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標題: 101內湖高工二招 [打印本頁]
作者: jen123    時間: 2012-7-9 19:31     標題: 101內湖高工二招

如題

附件: 101內湖高工二招.rar (2012-7-9 19:52, 264.5 KB) / 該附件被下載次數 9706
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1369&k=5289513ed48e954d16f55c70cae0ee78&t=1732312927
作者: bluewing    時間: 2012-7-10 16:35

請問老師，填充題第6題應該如何處理呢??
可以請老師指點一下嗎?謝謝您。

[ 本帖最後由 bluewing 於 2012-7-10 04:42 PM 編輯 ]
作者: wayloon    時間: 2012-7-10 19:28     標題: 101內湖高工二招填充6

6.
設\(a,b,c\)為正數，\(f\)為由矩陣\( \left[ \matrix{a&-b \cr \sqrt{3}a&c} \right] \)表示的線性變換(Linear transformation)，當橢圓\(4x^2+8y^2=1\)經\(f\)變換後之圖形是以原點為圓心，1為半徑的圓，則\((a,b,c)=\)　　　
[解答]
\( \left[ \matrix{x' \cr y'} \right]=\left[ \matrix{a & -b \cr \sqrt{3}a & c} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{ax-by \cr \sqrt{3}ax+cy} \right] \)
將\( \cases{x'=ax-by \cr y'=\sqrt{3}ax+cy} \)代入\( (x')^2+(y')^2=1 \)得\( a^2x^2-2axby+b^2y^2+3a^2x^2+2\sqrt{3}axcy+c^2y^2=1 \)
和原式比較可得\( \cases{a^2+3a^2=4 \cr \sqrt{3}c-b=0 \cr b^2+c^2=8} \)，因此\( (a,b,c)=(1,\sqrt{6},\sqrt{2}) \)

印象中有更佳的解法，目前小弟只想到這種，有錯請指正
作者: tsusy    時間: 2012-7-10 19:48     標題: 回復 3# wayloon 的帖子

先把橢圓拉長變成圓，再旋轉角度。 \( f:\, (x,y)\mapsto(x',y') \)

\( \begin{bmatrix}x'\\
y'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 0\\
0 & 2\sqrt{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\
y
\end{bmatrix} \)

\( M_{f}=\begin{bmatrix}2\cos\theta & -2\sqrt{2}\sin\theta\\
2\sin\theta & 2\sqrt{2}\cos\theta
\end{bmatrix}\Rightarrow\tan\theta=\sqrt{3}
,\cos\theta=\frac{1}{2}
, \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

所以 \( (a,b,c)=(1,\sqrt{6},\sqrt{2}) \)
作者: 阿光    時間: 2012-7-12 21:00

想請教填充第10題的表面積,謝謝
作者: tsusy    時間: 2012-7-12 21:49     標題: 回復 5# 阿光 的帖子

10.
設\(\Gamma\)為以圓\((x-2)^2+y^2=1\)繞\(y\)軸旋轉的立體(torus)，則\(\Gamma\)的體積為　　　，\(\Gamma\)的表面積為　　　
[解答]
請愛用 Pappus 定理

號稱甜甜圈專用定理

學科中心電子報 58 期 http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/ePaper/Default.aspx?id=58
作者: bluewing    時間: 2012-7-15 09:39

謝謝老師的講解，另外，可以請問填充第9題的"標準差"應該如何處理呢??
答案是給3，可是始終算不出是3??謝謝老師。
作者: jmfeng2001    時間: 2012-7-31 17:02

9.
某水果種子的發芽率是90%，設每顆種子發芽成功與否彼此互不影響，農民同時種下了100顆種子，則發芽成功的顆數期望值為　　　顆，標準差　　　顆。
[解答]
剛查一下這一題
用\( B(n=100,p=0.9) \)
\(E=np \)
\( Var=npq \)
\(Var=9\)
\(SD=\sqrt{Var}=3 \)
作者: catglow    時間: 2013-1-23 20:35

不好意思想問這份試卷有公布解答嗎?謝謝
作者: idontnow90    時間: 2013-2-10 00:26

可以請教填充3怎麼解嗎?謝謝~

3.
設\(\Delta ABC\)內接於半徑為1的單位圓，\(O\)為圓心且\(∠A=60^{\circ}\)，若\(k\vec{OA}+\vec{OB}+2 \vec{OC}=\vec{0}\)，則實數\(k=\)　　　
作者: weiye    時間: 2013-2-10 13:30     標題: 回復 10# idontnow90 的帖子

第 3 題：

\(k\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}=\vec{0}\)

\(\Rightarrow k\vec{OA}=-\left(\vec{OB}+2\vec{OC}\right)\)

