阿光的帖子

第 20 題：

設 $<a_n>$ 等比數列的公比為 $r$ 且 $r>0$，

令 $S_{10}=a, r^{10}=t$，則

$2^{10}(a+at+at^2)-(2^{10}+1)(a+at)+a=0$

因為 $a>0, t>0$，所以可得 $\displaystyle t=\frac{1}{1024}\Rightarrow r=\frac{1}{2}$

$\displaystyle\Rightarrow  nS_n=n\cdot\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{1-\frac{1}{2}}=n-\frac{n}{2^n}$

因此 $<nS_n>$ 的前 $n$ 項和 $\displaystyle  T_n = \sum_{k=1}^n k S_k = \sum_{k=1}^n\left(k-\frac{k}{2^k}\right)$

　　　$\displaystyle  =\sum_{k=1}^n k -\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$

　　　$\displaystyle  =\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}$

再化簡一下就可以得到標準答案的那個樣子了。

註：最後一行可以參考之前我回覆第 3 題的中間步驟（$\displaystyle x=\frac{1}{2}$ 代入）。

作者: arend 時間: 2012-8-14 02:53

請教第8題與第21題

#8,二正跟與一負根,請提示一下
想了幾種方法都無法求出

謝謝

作者: weiye 時間: 2012-8-14 15:52 標題: 回復 24# arend 的帖子

第 8 題：

三次曲線 $y=x^3+3x^2-24x$ 與水平線 $y=-a$ 有三個相異交點，

且其中有兩個交點的 $x$ 坐標為正，一個交點的 $x$ 坐標為負。

如下圖：

可得 $-28<-a<0\Rightarrow 0<a<28$

圖片附件: qq.png (2012-8-14 15:52, 7.41 KB) / 該附件被下載次數 5677
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作者: weiye 時間: 2012-8-14 16:05 標題: 回復 25# weiye 的帖子

第 21 題：

$\displaystyle P(\mbox{丟四顆骰子一次，恰兩顆點數相同}) = \frac{C^4_2 \cdot 6\cdot5\cdot4}{6^4} = \frac{5}{9}$

$\displaystyle \Rightarrow P(\mbox{丟四顆骰子一次，沒有恰兩顆點數相同的情況}) = 1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$

設滿足題述時，最少應投擲 $n$ 次，則

$\displaystyle 1-\left(\frac{4}{9}\right)^n>0.9$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^n<0.1$

兩邊取 $\log$ 得 $n>2.xxxxxxx$

$\Rightarrow n$ 至少為 $3$。

作者: arend 時間: 2012-8-14 19:15

引用:

原帖由 weiye 於 2012-8-14 03:52 PM 發表
第 8 題：

三次曲線 $y=x^3+3x^2-24x$ 與水平線 $y=-a$ 有三個相異交點，

且其中有兩個交點的 $x$ 坐標為正，一個交點的 $x$ 坐標為負。

如下圖：...

謝謝瑋岳老師

這個解法太漂亮了

趕快記下來

作者: arend 時間: 2012-8-17 14:35

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-8-3 12:31 AM 發表

#12
假設O1(0,0,0) ,O2(2,-5,3) ,令Q點為兩球的外公切平面與直線O1O2的交點,
利用分點公式可得Q(-1,5/2,-3/2),
而P(-1,4,0),則通過PQ的平面族可設 E: (x+1)+k(y-z-4)=0
整理E:x+ky-kz+1-4k=0 ,再利用 d(Q1,E)=1
可 ...

#11
我找到了

弄懂了,謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-8-17 02:46 PM 編輯 ]

作者: vicky614 時間: 2012-9-25 15:06 標題: 回復 15# tsusy 的帖子

請問老師:
         第22題如果我直接算,設a,b,c,d分別為第一次到第四次的骰子點數.
則a+b+c+d<=16,  0<= a,b,c,d  <=6
a'+b'+c'+d' <= 12,  0<= a',b',c',d'<=5
則點數和不超過16的結果為 H(512) - 4*H(5,6) = 980
故所求機率為  980/(6*6*6*6) = 490/648  不等於  493/648
請問是哪個步驟出問題了?!  請各位老師協助指正,謝謝!

