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標題: 101建國中學二招 [打印本頁]

作者: larson    時間: 2012-7-5 19:20     標題: 101建國中學二招

想問填充1、3、4及全部計算題

101.7.5版主補充
將題目轉正,方便網友閱讀

附件: 101建國中學二招.pdf (2012-7-5 19:34, 766.67 KB) / 該附件被下載次數 11404
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1342&k=96584cbdd6da0798db3f5535c31f7865&t=1732299131
作者: tsusy    時間: 2012-7-5 20:52     標題: 回復 1# larson 的帖子

填充 3
若\(x\)的101次方程式\(x^{101}-202x^{101}+a_{99}x^{99}+\ldots+a_1x+a_0=0\)有101個正實根,對於所有可能的方程式,試求\(\displaystyle \sum_{k=0}^{99}|\;a_k|\;\)的最大值為   
[解答]
紙老虎,看起來嚇人的題目而已

令 \( x_{k}, k=1,2,3,\ldots,101 \) 是 101 個正根

多項式 \( \prod(x-x_{i}) \) 展開的係數正負相間。\( x=-1 \) 代入,每項皆負,取絕對值得

\(\displaystyle \prod(x_{i}+1)=\sum_{k=0}^{101}|a_{k}|\Rightarrow\sum_{k=0}^{99}|a_{k}|=\prod(x_{i}+1)-203 \)

由算幾不等式得 \(\displaystyle \sqrt[101]{\prod(x_{i}+1)}\leq\frac{\sum x_{i}}{101}+1=3 \)

所以當 \( x_{i}=2 \) 時,\(\displaystyle \sum_{k=0}^{99}|a_{k}| 有最大值 3^{101}-203 \)

填充 4. 考慮 \( n \) 個數的情況,反正 \( 96 \) 和  \( n \) 沒什麼差別

令 \( c_{n} \) 是 \( n \)  個數的情況排法數

如果 \( n \) 在 \( a_{n} \) 的位置,就有 \( c_{n-1} \) 種排列

如果 \( n \) 在楚河漢界 \( a_{i} \),那其它任選邊站,再按大小序排好即可,但不可全部在前,否則 \( i=n \) 不合

所以 \( c_n=c_{n-1}+2^{n-1}-1 \)

又 \( c_{2}=1 \), \( c_{3}=4 \Rightarrow c_{n}=1+(2^{2}-1)+(2^3-1)+\ldots+(2^{n-1}-)=2^{n}-(n+1) \)

故所求為 \( 2^{96} -97 \)
作者: larson    時間: 2012-7-6 16:25

"cn
n  的排法數

如果 n 在 a_{n} 的位置,就有 c_{n-1} 種排列"
前面這兩句話看不懂!
作者: tsusy    時間: 2012-8-5 23:45     標題: 回復 1# larson 的帖子

前幾天正好在寫,給點計算題的提示好了

計算 1.
已知銳角\(\triangle ABC\)的外接圓半徑為\(R\),且\(\overline{AB}=c=1\),\(\overline{BC}=a\),\(\overline{CA}=b\),\(\angle BAC=\theta\),則:
(1)證明正弦定理:\(\displaystyle \frac{a}{sin\theta}=2R\)。
(2)若\(b\le cos\theta+\sqrt{3}sin\theta\),證明:以\(A\)、\(B\)、\(C\)為圓心,1為半徑的3個圓能覆蓋\(\triangle ABC\)。
[解答]
\( P \in \triangle ABC \), 且 \( \triangle ABC \) 為銳角三形,則 \( \min\{\overline{PA},\overline{PB},\overline{PC}\} \) 在外心的位置在最大值 \( R \)

所以只要證 \( R\leq 1\)

計算 2.
已知四面體\(ABCD\),\(H_a,H_b,H_c,H_d\)分別是\(\triangle BCD,\triangle ACD,\triangle ABD,\triangle ABC\)的垂心,試問:\(\overline{AH_a}\)、\(\overline{BH_b}\)、\(\overline{CH_c}\)、\(\overline{DH_d}\)四直線相交於一點的充分必要條件是什麼?並證明之。
[解答]
充要條件為 \( \overleftrightarrow{AH_{a}}\perp E_{BCD} \), \( \overleftrightarrow{BH_{b}}\perp E_{ACD} \), \( \overleftrightarrow{CH_{c}}\perp E_{ABD} \), \( \overleftrightarrow{DH_{d}}\perp E_{ABC} \)

