標題: 設a為自然數，且17×a是一個由數字0或1所組成的多位自然數 [打印本頁]

---

作者: weiye    時間: 2012-7-20 22:39     標題: 設a為自然數，且17×a是一個由數字0或1所組成的多位自然數

朋友問的嘉中科學班101第一階段甄選試題的第18題。

題目：設 \(a\) 為自然數，且 \(17\cdot a\) 是一個由數字 \(0\) 或 \(1\) 所組成的多位自然數，則 \(a\) 的最小值為__________。

解答：

因為 \(10^0\equiv 1 \pmod{17},\)

　　 \(10^1 \equiv 10\pmod{17},\)

　　 \(10^2\equiv-2\pmod{17},\)

　　 \(10^3\equiv-3\pmod{17},\)

　　 \(10^4\equiv4\pmod{17},\cdots\)

所以，\(10^0+10^2+10^3+10^4\equiv 0\pmod{17}\) 且 \(10^0+10^2+10^3+10^4\) 為滿足題意由0或1構成的且最小的 \(17\) 的倍數。

因此，所求之最小 \(\displaystyle a=\frac{10^0+10^2+10^3+10^4}{17}=\frac{11101}{17}=653.\)


題目來源：http://www.cysh.cy.edu.tw/releaseRedirect.do?unitID=183&pageID=3089

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0