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標題: 101南區國中數學聯招 [打印本頁]

作者: f19791130 時間: 2012-7-5 22:54 標題: 101南區國中數學聯招

想請問各位高手第22 25 50題
謝謝

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作者: katama5667 時間: 2012-7-6 00:20 標題: 回復 1# f19791130 的帖子

第50題

如果不硬算的話，那比較容易

\(2^{100000}\equiv 1~(mod~11)\)

\(2^{100000}\equiv 2~(mod~7)\)

這樣就知道，只有(B)是最有可能的。

第22題

不失一般性，假設 \(a\leq b\leq c\)

(1)若 \(abc) 為偶，則 \(a=2\)

   即 \(abc\) 為偶，則 \(a+b+c\) 為奇 \(\Rightarrow b+c\) 為奇

   則 \(b=2\Rightarrow c\) 為奇

   所以 \(a+b+c+abc=2+2+c+4c=99\Rightarrow c=19\)

   故得 \((a,b,c)=(2,2,19)\)

(2)若 \( abc) 為奇，則 \(a>2\)

   所以 \(a+b+c\) 與 \(abc\) 皆為奇

   則  \(a+b+c+abc\) 為偶，不合

故由(1)(2)，得 \(a+b+c=23\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 09:27 AM 編輯 ]

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-6 08:43

25題...看下圖易知
會影響十位數是奇數或偶數的只有個位數平方之後,進位是進奇數還是偶數
而其中只有4和6而已...所以十位數是奇數的只有4,14,24,....94和6,16,26,....96等數字的平方
共20個

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作者: andyhsiao 時間: 2012-7-6 09:17

22題
a+b+c+abc=99
因為99為奇數...所以a.b.c 中必有兩個偶數
( 因為a.b.c三個皆奇數,a+b+c+abc必偶;a.b.c兩個奇數,a+b+c+abc也必偶;a.b.c零個奇數,a+b+c+abc也必偶)
可另a=2,b=2,則可得知c=19
故a+b+c=23

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-6 11:35

50題

2^10

23(mod 77)
2^30

1(mod 77)

2^100000(mod 77)

2^10(mod 77)

23(mod 77)

作者: 阿光 時間: 2012-7-14 19:49

想請教46和48題謝謝

作者: katama5667 時間: 2012-7-14 23:46 標題: 回復 6# 阿光的帖子

46題

令\(T\) 的 adjoint 為 \(T^{*}(z,w)=(u,v)\)

依據 adjoint 的定義  \(<T(x,y),(z,w)>=<(x,y),T^{*}(z,w)>\) 與題中內積與 \(T\) 的定義，

則 \(<(2x+iy,(1-i)x),(z,w)>=<(x,y),(u,v)>\)

\(\Rightarrow (2x+iy)\bar{z}+(1-i)x\bar{w}=x\bar{u}+y\bar{v}\)

\(\Rightarrow x(2\bar{z}+\bar{w}-i\bar{w})+y(i\bar{z})=x\bar{u}+y\bar{v}\)

所以 \(u=2z+w+iw,  v=-iz\)

將所求代入

\(T^{*}(3-i,1+2i)=(2(3-i)+(1+2i)+i(1+2i),-i(3-i))=(5+i,-1-3i)\)

48題

\(W_{1}\cap W_{2}=Span\{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\}\Rightarrow dim(W_{1}\cap W_{2})=1\)

這個應該不需太多解釋吧！

而 \(dim (W_{1}+W_{2})=4\)，因為

令 \(s\begin{pmatrix} a & b\\ c & a \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 0 & a\\ -a & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)  ，則解得 \(s=t=0\)

(太久沒寫這個了，不知是否有誤)

故所求為 5

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-15 12:11 AM 編輯 ]

作者: 阿光 時間: 2012-7-15 20:31

想再請教39和43題謝謝

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-17 16:44

39題....參考看看

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作者: andyhsiao 時間: 2012-7-17 17:38

43題...參考看看

圖片附件: 43.jpg (2012-7-17 17:38, 63.6 KB) / 該附件被下載次數 7214
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1392&k=2e657ac806e2f12491a10b66554fc924&t=1732271052

作者: 阿光 時間: 2012-7-17 19:41

想再請教29和34題謝謝

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-17 20:34

29題
a+b<c+d.............(1)
b+c<d+e.............(2)
c+d<e+a.............(3)
d+e<a+b.............(4)
由(1)(3)知b<e.....(5)
由(2)(4)知c<a.....(6)
由(4)(5)知d<a.....(7)
由(1)(6)知b<d.....(8)
由(4)(8)知e<a.....(9)
由(1)(7)知b<c.....(10)
總結
(5)(9)知a>e>b
(6)(10)知a>c>b
(7)(8)知a>d>b
所以最重為甲

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-17 20:37

角ADE+角BDE=180=>角ADE=157/2
角AED+角CED=180=>角AED=147/2
故
角DAE=180-157/2-147/2=28

作者: cefepime 時間: 2016-9-13 00:22

29. 有五位小朋友甲、乙、丙、丁、戊，他們的體重分別為 a、b、c、d、e 公斤，若 a + b < c + d，b + c < d + e，c + d < e + a，d + e < a + b，則這五位小朋友中體重最重是哪位?

解: 把題目中的 5 個 "兩數和"，作為主角排序:

b + c < d + e < a + b < c + d < e + a

則 a = (a + b + c + d + e) - (b + c) - (d + e) 最大

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