三垂線定理及其逆定理

計算 3.
已知正數\(a,b,c\)滿足:\(5c-3a\le b\le 4c-a\),\(clnb\ge a+clnc\),求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍。
[解答]
\(\displaystyle x=\frac{a}{c} \), \( y=\frac{b}{c} \), \( \frac{b}{a}=\frac{y}{x} \) 是 \( (x,y) \) 和 原點 \( (0,0) \) 連線的斜率
作者: ilikemath    時間: 2012-12-6 18:52

自己解的填充5和6
有錯請不吝指正

另想請教填充1,2,7,8

5.
設函數\(f(x)=-x^3+3x+2\)分別在\(x_1\)、\(x_2\)處取得極小值、極大值。在\(xy\)平面上點\(A\)、\(B\)的座標分別為\((x_1,f(x_1))\)、\((x_2,f(x_2))\),該平面上動點\(P\)滿足\(\vec{PA}\cdot \vec{PB}=4\),點\(Q\)是點\(P\)關於直線\(y=2(x-4)\)的對稱點,求動點\(Q\)的軌跡方程為   
[解答]
∵\( f(x)=-x^3+3x+2 \Rightarrow f'(x)=-3x^2+3=0 \Rightarrow x=\pm 1 \)
令\( A(-1,0) \),\( B(1,4) \),\( P(x,y) \)
∴\( \vec{PA} \cdot \vec{PB}=0 \Rightarrow (x+1,y)(x-1,y-4)=0 \Rightarrow x^2+(y-2)^2=5 \),為一圓
因為點\( Q \)是點\( P \)對\( y=2(x-4) \)的對稱點
考慮圓心\( (0,2) \)對\( y=2(x-4) \)的對稱點為\( (8,-2) \)
∴\( (x-8)^2+(y+2)^2=5 \)

6.
已知複數\(\displaystyle a=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\),若\(z_n=1024a^n\),其中\(n\)為正整數,則絕對值\(|\;z_9-z_{11}|\;=\)   
[解答]
\( \displaystyle |\; z_9-z_{11} |\;=|\; 1024a^9-1024a^{11} |\;=1024 \cdot |\; a |\;^9 \cdot |\; 1-a^2 |\;=\frac{\sqrt{21}}{2} \)
作者: tsusy    時間: 2012-12-6 19:59     標題: 回復 5# ilikemath 的帖子

以下都是之前寫的,沒有仔細再看一次,如有錯誤,還請告知。

填充1.
球\(S_1\)外接於四面體\(ABCD\),另一個半徑為1的球面\(S_2\)與平面\(ABC\)相切,並且\(S_1\)、\(S_2\)內切於\(D\)點,已知\(\overline{AD}=3\),\(\displaystyle cos\angle BAC=\frac{4}{5}\),\(\angle BAD=\angle CAD=45^{\circ}\),試問四面體\(ABCD\)的體積為   
[解答]
不高明的方法如下
令 \( H , H_{1} , H_{2} \)  分別為 D  對 \( ABC \) , \( \overline{AB} \), \( \overline{AC}\) 之投影點。可得 \( \triangle AHH_{1}\cong\triangle AHH_{2} \)   (RHS)。
(紅字修正原筆誤,三垂線定理 \( \Rightarrow H_1, H_2 \) 處直角)

因此 \( \overline{AH} \) 平分 \( \angle BAC\Rightarrow\cos\angle BAH=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \) \( \overline{AH}=\frac{\cos\angle BAD}{\cos \angle BAH}\overline{AD} \) \(=\sqrt{5}\Rightarrow\overline{DH}=2 \) 。
(紅字修正原筆誤 \( \overline{AH} = .. \) )

令 \( Q \) 為 \( S_2 \) 的球心,\( R \) 為 \( S_2 \) 和平面 ABC 切點。則 \( 2 = \overline{DQ}+\overline{QR} \geq \overline{DR} \geq \overline{DH} =2 \)。等號成立條件為 \( R = H \) 且 \( D, Q, H \) 共線。
(補上三角不等式之論證)

又 \( D \) 為兩球之切點,因此 \( D, Q, S_{1} \) 之球心亦共線,因此 \( \overleftrightarrow{DH} \) 通過 \( D, Q, H \) 和 \( S_1 \) 的球心。

又 \( \overleftrightarrow{DH} \perp ABC \) 平面於 \( H \),故 \( H \) 為 \( \triangle ABC \) 之外心。

