標題: 請教兩題 [打印本頁]

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作者: tuhunger    時間: 2012-7-22 13:16     標題: 請教兩題

如附件, 求各位高手的解題妙招

圖片附件: 未命名.png (2012-7-22 13:16, 10.08 KB) / 該附件被下載次數 4822
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1403&k=5c96a35c17d34aa22e78788e4ab4b63d&t=1732420925

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作者: tuhunger    時間: 2012-7-22 13:20

引用:

原帖由 tuhunger 於 2012-7-22 01:16 PM 發表
如附件, 求各位高手的解題妙招

第2題
原七次式有根 -1, i , -i
(I)x=-1 => a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6+1

共C(4,2)xC(3,1)x2x4!X3!(種)
(2)x=i => ....

                            這樣想對嗎? 是否有更好的方法

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作者: tsusy    時間: 2012-7-22 13:28     標題: 回復 1# tuhunger 的帖子

第一題

\(  f(1)=10\Rightarrow a+b+c=9 \)

\(  f(3)=30\Rightarrow9a+3b+c=3 \)

\( \Rightarrow8a+2b=-6 \)

\(  f(11)-f(7)=11^{3}-7^{3}+72a+4b=11^{3}-7^{3}-12+56a \)

但 \( a \)   可為任意實數，故所求非定值

這類的題目，通常要出得剛剛好才能算，因為由兩個點，無法唯一決定那個三次式

若有計算錯證，還請指正

第二題(似乎看錯題目了)

注意 \( (x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}-1 \)
，
先拿 7 次式去除以 \( x^{4}-1 \)  得餘式 \( (a_{4}+1)x^{3}+(a_{5}+a_{1})x^{2}+(a_{6}+a_{2})x^{1}+(a_{7}+a_{1}) \)

被 \( x^{3}+x^{2}+x+1 \) 整除，即 \( a_{4}+1=a_{5}+a_{1}=a_{6}+a_{2}=a_{7}+a_{1}=t \)

\( t\leq8 \), 無解。

\( t=9 \) , \( 1+8=2+7=3+6=4+5\Rightarrow3!\times2^{3} \)

\( t=10 \), \( 1+9=2+8=3+7=4+6\Rightarrow3!\times2^{3} \)

\( t\geq11 \), \( a_{4} \)  無解

故有 96  組解

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-7-22 01:39 PM 編輯 ]

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作者: 老王    時間: 2012-7-22 19:15

第一題猜測題目應該是求
\(\displaystyle \frac{f(11)-f(-7)}{18} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-7-22 07:17 PM 編輯 ]

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作者: tuhunger    時間: 2012-7-22 20:27

引用:

原帖由 老王 於 2012-7-22 07:15 PM 發表
第一題猜測題目應該是求
\(\displaystyle \frac{f(11)-f(-7)}{18} \)

沒錯, 我打錯了^^

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作者: tuhunger    時間: 2012-7-23 00:07

f(1)=10且f(3)=30 => 4a+b=-3
f(11)-f(-7)=11^3-(-7)^3+a[11^2-(-7)^2]+b[11-(-7)]=11^3-(-7)^3+ 18(4a+b)
接下來答案就出來了!

我只是想問,會不會有其他速解法, 感覺 [f(11)-f(-7)]/18好像在考斜率的概念
因為不除以18一樣可以算, 這就不知道出題者的用意了

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