Board logo

標題: 101羅東高中二招3題 [打印本頁]
作者: jen123    時間: 2012-7-4 15:10     標題: 101羅東高中二招3題

請教各位老師
這3題如何解題

圖片附件: 101羅東3題.png (2012-7-4 15:10, 12.83 KB) / 該附件被下載次數 5824
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1336&k=4bf040ebfb4202d1307cfb0c3175cfb0&t=1732311967

作者: katama5667    時間: 2012-7-4 15:21     標題: 回復 1# jen123 的帖子

1.
我剛算錯了！沒注意到下標，修正了！
\(\large \sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n}_{k}}{k+1}\)

\(\large =\sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n+1}_{k+1}}{n+1}\)

\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \sum^{n}_{k=0}2^{k+1}\times C^{n+1}_{k+1}\)

\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \left(\sum^{n}_{k=-1}2^{k+1}\times C^{n+1}_{k+1}-2^{0}\times C^{n+1}_{0} \right)\)


\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \left((2+1)^{n+1}-1 \right)\)


\(\large = \frac{1}{2(n+1)}\times \left(3^{n+1}-1 \right) \)


3.

令大圓為 \(\Gamma :x^2+y^2=4r^2\)

則小圓的圓心將在 \(x^2+y^2=r^2\) 上

令小圓圓心為 \((rcos\theta,rsin\theta)\) ，\(\theta \) 代表滾動時相對大圓的參考角

則可得小圓方程式為 \((x-rcos\theta )^2+(y-rsin\theta)^2=r^2\)

在小圓上任取一點 \(P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi)\)

其中 \(\alpha\) 為起始參考角， 決定在小圓上的位置，\(\phi\) 代表 \(P\) 點在小圓上旋轉角

觀察小圓滾動的情形，發現 \(\theta=-\phi\)

因為 \(rcos(\alpha+\theta) +rcos\phi=rcos(\alpha+\theta) +rcos\theta=r(cos(\alpha+\theta) +cos\theta)\)

且 \(rsin(\alpha+\theta) +rsin\phi=rsin(\alpha+\theta) -rsin\theta =r(sin(\alpha+\theta) -sin\theta)\)

則 \(\large \frac{y}{x}=\frac{r(sin (\alpha+\theta) -sin\theta)}{r(cos (\alpha+\theta) +cos\theta)}=\frac{2cos(\frac{(\alpha+\theta) +\theta }{2})sin(\frac{(\alpha+\theta) -\theta }{2})}{2cos(\frac{
(\alpha+\theta) +
\theta
}{2})cos(\frac{
(\alpha+\theta) -\theta
}{2}) }=tan\frac{\alpha}{2}\)

所以，當我們選定 \(P\) 點時，\(\alpha\) 也就固定了！

因此，我們發現 \(P\) 的 \(x,y\) 座標滿足 \(y=tan\frac{\alpha}{2} x\)

此即為一直線，又大圓的圓心為原點，此線必過原點，故得證！

---------------------------------------------
最後，我亦做了GGB檔，會較有感覺

同時，我也修正了之前錯誤的修正！

小圓滾大圓_2.rar (7.39 KB)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:37 PM 編輯 ]

附件: [GGB檔] 小圓滾大圓_2.rar (2012-7-6 20:12, 7.39 KB) / 該附件被下載次數 8264
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1353&k=99b6bd682210ed3106a28efd6f7d4dd6&t=1732311967
作者: jen123    時間: 2012-7-4 22:20

太感恩了，謝謝。真是非常厲害。謝謝
作者: katama5667    時間: 2012-7-5 06:57     標題: 回復 3# jen123 的帖子

大圓小圓那題其實，還有一點點的小問題在！
就是P點位置的起始角度，我沒有考慮進去，


我已修正了那個部分，同時我之前角度的換算也有錯！也一起修正了！

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:14 PM 編輯 ]
作者: katama5667    時間: 2012-7-6 17:48     標題: 回復 1# jen123 的帖子

第2題


原式兩邊平方，得 \(36x^2+96x\sqrt{1-x^2}+64(1-x^2)=25(2+2\sqrt{1-x^2})\)


\(\Rightarrow 48x\sqrt{1-x^2}+7(1-2x^2)=25\sqrt{1-x^2}\)


將 \(x=sin\theta\) 代入，得

\(48sin\theta cos\theta+7(1-2sin^2\theta)=25cos\theta\)


\(\Rightarrow 24sin2\theta+7cos2\theta=25cos\theta\)


\(\Rightarrow \frac{24}{25}sin2\theta+\frac{7}{25}cos2\theta=cos\theta\)


令 \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) 使得 \(sin\alpha=\frac{24}{25},cos\alpha=\frac{7}{25}\) ，則上式變成


\(cos(2\theta-\alpha)=cos\theta\)


則  

(1) \(2\theta-\alpha=\theta\Rightarrow \theta=\alpha\Rightarrow x=sin\theta=\frac{24}{25}\) ，即得答案


(2) \(2\theta-\alpha=-\theta\Rightarrow \theta=\frac{\alpha}{3}\Rightarrow x=sin\theta<sin\frac{\pi}{6}<\frac{1}{2}\) ，此解不合

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 05:50 PM 編輯 ]
作者: casanova    時間: 2012-7-9 20:13

引用:
原帖由 katama5667 於 2012-7-4 03:21 PM 發表
1.
我剛算錯了！沒注意到下標，修正了！
\(\large \sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n}_{k}}{k+1}\)

\(\large =\sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n+1}_{k+1}}{n+1}\)  ...
還是不太清楚，能有好心人畫一下\(\alpha\)和\(\theta\)與\(\phi\)的位置關係嗎？或是再解釋地清楚一點。

這一段最不懂：

「在小圓上任取一點 \(P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi)\)

　其中 \(\alpha\) 為起始參考角， 決定在小圓上的位置，\(\phi\) 代表 \(P\) 點在小圓上旋轉角

　觀察小圓滾動的情形，發現 \(\theta=-\phi\)」

不懂\(P(x,y)\)是這樣假設，還有\(\theta=-\phi\)。
作者: Ellipse    時間: 2012-7-9 20:38

引用:
原帖由 casanova 於 2012-7-9 08:13 PM 發表


還是不太清楚，能有好心人畫一下\(\alpha\)和\(\theta\)與\(\phi\)的位置關係嗎？或是再解釋地清楚一點。

這一段最不懂：

「在小圓上任取一點 \(P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi)\) ...
大圓小圓那題,之前有人問過
https://math.pro/db/thread-1304-1-1.html
作者: casanova    時間: 2012-7-9 20:54

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-7-9 08:38 PM 發表


大圓小圓那題,之前有人問過
https://math.pro/db/thread-1304-1-1.html
這個也看不太懂，可以提供更淺顯或相關的資料嗎？
作者: Ellipse    時間: 2012-7-9 23:15

引用:
原帖由 casanova 於 2012-7-9 08:54 PM 發表


這個也看不太懂，可以提供更淺顯或相關的資料嗎？
考這個的話,那軌跡公式一定要背
有幾個人可以當場導出公式?



歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0