標題: 問題算幾的證明 [打印本頁]

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作者: march2001kimo    時間: 2012-7-4 02:14     標題: 問題算幾的證明

已知a+b+c=1且三數皆為正
試證明[(1/a)+2][(1/b)+2][(1/c)+2]>=125

謝謝

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作者: katama5667    時間: 2012-7-4 13:19     標題: 回復 1# march2001kimo 的帖子

因為 \(\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Rightarrow \frac{1}{27}\geq abc\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq 27\)

所以 \((\frac{1}{a}+2)(\frac{1}{b}+2)(\frac{1}{c}+2)=\frac{1}{abc}+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+8\)

\(\geq 27+2\times 3\sqrt[3]{(\frac{1}{abc})^2}+4\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+8\)

\(\geq 27+2\times 3\sqrt[3]{27^2}+4\times 3\sqrt[3]{27}+8\)

\(= 27+2\times 3\times 9+4\times 3\times 3+8=125\)

其中每一次利用算幾不等式時，皆滿足 \(a=b=c=\frac{1}{3}\) 以使 "=" 成立。
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廣義柯西也可以

\(\left[ (\frac{1}{\sqrt[3]{a}})^3+(\sqrt[3]{2})^3\right]\left[ (\frac{1}{\sqrt[3]{b}})^3+(\sqrt[3]{2})^3\right]\left[ (\frac{1}{\sqrt[3]{c}})^3+(\sqrt[3]{2})^3\right]\geq \left[ (\frac{1}{\sqrt[3]{abc}})+(\sqrt[3]{8})\right]^3\)

\((\frac{1}{a}+2)(\frac{1}{b}+2)(\frac{1}{c}+2)\geq (3+2)^3=125\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 10:09 PM 編輯 ]

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