作者: tsusy 時間: 2012-9-25 18:53 標題: 回復 29# vicky614 的帖子

「容斥原理」，以前叫排容，換個名字也沒有比較好的樣子

a'= 6, b'=6, c'=d'=0

在 H(5,12) - 4*H(5,6) 中

被扣了兩次

所以應該用容斥或排容修正之

作者: vicky614 時間: 2012-9-26 15:01 標題: 回復 30# tsusy 的帖子

請問寸絲老師:
1. 用容斥原理如何修正?
2. 所以這就是您一開始選擇用倒扣的方式,而不直接算的原因嗎?
是因為倒扣時,數字小,不會有重複扣嗎?
很好奇老師為什麼一開始不直接用這樣算,而是用扣的,想問想法.
麻煩老師,謝謝您的幫忙!

作者: tsusy 時間: 2012-9-27 14:31 標題: 回復 31# vicky614 的帖子

1. 容斥原理

自己該做點功課，翻書或 Google 都很容易找到

2. 基本上寸絲是個懶人

容斥的做法，也做到，但人懶沒藥醫，但麻煩就會胡思亂想

有句話叫「科技始終來自於人性」，所以我的數學，始終來自於墯性(笑)

作者: icetea 時間: 2012-11-27 16:19

想請問13，18題

[ 本帖最後由 icetea 於 2012-11-27 04:39 PM 編輯 ]

作者: mingzhe 時間: 2012-11-27 21:52 標題: 回復 33# icetea 的帖子

18. 令 f(x) = ( x - k )( x - 1)( x - 2 )( x - 3) + 4x

作者: bugmens 時間: 2012-11-27 23:09

這題我只告訴各位方向，有興趣的請自行將證明補完
13.P為△ABC內部一點，且$ ∠PAB=∠PBC=∠PCA=15^o $，求$ \displaystyle \frac{1}{sin^2 A}+\frac{1}{sin^2 B}+\frac{1}{sin^2 C}= $？
[提示]
$ csc^2 A+csc^2 B+csc^2 C=csc^2 15^o $

假如還是想不到該如何證明的話，可以到這裡找
http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/
至於是哪一篇就要你自己慢慢瀏覽了，也順便看看其他的文章，對你絕對有幫助

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-11-28 12:10 PM 編輯 ]

作者: dennisal2000 時間: 2012-12-9 23:06 標題: 回復 18# tsusy 的帖子

想請教寸絲老師
         " 可得 z1=ai" 這是如何來的?? 我化簡不出來@@
      想請老師再說明一下!

還想請教第14題
      為何我一直算出 1<a<4+2根號3 這個答案是否有盲點還請高手指教

另外第17題除了直接硬做外,是否有簡單的方法?

感謝大家

作者: tsusy 時間: 2012-12-10 10:33 標題: 回復 36# dennisal2000 的帖子

第 10 題，是我的的錯誤，正確的推論應該是 $ |z_1| = |a| $ 且 $ z_1 \neq -a $

把純虛數解釋成垂直，可得 $ z_1 $ 必須在以 $ \pm a $ 為端點之線作當直徑的圓上

第 17 題，提供一個近似想法 (不標準的方法)

令 $ y =x- 3 $，以 $ \sqrt{a+y}\approx\sqrt{a}+\frac{y}{2\sqrt{a}} $

近似值可得以下
$ \sqrt{x+\sqrt{2x+\sqrt{3x}}}=\sqrt{3+y+\sqrt{6+2y+\sqrt{9+3y}}} $
$ \approx\sqrt{3+y+\sqrt{6+2y+3+\frac{y}{2}}}=\sqrt{3+y+\sqrt{9+\frac{5}{2}y}} $
$ \approx\sqrt{3+y+3+\frac{5}{12}y}=\sqrt{6+\frac{17}{12}y} $
$ \approx\sqrt{6}+\frac{17}{144}\sqrt{6}y $

故所求 $ =\frac{17\sqrt{6}}{144} $ 。

作者: dennisal2000 時間: 2012-12-12 20:27 標題: 回復 37# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師~~

作者: idontnow90 時間: 2013-3-16 22:39

請問23題要怎麼證?先感謝~

我用2種方法都做不出來...
方法一:
$a=\overline{AB} \overline{AC}cosA,$ 以此類推得b.c
因此所求=cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA之正負..
但是我只知當A=90度時得證...A頓或銳角時呢??