\(\Rightarrow k^2\left|\vec{OA}\right|^2=\left|\vec{OB}+2\vec{OC}\right|^2\)

\(k^2\cdot 1^2 = 1^2+2\cdot1\cdot2\cdot\cos120^\circ+4\cdot1^2\)

\(k=\pm\sqrt{3}.\)




感謝 寸絲 老師提醒，

答案只有 \(k=\sqrt{13}\)（也就是負不合）。

若 \(k\) 為負，則 \(O\) 在 \(\triangle ABC\) 外部

且 \(O\) 與 \(A\) 在 \(\overline{BC}\) 異側，得 \(\angle A\) 為鈍角，不合。

---------------------------------以下是寸絲老師的說明：

weiye 老師

本題 k  應只有唯一解 (正的)

理由如下：取 D 在 BC  上，且 DC/DB=1/2

則 OB + 2OC =3OD (向量)

而 k OA + 3OD = 0 (向量)

因此 OAD 共線，A 在 圓 O 和直線 OD 的交點上

圖形如



該直徑上有兩端點，但一者圓周角 120 度 另一者 圓周角 60 度

故僅有一解

圖片附件: 101nehui.png (2013-2-10 15:12, 27.61 KB) / 該附件被下載次數 5408
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1523&k=909fd34fecce2e612db27356df1270d5&t=1732312927

作者: 艾瑞卡    時間: 2013-5-15 15:18

可以請教填充5怎麼解嗎?謝謝~

5.
已知平面上的點排列\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\ldots,P_n(x_n,y_n)\)，其中各點座標定義如下：
\(x_1=1,y_1=0\)且\( \displaystyle x_{n+1}=\frac{3}{5}x_n+\frac{2}{5}y_n \)，\(\displaystyle y_{n+1}=\frac{2}{5}x_n+\frac{3}{5}y_n\)，
試求：
(1)能使\(x_n+\alpha y_n=\beta(x_{n-1}+\alpha y_{n-1})\)成立的正實數\(\alpha\)，\(\beta\)值，則\((\alpha,\beta)=\)　　　
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=(a,b) \)，則\((a,b)=\)　　　
作者: weiye    時間: 2013-5-15 19:08     標題: 回復 12# 艾瑞卡 的帖子

第 5 題：

(1) \(x_n, y_n\) 帶入乘開，比較係數，可得 \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\cdot\alpha=\beta, \frac{2}{5}+\frac{3}{5}\cdot\alpha=\alpha\cdot\beta\)

　兩式相除，可解得 \((\alpha, \beta)=(1,1)\) 或 \((-1,\frac{1}{5})\)

(2) 解 \(a=\frac{3}{5}\cdot a+\frac{2}{5}\cdot b, b=\frac{2}{5}\cdot a+\frac{3}{5}\cdot b\) 且 \(a+b=1\)

　可得 \((a,b)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)
作者: Pacers31    時間: 2013-12-28 11:07

沒有找到這份試題的解答，想要對答案

日後有時間完成這份試題的老師們再來幫忙修正一下囉！

#1. 20                                                              #7. 15

#2. \(5\sqrt{3}\)                                                          #8. \(\frac{1}{4}\)

#3. \(\sqrt{3}\)                                                            #9. 期望值90, 標準差3

#4. (1) \(-\frac{1}{2}\leq k \leq 3\)；(2) \(\big(\frac{8}{5},\frac{21}{5}\big)\)                    #10. 體積\(4\pi^{2}\), 表面積\(8\pi^{2}\)

#5. (1) \((1,1), \big(-1,\frac{1}{5}\big)\)；(2) \(\big(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\big)\)                 #11. (1) 不存在；(2) \(2\pi\)

#6. \((1,\sqrt{6},\sqrt{2})\)                                                 #12. \(p'(1)=1\), \(q'(4)=-\frac{1}{3}\)

計算證明 #1. (2) 都不存在；(3) 就是畫 \(y=\ln{x}\)

計算證明 #2. (1) 收斂：無窮等比級數，公比\(\displaystyle\frac{\pi}{6}\in(-1,1)\)
                     (2) 發散：作圖，積分審斂，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+1}>\int_{1}^{\infty}\frac{1}{3x+1}dx\)，又\(\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{3x+1}dx\)發散
                     (3) 發散：當\(n>10\), \(\displaystyle\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}>k\frac{n!}{10^n}\), 其中\(k>1\)

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2013-12-28 11:35 AM 編輯 ]
作者: nicolesukg    時間: 2013-12-28 19:11

翻了一下電腦裡的檔案，發現我有這份的解答。
從哪來的已經忘了，應該是當年留下來的官方版本(?)吧!!!