因此 \( \overleftrightarrow{HH_{1}}
, \overleftrightarrow{HH_{2}} \)  為 \( \overline{AB}, \overline{AC} \)之中垂線,\( \Rightarrow \overline{AB} = \overline{AC} = 2\cdot \overline{AD} \cos45^\circ \)。

\( \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot(3\sqrt{2})^{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{27}{5}\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{5}\cdot2=\frac{18}{5} \) 。

填充2.
已知拋物線的頂點在原點,焦點在\(x\)軸上,\(\triangle ABC\)三個頂點都在拋物線上,且\(\triangle ABC\)的重心為拋物線的焦點\(F\),若\(\overline{BC}\)邊所在的直線為\(4x+y-20=0\),試求拋物線的方程式為   
[解答]
設所求方程式為 \( y^{2}=4cx \) ,則 \( F(c,0) \) 。與直線方程式聯立可得

\( 4x^{2}-(40+c)x+100=0\Rightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{40+c}{4}\Rightarrow y_{1}+y_{2}=-c \) 。

由重心可得三頂點之坐標和 \( \begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3} & =3c\\
y_{1}+y_{2}+y_{3} & =0
\end{cases}\Rightarrow x_{3}=\frac{11}{4}c-10
, y_{3}=c\Rightarrow c^{2}=11c^{2}-40c\Rightarrow c=4 \)  或 0  (不合)。

故所求 \( y^{2}=16x \) 。

填充 7.
已知\(\cases{tan\alpha+log_3(3tna\alpha+6)=2\cr tan\beta+3^{tna\beta-1}=4}\),求\(tan\alpha+tan\beta=\)   
[解答]
這題很常見,只是要稍微平移一下

令 \( x=\tan\alpha+2 \) ,則 \( x+\log_{3}x=3\Rightarrow3-x=\log_{3}x \) ;

令 \( y=\tan\beta-1 \) ,則 \( y+1+3^{y}=4\Rightarrow3^{y}=3-y \) 。

由反函數圖形之對稱性得 \( x+y=3\Rightarrow\tan\alpha+\tan\beta=2 \) 。

填充 8.
將268個數放在一個圓周上,任意連續的20個數字之和都等於75,且放在第17號位置的數為3,第83號位置的數為4,第144號位置的數為9,則第210號位置的數為   
[解答]
連續 21  個數,頭尾必相等,因此間隔為 \( \{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\} \)  之數必相等。而 \( \gcd(268,20)=4\Rightarrow\{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\}=4\mathbb{Z} \)。

\( 17\equiv1   (mod 4), 210\equiv2  (mod 4 ), 83\equiv3  (mod 4 ), 144\equiv0  (mod 4 ) \),所以 \( (3+4+9+x)\cdot5=75\Rightarrow x=-1 \) 。
作者: idontnow90    時間: 2013-1-14 23:50

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-8-5 11:45 PM 發表
前幾天正好在寫,給點計算題的提示好了

計算 1. \( P \in \triangle ABC \), 且 \( \triangle ABC \) 為銳角三形,則 \( \min\{\overline{PA},\overline{PB},\overline{PC}\} \) 在外心的位置在最大值 \( R \)

所以只 ...
想請教第三題...我照了您的提示作...
從第一個條件得到
X+Y<=4
3X+Y>=5
圖形是開放的區域..請問這樣要怎麼算斜率呢?

從第二個條件得到
X<=lnY

想請教後續如何解??感謝~
作者: fredslong    時間: 2013-5-29 10:14     標題: 回復 6# tsusy 的帖子

填充第一題~

題目給的四面體沒說是"正"四面體,可您的解法卻將之視為正四面體在解,感覺不算對耶!
第二行最後那求AH線段,如果ABC不是正三角形等號就不成立了吧!

阿~分子部分是角BAD 這樣就說的通了~
作者: tsusy    時間: 2013-5-29 10:38     標題: 回復 8# fredslong 的帖子

不好意思,寫得有得糊...可能有些地方沒交待清楚

再加上有一點筆誤,自己看了一下,花點時間才看懂才做什麼

做法中,沒有用到"正四面體",,第二行有個筆誤是 \( \overline{AH}=\frac{\cos\angle BAD}{\cos\angle BAH} \)
(這裡用到三垂線定理)