方法貳:
令$\displaystyle \overline{AB}=\beta,\overline{AC}= \gamma,
cosA=\frac{\vec{AB}\vec{AC}}{\overline{AB}\overline{AC}}=\frac{a}{\beta \gamma}=\frac{\beta^2+\gamma^2-\alpha^2}{2\beta\gamma}
得 a=0.5(\beta^2+\gamma^2-\alpha^2) $以此類推得b.c..然後在下去乘...但是無法得證

[ 本帖最後由 idontnow90 於 2013-3-16 10:40 PM 編輯 ]

作者: 俞克斌 時間: 2013-3-17 00:10 標題: 回復 39# idontnow90 的帖子

略獻管窺
敬請卓參
謝謝

附件: 精彩考題解析舉隅2013.03.17.pdf (2013-3-17 00:10, 65.34 KB) / 該附件被下載次數 5377
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1546&k=ef9920ab87b682dba2175dcbd504ad40&t=1714981995

作者: martinofncku 時間: 2013-10-8 10:30

想請問老師 14.

作者: thepiano 時間: 2013-10-8 11:42

第 14 題
(1)
(3x^2 + ax + 1)/(x^2 + x + 1) > 0
由於 x^2 + x + 1 > 0
故 3x^2 + ax + 1 > 0
...

(2)
a > 1
(3x^2 + ax + 1)/(x^2 + x + 1) < 4
...

(3)
0 < a < 1
(3x^2 + ax + 1)/(x^2 + x + 1) > 4
...

作者: frombemask 時間: 2014-1-27 01:02 標題: 請問第7題

外公切線的斜率該用何方法?

作者: weiye 時間: 2014-1-27 08:24 標題: 回復 43# frombemask 的帖子

第 7 題：

設兩圓連心線與其中一條外公切夾角為 $\theta$

則 $\displaystyle \tan\theta=\frac{7-6}{\sqrt{\left(7+6\right)^2-\left(7-6\right)^2}}=\frac{1}{2\sqrt{42}}$

設外公切線斜率為 $m$，

則 $\displaystyle \tan\theta=\pm\frac{m-\frac{-12}{5}}{1+m\cdot\frac{-12}{5}}$

$\displaystyle \Rightarrow m=\frac{-30\pm\sqrt{42}}{12}$

再加上外切兩圓的內公切線斜率 $\displaystyle \frac{5}{12}$，

可得所求＝$\displaystyle -\frac{55}{12}$。

作者: frombemask 時間: 2014-1-27 09:24

謝謝老師我懂了

作者: frombemask 時間: 2014-1-27 09:40 標題: 請問第9題cos的半角公式是怎麼來的?

想不太出來，有請高手解答感恩

作者: weiye 時間: 2014-1-27 10:15 標題: 回復 46# frombemask 的帖子

半角公式＋餘弦定理

$\displaystyle\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}$

　　　$\displaystyle=\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{4bc}}=\sqrt{\frac{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{-a+b+c}{2}}{bc}}=\sqrt{\frac{s\left(s-a\right)}{bc}}$

作者: frombemask 時間: 2014-1-27 10:36

謝謝瑋岳老師

作者: frombemask 時間: 2014-1-27 11:34

請問13題的csc等式證明是如何想的? (點連結進去網頁已消失)

作者: weiye 時間: 2014-1-27 11:55 標題: 回復 49# frombemask 的帖子

google 搜尋 key word : Brocard 角

http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122753

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-2/2006/pdf/010010.pdf

作者: houdy 時間: 2015-5-30 11:36 標題: 回復 37# tsusy 的帖子

滿足 (z_1-a)/(z_1+a) 為純虛數的點 z 為半徑為 |a| 的圓上之所有點
除了兩個純實數點外的集合

若令 z_1 的共軛複數與 z_2 之乘積為 c+id
則所求的三角形面積為 d 的絕對值之一半
故將題中之第二個方程式兩邊同乘 z_1 的共軛複數之平方
並利用 z_1 的絕對值為 a 平方這特性即可得 d

或原解答可修正為:
不失一般性(將三角型 Oz_1z_2 以 O 圓心旋轉若干角度)
我們可以假設 z_1=i 再利用第二個方程式可得 z_2 進一步即可得所求三角形面積

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