附件: 101內湖高工二招答案.pdf (2013-12-28 19:11, 133.72 KB) / 該附件被下載次數 5056
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2009&k=94684284d1c701e92cf79a099542f2ea&t=1732312927
作者: Pacers31    時間: 2013-12-28 21:12     標題: 回復 15# nicolesukg 的帖子

謝謝您的提供！

仔細看了一下第5題題目，原來有要求\(\alpha, \beta\)為正
作者: kittyyaya    時間: 2014-3-7 22:57     標題: 回復 13# weiye 的帖子

請問weiye 老師
\(a+b=1\)是因為\(x_1=1\),\(y_1=0\)的緣故嗎 ?
謝謝
另外 小弟愚昧 想請教填充10 看了Pappus 還是不知如何下筆 可否指導
填充11的第一小題 不存在是因為-1積到1 含0 所以\(x^{-2}\)為不存在嗎 ?
先謝謝weiye老師
作者: tsusy    時間: 2014-3-8 09:35     標題: 回復 17# kittyyaya 的帖子

代答一下
5. 從\( x,y \)的係數可知，寫成矩陣，是個轉移矩陣，轉移矩陣何持總和不變

11. 碰到函數在積分區域有瑕點時，這種積分是被當作瑕積分。所以說本題的積分記號意思是

\( \displaystyle \int_{-2}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx=\lim\limits _{a\to0^{+},b\to0^{-}}\left(\int_{-2}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{a}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx\right) \)
作者: Callmeluluz    時間: 2014-10-29 09:46

想請教一下第8題

題目沒有說同球或不同球

如果同球的話 那1空箱的機率就是\( \displaystyle \frac{2}{4} \)      樣本空間為{(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)}

如果不同球的話 那1空箱的機率就是\( \displaystyle \frac{2}{8} \)  樣本空間的元素個數為2*2*2

如果題目沒說同球或不同球 那是不是兩個答案都可以呢

請問我這樣的理解哪裡有錯誤

感謝!
作者: thepiano    時間: 2014-10-29 11:20     標題: 回復 19# Callmeluluz 的帖子

題目是求空箱個數的期望值，不是求 1 個空箱的機率
作者: Callmeluluz    時間: 2014-10-29 15:00     標題: 回復 20# thepiano 的帖子

我的想法是

空箱個數期望值=0空箱的機率*0+1空箱的機率*1+2空箱的機率*2=1空箱的機率
                                       ↑不用算因為會消掉　　　　　　↑機率為0


但是一空箱的機率在我的認知裡卻是的    球相同 則1空箱機率為2/4
                                                                        球不同 則1空箱機率為2/8
為什麼會有這樣的差別

而解答卻又是選擇球不同的CASE呢?
作者: thepiano    時間: 2014-10-29 16:59     標題: 回復 21# Callmeluluz 的帖子

您在球相同這裡的做法是一次丟（或說分配）3個球到2個不同的箱子
若球是一個一個丟，還是要把球視為相異去做

若是箱子或球多一點，您的做法會較繁雜，可用"空箱"這個關鍵字在此論壇搜尋其它解法
作者: Callmeluluz    時間: 2014-10-30 12:00     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的回覆

已了解
作者: eyeready    時間: 2016-2-28 02:31     標題: 回復 6# tsusy 的帖子

有到連結網站，發現所求體積為面積乘上質點運動路徑，也試著變換座標，不知道整體計算過程有沒有瑕疵，煩請tsusy大大指點！

[ 本帖最後由 eyeready 於 2016-2-28 03:05 AM 編輯 ]

圖片附件: IMG_4552.jpg (2016-2-28 03:05, 1.26 MB) / 該附件被下載次數 4765
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3217&k=9d1fb0943d13d9521db9494b13c88d90&t=1732312927

作者: tsusy    時間: 2016-2-28 10:50     標題: 回復 24# eyeready 的帖子

計算沒有什麼問題，但多了一些不必要

1. (1)(2) 中，不需要算半面積、半周，半邊質心，直接這個圓就可以算了
2. 圓太對稱了，其實根本連算不都用算，就知道中心在哪。個人認為，這才是 Pappus 定理的精髓所在。如果利用了積分算中心，那其實做的工，就和一般方法計算旋轉體沒有什麼差別了(是否差個 Fubini 定理?)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2016-2-28 03:33 PM 編輯 ]
作者: eyeready    時間: 2016-2-28 12:02     標題: 回復 25# tsusy 的帖子

感謝tsusy大大的點醒，對於Pappus定理又更加了解了！

形心(2,0)
(1)體積=π *2π*|2-0|=4π^2
(2)表面積=2π*2π*|2-0|=8π^2



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