還有第一行  \( H_2 \) 是 D 對 \( \overline{AC} \) 的投影點。

另外,論證球心在直線 DH 的地方是用到三角不等式等號成立。

第四行後方,應為 \( \angle BAH=\angle CAH\Rightarrow\triangle ABC \) 等腰,\( \overline{AB} = \overline{AC} = 2\cdot \overline{AD} \cos45^\circ \)
(稍後再編輯一些上面那篇)
作者: fredslong    時間: 2013-5-31 01:46     標題: 回復 6# tsusy 的帖子

想請問一下填充7

如何根據反函數圖形對稱性得到   x+y=3  這個關係?
兩個反函數不是對稱於  x=y  的直線?
感恩~~~
作者: zeratulok    時間: 2013-5-31 09:40     標題: 回復 6# tsusy 的帖子

寸絲老師想請教一下,
我一樣把D點作投影到AB、AC、平面ABC,點分別為H1、H2、H
然後AH1=AD*Cos角BAD
AH=AH1*Cos角BAH=AD*Cos角BAD*Cos角BAH,這樣算出來跟老師的AH不一樣
但我悟不透哪裡有問題,陷入無限迴圈中…
可否敬請賜教…QQ
作者: tsusy    時間: 2013-5-31 11:26     標題: 回復 11# zeratulok 的帖子

第四行的地方,由三垂線定理知 \( \angle AH_1H = 90^\circ \)

所以 \( \overline{AH} \) 是斜邊,\( \overline{AH} = \overline{AH_1} \sec \angle BAH \)

不過我自己是覺得這樣做不是什麼好方法,當初回了,也是當拋磚引玉,看看是否有高手出來把它解決
作者: tsusy    時間: 2013-5-31 11:35     標題: 回復 10# fredslong 的帖子

#6 樓處,我的符號寫的不好,不要用 \( x, y \),改用 \( a, b \),符號比較不會混淆

令 \( P, Q \) 分別是 \( y = 3^x \) 和 \( y =\log_3 x \) 的函數圖形和 \( x+y =3 \) 的交點。

即 \( P, Q \) 坐標為 \( P(a,3^a), Q(b, \log_3 b) \)

注意 \( x+y = 3 \) 和 \( x=y \) 垂直,故 \( x+y=3 \) 亦對稱於 \( x=y \)。

又指對數函數圖形對稱於 \( x= y \),故 \( P, Q \) 對稱於 \( x=y \Rightarrow 3^a = b\)

所以 \( a+b = a + 3^a = 3 \) (P在直線上)
作者: zeratulok    時間: 2013-5-31 11:46     標題: 回復 12# tsusy 的帖子

謝老師!我剛剛想通了!
作者: kittyyaya    時間: 2013-11-23 23:27     標題: 回復 2# tsusy 的帖子

可以請問寸絲老師
填充第4題 C_3=4 列出情況嗎 ?
整題不太清楚題意
謝謝
作者: tsusy    時間: 2013-11-24 00:17     標題: 回復 15# kittyyaya 的帖子

當 \( n=3 \)
\( i=1, (3,1,2), (2,1,3) \)

\( i=2, (1,3,2), (2,3,1) \)

就是恰一個 > 其它都  < 的意思
作者: tacokao    時間: 2014-1-28 10:20     標題: 回復 2# tsusy 的帖子

寸絲老師很抱歉,因為我看不大懂您寫的填充第三題,每項皆負,取絕對值得....加了絕對值後,|f(-1)|=|-(1+x1)(1+x2)...(1+x101)|,為何會等於|a1|+|a2|+...|a99|-1-202 ?有點轉不過來....== 。
作者: tsusy    時間: 2014-1-28 13:25     標題: 回復 17# tacokao 的帖子

絕對值中的各項若同號,則先加再絕對值與先絕對值再加的結果相同,例:
\(|-1-2-3-4-5-6-8-10|=|-1|+|-2|+|-3|+|-4|+|-5|+|-6|+|-8|+|-10|\),

或者換個方式,單項各別處理,

因為 \( x_{i}>0 \), 所以 \( a_{k}:\begin{cases}
+ & \mbox{, if }k\mbox{ is odd;}\\
- & \mbox{, if }k\mbox{ is even.}
\end{cases}  \Rightarrow(-1)^{k}a_{k}=-|a_{k}|<0 \),亦即前文所說正負相間
  
\( \prod\limits _{k=1}^{101}(-1-x_{i})=-1-202+\sum\limits _{k=0}^{99}(-1)^{k}a_{k}=-203-\sum\limits _{k=0}^{99}|a_{k}| \)

故 \( \sum\limits _{k=0}^{99}|a_{k}|=\prod\limits _{k=1}^{101}(1+x_{i})-203 \)。
作者: tacokao    時間: 2014-1-28 19:38     標題: 回復 18# tsusy 的帖子

謝謝寸斯老師詳細的說明~~~感恩~~~
作者: johncai    時間: 2014-2-12 20:52     標題: 回復 2# tsusy 的帖子

不好意思
請教一下填充第四題
遞迴式的後面為何是加上2的n-1次方
想很久想不通@
麻煩各位了
先謝謝^^
作者: Pacers31    時間: 2014-2-12 23:12     標題: 回復 20# johncai 的帖子

在\(1,2,\ldots,96\)的直線排列排列\((a_1,a_2,\ldots,a_{96})\)中,滿足條件\((*)\)的排列共有   個?
\((*)\):恰有一個\(i \in \{\;1,2,\ldots,95 \}\;\),使得\(\cases{a_1<a_2<\ldots<a_i\cr a_i>a_{i+1}\cr a_{i+1}<a_{i+2}<\ldots<a_{96}}\)成立。
[解答]
可以換個方式想^^

題目的意思可以想成:現在有前段\(A\)和後段\(B\)

1, 2 , 3, ..., 96每個數字都能自由選擇要進入\(A\)或\(B\),進入後就自動由小至大排好

總共有\(2^{96}\)種方法數,但這當中包含了違背題意的方法,那就是

1, 2, 3, ..., 96從小到大先排好,從這97個間隔中任選一間隔給他一刀兩斷下去,前面為\(A\)區,後面為\(B\)區

故要扣掉上述這97種方法

113.5.16補充
在\(1,2,\ldots,2023\)這2023個數字的直線排列中\((a_1,a_2,\ldots,a_{2023})\)中,滿足下列條件的排列有   個。
排列條件:恰有一個\(i\in \{\;1,2,\ldots,2023 \}\;\),使得\(\cases{a_1<a_2<\ldots<a_i\cr a_i>a_{i+1}\cr a_{i+1}<a_{i+2}<\ldots<a_{2023}}\)
(112竹東高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3758&page=1#pid25199)
作者: Callmeluluz    時間: 2014-9-25 15:33     標題: 回復 6# tsusy 的帖子

不好意思 寸絲老師

又 D 為兩球之切點,因此 D Q "S1之球心"亦共線,因此 DH 通過 D,Q,H  和 S1 的球心。

又 DH垂直ABC 平面於 H,故 H 為 ABC 之外心。


也就是說任一D-ABC四面體
假設四面體外接圓的圓心為O
D對三角形ABC投影點為H

若D,O,H共線
則H為三角形ABC外心

這樣推論正確嗎?
如果正確 這要怎證明呢?
作者: tsusy    時間: 2014-9-25 18:24     標題: 回復 22# Callmeluluz 的帖子

跟共線沒關係,四面體的外接球的球心對其中一面的投影點,必為該面三頂點所形成的三角形之外心。
作者: Callmeluluz    時間: 2014-9-29 14:37     標題: 回復 23# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師的提醒 用RHS就可以證明了 是我想太困難了!!

另外我想請教一下

計算證明第一第二題

第一題

我假設b=cosθ+acosC代入

得到 R不大於(sqrt3/2)/cosC

也就是說我只要有角C介於0度~30度就算完成証明了

但是這題好像沒給到這個條件

不知道該如何完成

計算證明第二題則是毫無頭緒

希望老師能再多多指點迷津

感謝!!
作者: tsusy    時間: 2014-9-29 18:52     標題: 回復 24# Callmeluluz 的帖子

計算 1(2)
"b=cosθ+acosC"???? 題目給的條件是 " \( b \leq \cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta \)",其中 \( \theta = \angle BAC \)。

你這麼一改,跟題目的條件完完全全不同了

還有根據正弦定理 \(\displaystyle R = \frac{1}{2\sin C} \),所以需要論證的應是 \(\displaystyle \sin C \geq \frac12 \),又 \( \angle C \) 是銳角,因此即為  \( \angle C \geq 30^\circ \)
作者: Callmeluluz    時間: 2014-9-30 08:40     標題: 回復 25# tsusy 的帖子

寸絲老師

因為b=ccosA+acosC    題目中b=1 A=θ

所以我把這串代入 b<=cosθ+sqrt3*sinθ

不過老師的方向應該比較合理

我會從這再思考看看 感謝




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